同济大学高等数学上D矢量PPT学习教案

1、会计学1 同济大学高等数学上同济大学高等数学上D矢量矢量 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 一、向量的概念一、向量的概念 二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量及其线性运算 第七七章 第1页/共28页 .a或 表示法: 向量的模 :向量的大小, , 21M M记作 向量: (又称矢量). 1 M 2 M 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 自由向量:与起点无关的向量. 起点为原点的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, .

2、a或记作 a 零向量: 模为 0 的向量, .00或，记作 有向线段 M1 M2 , 或 a , ,a或.a或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共28页 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 ab ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, ab ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 . 记作a ; 机动 目录 上页 下页

3、返回 结束 第3页/共28页 1. 向量的加法向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 运算规律 :交换律 结合律 三角形法则可推广到多个向量相加 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 b b abba cba)()(cbacba a b c ba cb )(cba cba)( a a ba ba 第4页/共28页 机动 目录 上页 下页 返回 结束 s 3 a 4 a 5 a 2 a 1 a 54321 aaaaas 第5页/共28页 三角不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ab)( ab 有时特别当,ab aa )( aa baba ab a b ab a 0 baba 第6页

4、/共28页 aa 是一个数 , .a 规定 : 时，0，同向与aa ,0时 ,0时.0 a ;aa ;1aa 可见 ;1aa ;aa 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 ，反向与aa 总之: 运算律 : 结合律 )(a )( a a 分配律 a )(aa )(ba ba , 0 a若 a则有单位向量 . 1 a a 因此 aaa 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共28页 设 a 为非零向量 , 则 ( 为唯一实数) 证证: “ ”. , 取 且 再证数 的唯一性 . 则 ,0故.即 ab ab 设 ab b a 取正号, 反向时取负号, , a , b 同向时 则 b 与 a 同向

5、, 设又有 b a , 0)(a aa b a a b .ab故 ,0a而 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共28页 “ ” 则 ,0 时当 例例1. 设 M 为 M B A C D 解解: ABCD 对角线的交点, ,0 时当 b a ,0 时当 ,aAB ,bDA ACMC2MA2 BDMD2MB2 已知 b a , b0 a , b 同向 a , b 反向 ab .,MDMCMBMAba表示与试用 ba ab )( 2 1 baMA)( 2 1 abMB )( 2 1 baMC)( 2 1 abMD 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共28页 x y z 由三条互相

6、垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系. 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) z 轴(竖轴) 过空间一定点 o , o 坐标面 卦限(八个) 面xoy 面yoz zox面 1. 空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共28页 x y z o 向径 11 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C 点点 M 特殊点的坐标 : 有序数组 ),(zyx 11 )0 , 0 ,(xP )0 , 0(yQ ), 0 , 0(zR )0 ,(yxA ), 0(zyB ),(zoxC (称为点 M 的坐标坐标

7、) 原点 O(0,0,0) ; r r 机动 目录 上页 下页 返回 结束 M 第11页/共28页 坐标轴 : 轴x 0 0 z y 0 0 x z 轴y 轴z 0 0 y x 坐标面 : 面yox0 z 面zoy0 x 面xoz0 y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y z o 第12页/共28页 在空间直角坐标系下, 设点 M , ),(zyxM 则 沿三个坐标轴方向的分向量分向量. kzjyixr ),(zyx x o y z M N B C i j k A ,轴上的单位向量分别表示以zyxkji 的坐标为 此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 , rkzjyix 称为向量,

8、 r 任意向量 r 可用向径 OM 表示. NMONOMOCOBOA 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , ixOA , jyOB kzOC 第13页/共28页 设 ),( zyx aaaa , ),( zyx bbbb 则 ba ),( zzyyxx bababa a ),( zyx aaa ab ,0 时当 a ab xx ab yy ab zz ab x x a b y y a b z z a b 平行向量对应坐标成比例: ，为实数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共28页 求解以向量为未知元的线性方程组 ayx 35 byx 23 .211,212），（），（其中ba

9、解解: 2 3 , 得 bax 32)10, 1,7( 代入得 )3( 2 1 bxy )16,2,11( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共28页 在AB直线上求一点 M , 使 解解: 设 M 的坐标为 , ),(zyx 如图所示 A B M o 1 1 M A B , ),( 111 zyxA),( 222 zyxB 及实数 , 1 得 ),(zyx 1 1 ),( 212121 zzyyxx 即 .MBAM AMMB AMOAOM MBOMOB AOOM )(OMOB OMOBOA( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共28页 得定比分点公式定比分点公式: ,

10、 1 21 xx , 1 21 yy 1 21 zz ,1时当 点 M 为 AB 的中点 , 于是得 x, 2 21 xx y, 2 21 yy z 2 21 zz A B M o M A B ),(zyx 1 1 ),( 212121 zzyyxx xy z 中点公式中点公式: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共28页 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式 222 zyx ),(zyxr 设 则有 OMr 222 OROQOP x o y z M N Q R P 由勾股定理得 ),( 111 zyxA 因 A B 得两点间的距离公式: ),( 121212

11、 zzyyxx 2 12 2 12 2 12 )()()(zzyyxx 对两点与 , ),( 222 zyxB , rOM 作 OMr OROQOP BABA OAOBBA 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共28页 )3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4( 321 MMM 证证: 1 M 2 M 3 M 21M M 2 )47( 2 )31 ( 2 ) 12( 14 32M M 2 )75( 2 ) 12( 2 )23( 6 31M M 2 )45( 2 )32( 2 ) 13( 6 3132 MMMM 即 321 MMM 为等腰三角形 . 的三角形是等腰三角形

12、 . 为顶点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共28页 )7, 1 ,4(A 等距 解解: 设该点为 , ),0,0(zM ,BMAM因为 2 )4( 2 1 2 )7(z 2 3 2 5 2 )2(z 解得 , 9 14 z 故所求点为 及 )2,5,3(B . ),0,0( 9 14 M 思考思考: (1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程? (2) 如何求在空间与A , B 等距离之点的轨迹方程 ? 离的点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共28页 (1) 设动点为 , )0,(yxM 利用 ,BMAM 得 ,028814 yx (

13、2) 设动点为 , ),(zyxM 利用 ,BMAM 得 014947zyx 且 0z 例例6. 已知两点 )5,0,4(A 和 , )3, 1 ,7(B 解解: 求 14 1 )2,1,3( 14 2 , 14 1 , 14 3 . BA BA BA BA 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共28页 o y z x 设有两非零向量 ,ba 任取空间一点 O , ,aOA 作 ,bOB O A B 称 =AOB (0 ) 为向量 ba , 的夹角. ),(ab 或 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . ,0),( zyxr给定 与三坐标轴的夹角 , , r r 称 为其方向角方向

14、角. cos r x 222 zyx x 方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作 ),(ba 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共28页 o y z x r cos r x 222 zyx x cos r y 222 zyx y cos r z 222 zyx z 1coscoscos 222 方向余弦的性质: :的单位向量向量 r r r r )cos,cos,(cos 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共28页 )2,2,2( 1 M 和 , )0,3, 1( 2 M 的模 、方向余弦和方向角 . 解解: ,21,23)20 计算向量 )2, 1, 1( 222

15、 )2(1) 1( 2 , 2 1 cos, 2 1 cos 2 2 cos , 3 2 , 3 4 3 21M M ( 21 MM 21M M 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共28页 解解: 已知 作业作业 P300 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19 角依次为 , 43 求点 A 的坐标 . , 43 则 222 coscos1cos 4 1 因点 A 在第一卦限 ,故 ,cos 2 1 于是 (6, 2 1 , 2 2 ) 2 1 )3,23,3( 故点 A 的坐标为 . )3,23,3( 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 ,6AO且 OA OAAO 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共28页 解解: 因 pnma 34 )853(4kji )742(3kji )45(kji kji 15713 1. 设 ,853kjim ,742kjin 求向量 pnma 34 在 x 轴上的投影