空气动力学：第4章粘性流体动力学基础

1、EXIT 4.1、流体的粘性及其对流动的影响、流体的粘性及其对流动的影响 4.2、雷诺实验、层流与湍流、雷诺实验、层流与湍流 4.3、粘性流体的应力状态、粘性流体的应力状态 4.4、广义牛顿内摩擦定理（本构关系）、广义牛顿内摩擦定理（本构关系） 4.5、粘性流体运动方程、粘性流体运动方程Navier-Stokes方程方程 4.6、流动相似及相似准则、流动相似及相似准则 EXIT 1、流体的粘滞性、流体的粘滞性 在静止状态下，流体不能承受剪力。但是在运在静止状态下，流体不能承受剪力。但是在运 动状态下，流体可以承受剪力，而且对于不同种流动状态下，流体可以承受剪力，而且对于不同种流 体所承受剪力大

2、小是不同的。体所承受剪力大小是不同的。 流体的粘滞性是指，流体在运动状态下抵抗流体的粘滞性是指，流体在运动状态下抵抗 剪切变形能力。剪切变形能力。 流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运流体的剪切变形是指流体质点之间出现相对运 动。因此流体的粘滞性是指抵抗流体质点之间的相动。因此流体的粘滞性是指抵抗流体质点之间的相 对运动能力。对运动能力。 EXIT 流体抵抗剪切变形能力，可通过流层之间的剪流体抵抗剪切变形能力，可通过流层之间的剪 切力表现出来。（这个剪切力称为内摩擦力）。流切力表现出来。（这个剪切力称为内摩擦力）。流 体在流动过程中，必然要克服内摩擦力做功，因此体在流动过程中，必然要克服内

3、摩擦力做功，因此 流体粘滞性是流体发生机械能损失的根源。流体粘滞性是流体发生机械能损失的根源。 牛顿的内摩擦定律（牛顿的内摩擦定律（Newton，1686年）年） F=AU/h F h U EXIT =/ 流体的运动粘性系数。流体的运动粘性系数。量纲量纲 =L2/T ， 单位单位m2/s 。 水：水： 1.139 10-6，空气：，空气：1.461 10-5 。 h U A F 流层之间的内摩擦力与接触面上的压力无关。流层之间的内摩擦力与接触面上的压力无关。 设设 表示单位面积上的内摩擦力（粘性切应力），表示单位面积上的内摩擦力（粘性切应力）， 则则 流体的动力粘性系数。量纲流体的动力粘性系数

4、。量纲=M/L/T，单位，单位 Ns/m2=Pas 。水：。水：1.139 10-3，空气：，空气：1.7894 10-5 。 EXIT 一般流层速度分布不是直线，如下图所示。一般流层速度分布不是直线，如下图所示。 u yy F=Adu/dy =du/dy du/dy 表示单位高度流层的速度增量，称为流表示单位高度流层的速度增量，称为流 速梯度。速梯度。 EXIT 速度梯度速度梯度du/dy物理上也表示流体质点剪切变形物理上也表示流体质点剪切变形 速度，如图所示。速度，如图所示。 d =dudt/dy d /dt=du/dy 流体切应力与速度梯度的一般关系为流体切应力与速度梯度的一般关系为 n

5、 dy du BA d dy dudt u+du u EXIT 1 = 0+du/dy 2 =（du/dy）0.5 3 =du/dy 4 =(du/dy)2 5 理想流体理想流体 1-bingham流体，泥浆、血浆、牙膏等流体，泥浆、血浆、牙膏等 2-伪塑性流体，尼龙、橡胶、油漆等伪塑性流体，尼龙、橡胶、油漆等 3-牛顿流体，水、空气、汽油、酒精等牛顿流体，水、空气、汽油、酒精等 4-胀塑性流体，生面团、浓淀粉糊等胀塑性流体，生面团、浓淀粉糊等 5-理想流体，无粘流体。理想流体，无粘流体。 du/dy 1 2 3 4 5 0 EXIT 自然界中流体都是有粘性的，因此粘性对流体自然界中流体都是有

6、粘性的，因此粘性对流体 运动的影响是普遍存在的。但对于具体的流动问题运动的影响是普遍存在的。但对于具体的流动问题 ，粘性所起的作用并不一定相同。特别是象水和空，粘性所起的作用并不一定相同。特别是象水和空 气这样的小粘性流体，对于某些问题忽略粘性的作气这样的小粘性流体，对于某些问题忽略粘性的作 用可得到满意的结果。因此为了简化起见，提出了用可得到满意的结果。因此为了简化起见，提出了 理想流体的概念和理论。理想流体的概念和理论。 2、粘性流体运动特点、粘性流体运动特点 以下用若干流动事例说明粘性流动与无粘流动以下用若干流动事例说明粘性流动与无粘流动 的差别。的差别。 EXIT （1）绕过平板的均直

7、流动）绕过平板的均直流动 当理想流体绕过平板（无厚度）时，平板对流当理想流体绕过平板（无厚度）时，平板对流 动不产生任何影响，在平板表面，允许流体质点滑动不产生任何影响，在平板表面，允许流体质点滑 过平板，但不允许穿透平板（通常称作为不穿透条过平板，但不允许穿透平板（通常称作为不穿透条 件）。平板对流动无阻滞作用，平板阻力为零。件）。平板对流动无阻滞作用，平板阻力为零。 EXIT L f dxD 0 0 2 但如果是粘性流体，情况就不同了。由于存在粘但如果是粘性流体，情况就不同了。由于存在粘 性，紧贴平板表面的流体质点粘附在平板上，与平板性，紧贴平板表面的流体质点粘附在平板上，与平板 表面不存

8、在相对运动（既不允许穿透，也不允许滑动表面不存在相对运动（既不允许穿透，也不允许滑动 ），这就是说，在边界面上流体质点必须满足不穿透），这就是说，在边界面上流体质点必须满足不穿透 条件和不滑移条件。条件和不滑移条件。 随着离开平板距离的增大，流体速度由壁面处的随着离开平板距离的增大，流体速度由壁面处的 零值迅速增大到来流的速度。这样在平板近区存在着零值迅速增大到来流的速度。这样在平板近区存在着 速度梯度很大的流动，因此流层之间的粘性切应力就速度梯度很大的流动，因此流层之间的粘性切应力就 不能忽略，对流动起控制作用。这个区称为边界层。不能忽略，对流动起控制作用。这个区称为边界层。 平板对流动起阻

9、滞作用，平板的阻力不为零。即平板对流动起阻滞作用，平板的阻力不为零。即 EXIT 沿平板的边界层实验演示沿平板的边界层实验演示 EXIT 无滑移实验演示无滑移实验演示 与物面的粘附条件（无滑移条件）是粘性与物面的粘附条件（无滑移条件）是粘性 流体运动有别与理想流体运动的主要标志流体运动有别与理想流体运动的主要标志 EXIT （2）圆柱绕流）圆柱绕流 理想流体绕流圆柱时，在圆柱上存在前驻点理想流体绕流圆柱时，在圆柱上存在前驻点A， 后驻点后驻点D，最大速度点，最大速度点B、C。中心流线在前驻点分。中心流线在前驻点分 叉，后驻点汇合。叉，后驻点汇合。 EXIT 根据根据Bernoulli方程，在流

10、体质点绕过圆柱的流方程，在流体质点绕过圆柱的流 动过程中，在动过程中，在AB（C）区，流体质点在）区，流体质点在A点流速点流速 为零，压强最大，以后质点的压强沿程减小，流速为零，压强最大，以后质点的压强沿程减小，流速 沿程增大，到达沿程增大，到达B（C）点流速最大，压强最小。该）点流速最大，压强最小。该 区属于增速减压区，是顺压梯度区。区属于增速减压区，是顺压梯度区。 EXIT 在在B（C）D区，流体质点的压强沿程增大，区，流体质点的压强沿程增大， 流速沿程减小，到达流速沿程减小，到达D点压强最大，流速为零。点压强最大，流速为零。该该 区属于减速增压区，是逆压梯度区。区属于减速增压区，是逆压梯

11、度区。 EXIT 0)cos( 2 R s dspD 在流体质点绕过圆柱的过程中，只有动能、压在流体质点绕过圆柱的过程中，只有动能、压 能的相互转换，而无机械能的损失。在圆柱面上压能的相互转换，而无机械能的损失。在圆柱面上压 强分布对称，无阻力存在。（著名的达朗贝尔佯谬强分布对称，无阻力存在。（著名的达朗贝尔佯谬 或达朗贝尔疑题）。或达朗贝尔疑题）。 EXIT 对于粘性流体的绕流，与理想流体绕流存在很对于粘性流体的绕流，与理想流体绕流存在很 大的差别。由于流体与固壁表面的粘附作用，在物大的差别。由于流体与固壁表面的粘附作用，在物 面近区将产生边界层。面近区将产生边界层。 EXIT 受流体粘性的

12、阻滞作用，流体质点在由受流体粘性的阻滞作用，流体质点在由A点到点到B点的点的 流程中，将消耗部分动能用之克服摩擦阻力做功，流程中，将消耗部分动能用之克服摩擦阻力做功， 以至使其无法满足由以至使其无法满足由B点到点到D点压力升高的要求，压点压力升高的要求，压 强分布与理想流体绕流不同。强分布与理想流体绕流不同。 EXIT 随着雷诺数随着雷诺数 的不同，绕流压强分布也不同的不同，绕流压强分布也不同 。 但它们与理想流动的有一个共同区别在于粘性流但它们与理想流动的有一个共同区别在于粘性流 动中圆柱体的背风面动中圆柱体的背风面Cp为负值。为负值。 DV Re 下图给出了不同雷诺数时圆柱表面的压强系数下

13、图给出了不同雷诺数时圆柱表面的压强系数Cp分布。分布。 EXIT 在下游点在下游点=0=0处处 Cp=+1.0 理想流体理想流体 Cp=-1.1 层流，层流， Cp=-0.7 湍流，湍流， Cp=-0.1 湍流，湍流， 5 109 . 1Re 6 104 . 8Re 5 107 . 6Re EXIT 背风面的压强小于迎风面背风面的压强小于迎风面 的压强，压强分布不对称的压强，压强分布不对称 使圆柱体受到流体给它的使圆柱体受到流体给它的 阻力，阻力的方向指向下阻力，阻力的方向指向下 游。游。 R s dspD 2 0 )cossin( 进一步的研究表明，圆柱进一步的研究表明，圆柱 表面的粘性流体

14、流动在靠近尾表面的粘性流体流动在靠近尾 部的某个区域将产生边界层分部的某个区域将产生边界层分 离，从而形成圆柱体下游一个离，从而形成圆柱体下游一个 由旋涡组成的尾流区。尾流区由旋涡组成的尾流区。尾流区 的流动性质随的流动性质随Re数的变化有所数的变化有所 不同。不同。 EXIT 绕球流动的流场显示绕球流动的流场显示 EXIT 无逆压梯度的平板边界层沿流向会变厚但不分离，无逆压梯度的平板边界层沿流向会变厚但不分离， 有摩擦阻力（平板边界层流动实验演示：）有摩擦阻力（平板边界层流动实验演示：） EXIT 有逆压梯度时，边界层变厚并可能分离有逆压梯度时，边界层变厚并可能分离 （低速扩压段中的边界层与

15、分离实验演示：）（低速扩压段中的边界层与分离实验演示：） EXIT 圆柱绕流有较大的逆压梯度，必然分离圆柱绕流有较大的逆压梯度，必然分离 （圆柱绕流分离细节实验演示：）（圆柱绕流分离细节实验演示：） EXIT 综合上述所述，结论如下：综合上述所述，结论如下： （1）粘性摩擦切应力与物面的粘附条件（无滑移）粘性摩擦切应力与物面的粘附条件（无滑移 条件）是粘性流体运动有别与理想流体运动的主要条件）是粘性流体运动有别与理想流体运动的主要 标志。标志。 （2）粘性的存在是产生阻力的主要原因。）粘性的存在是产生阻力的主要原因。 （3）边界层的分离必要条件是，流体的粘性和逆）边界层的分离必要条件是，流体的

16、粘性和逆 压梯度。压梯度。 （4）粘性对于研究阻力、边界层及其分离、旋涡）粘性对于研究阻力、边界层及其分离、旋涡 的扩散等问题起主导作用，不能忽略。的扩散等问题起主导作用，不能忽略。 EXIT 雷诺（雷诺（Osborne Reynolds， 18421921，英国工程师兼物理学，英国工程师兼物理学 家，维多利亚大学教授）最早详细家，维多利亚大学教授）最早详细 研究了管道中粘性流体的流动状态研究了管道中粘性流体的流动状态 及其影响因素。及其影响因素。 1880年，年，用管用管径径2.54cm、长度、长度1.372m玻璃管进玻璃管进 行了著名的流态转捩试验，并于行了著名的流态转捩试验，并于1883

17、年在一篇论文年在一篇论文 中明确指出了管中水流存在层流和湍流（紊流）两中明确指出了管中水流存在层流和湍流（紊流）两 种流态。种流态。 EXIT 层流是指流体质点不互相混杂，流体质点作有条层流是指流体质点不互相混杂，流体质点作有条 不紊的有序的运动。不紊的有序的运动。 紊流是一种杂乱无章、互相混掺，不规则的随机紊流是一种杂乱无章、互相混掺，不规则的随机 运动。运动。 EXIT EXIT 实验发现，不同的流态对于流动的摩擦阻力、实验发现，不同的流态对于流动的摩擦阻力、 压力损失、速度分布等影响很大。压力损失、速度分布等影响很大。 DV Re 流态从层流到湍流的过渡称为转捩。流态从层流到湍流的过渡称

18、为转捩。 实验表明流态的转捩不是单单取决于某一个流实验表明流态的转捩不是单单取决于某一个流 动参数动参数V ,等，而是取决于无量纲的组合量等，而是取决于无量纲的组合量 Re 这就是管道粘性运动的相似参数，雷诺数。这就是管道粘性运动的相似参数，雷诺数。 EXIT 在非管道流动中，也存在这两种不同的流态：在非管道流动中，也存在这两种不同的流态： 层流与湍流，从层流到湍流的转捩也与雷诺数大小层流与湍流，从层流到湍流的转捩也与雷诺数大小 有关。有关。 雷诺数之所以对流态起着重要作用，从而对粘雷诺数之所以对流态起着重要作用，从而对粘 性流体运动的其他特性起着重要作用，在于雷诺数性流体运动的其他特性起着重

19、要作用，在于雷诺数 具有很强的物理意义。具有很强的物理意义。 雷诺数的物理意义：雷诺数代表作用在流体微雷诺数的物理意义：雷诺数代表作用在流体微 团上的惯性力与粘性力之比。团上的惯性力与粘性力之比。 EXIT 惯性力正比于质量乘加速度。惯性力正比于质量乘加速度。 其中，质量正比于密度乘尺度的其中，质量正比于密度乘尺度的 3 次方次方: L L3 3 加速度正比于速度加速度正比于速度 2 2 次方和尺度次方和尺度1 1次方：次方：V V2 2L L-1 -1 从而惯性力正比于：从而惯性力正比于： V2L2 粘性力正比于剪应力乘面积。粘性力正比于剪应力乘面积。 其中，剪应力正比于粘性系数乘速度其中，

20、剪应力正比于粘性系数乘速度1次方和尺度的次方和尺度的 1次方次方: VL-1 -1 ， ， 面积正比于尺度面积正比于尺度2 2次方：次方：L L2 2 从而粘性力正比于：从而粘性力正比于： VL 因此惯性力与粘性力之比正比于：因此惯性力与粘性力之比正比于：VL/ , 此即雷此即雷 诺数。诺数。 EXIT 惯性力的作用是促使质点失稳，扰动放大；粘性惯性力的作用是促使质点失稳，扰动放大；粘性 力的作用是对质点起约束作用的，是遏制扰动的。力的作用是对质点起约束作用的，是遏制扰动的。 流动为紊流时，流动为紊流时，Re数较大，此时质点惯性力大数较大，此时质点惯性力大 于粘性力，流动失去稳定。于粘性力，流

21、动失去稳定。 流动为层流时，流动为层流时，Re数较小，此时质点粘性力大数较小，此时质点粘性力大 于惯性力，流动稳定，层次分明。于惯性力，流动稳定，层次分明。 EXIT 在管道紊流中，由于流体质点的随机脉动，致在管道紊流中，由于流体质点的随机脉动，致 使流层之间的动量发生不断的交换，快层流体速度使流层之间的动量发生不断的交换，快层流体速度 减慢，慢层流体速度增大，造成时均流速分布更加减慢，慢层流体速度增大，造成时均流速分布更加 均匀。均匀。 EXIT 层流与层流与 湍流的对比湍流的对比 管道雷诺实验管道雷诺实验平板边界层：上：平板边界层：上： 湍流湍流 下：层流下：层流 EXIT 层流与湍流的区

22、别层流与湍流的区别 层流层流 湍流湍流 1. 外观外观 色线规则，流动分色线规则，流动分 层，外表光滑层，外表光滑 流动紊乱不规则，外表流动紊乱不规则，外表 粗糙粗糙 2. Re较小较小较大较大 3. 质量与质量与 动量交换动量交换 层间只限于分子层间只限于分子 间的较小的扩散间的较小的扩散 宏观微团纵、横向大宏观微团纵、横向大 的质量、动量交换的质量、动量交换 4. 速度分速度分 布布 较尖瘦的抛物线分较尖瘦的抛物线分 布，壁面附近速度布，壁面附近速度 和梯度都相对较小和梯度都相对较小 较饱满的对数分布，壁面较饱满的对数分布，壁面 附近速度和梯度相对较大附近速度和梯度相对较大 5. 损失损失

23、随随Re增加而降低增加而降低 随随Re增加转捩时损失增加增加转捩时损失增加 6. 剪应力剪应力牛顿应力及雷诺应力牛顿应力及雷诺应力牛顿应力牛顿应力 EXIT 1、理想流体和粘性流体作用面受力差别、理想流体和粘性流体作用面受力差别 流体处于静止状态，只能承受压力，几乎不能承受拉力流体处于静止状态，只能承受压力，几乎不能承受拉力 和剪力，不具有抵抗剪切变形的能力。理想流体在运动状态和剪力，不具有抵抗剪切变形的能力。理想流体在运动状态 下流体质点之间可以存在相对运动，但不具有抵抗剪切变形下流体质点之间可以存在相对运动，但不具有抵抗剪切变形 的能力。因此，作用于流体内部任意面上的力只有正（法）的能力。

24、因此，作用于流体内部任意面上的力只有正（法） 向力，无切向力。向力，无切向力。 粘性流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运粘性流体在运动状态下，流体质点之间可以存在相对运 动，流体具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部动，流体具有抵抗剪切变形的能力。因此，作用于流体内部 任意面上力既有正向力，也有切向力。任意面上力既有正向力，也有切向力。 EXIT 在粘性流体运动中，由于存在切向力，过任意一点单位在粘性流体运动中，由于存在切向力，过任意一点单位 面积上的表面力就不一定垂直于作用面，且各个方向的大小面积上的表面力就不一定垂直于作用面，且各个方向的大小 也不一定相等。因此，作用于任意方

25、向微元面积上合应力可也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面积上合应力可 分解为法向应力和切向应力。分解为法向应力和切向应力。 4.3 粘性流体的应力状态粘性流体的应力状态 如果作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解如果作用面的法线方向与坐标轴重合，则合应力可分解 为三个分量，其中垂直于作用面的为法应力，另外两个与作为三个分量，其中垂直于作用面的为法应力，另外两个与作 用面相切为切应力，分别平行于另外两个坐标轴，为切应力用面相切为切应力，分别平行于另外两个坐标轴，为切应力 在坐标轴向的投影分量。在坐标轴向的投影分量。 2、粘性流体中的应力状态、粘性流体中的应力状态 EXIT kji xz

26、xyxxx kji yzyyyxy kji zzzyzxz 4.3 粘性流体的应力状态粘性流体的应力状态 由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位由此可见，用两个下标可把各个应力分量的作用面方位 和投影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方和投影方向表示清楚。其中第一个下标表示作用面的法线方 向，第二个下标表示应力分量的投影方向。向，第二个下标表示应力分量的投影方向。 如，对于如，对于x面的合应力可表示为面的合应力可表示为 y面的合应力表达式为面的合应力表达式为 z面的合应力表达式为面的合应力表达式为 EXIT 如果在同一点上给定三个相互垂直坐标面上的应力，那么如果在同一点上给

27、定三个相互垂直坐标面上的应力，那么 过该点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。过该点任意方向作用面上的应力可通过坐标变换唯一确定。 上面这个结论可利用对微元六面体的动量矩定理得到证明上面这个结论可利用对微元六面体的动量矩定理得到证明 。 4.3 粘性流体的应力状态粘性流体的应力状态 zzzyzx yzyyyx xzxyxx 我们把三个坐标面上的九个应力分量称为该点的应力状我们把三个坐标面上的九个应力分量称为该点的应力状 态，由这九个应力分量组成的矩阵称为应力矩阵（或应力张态，由这九个应力分量组成的矩阵称为应力矩阵（或应力张 量）。量）。 这九个应力分量并不全部独力，其中的六个切向应力

28、是两两这九个应力分量并不全部独力，其中的六个切向应力是两两 相等的，所以独力的一共是三个法向的，三个切向的。相等的，所以独力的一共是三个法向的，三个切向的。 zyyzzxxzyxxy EXIT （1）在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力相等，）在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力相等， 等于该点压强的负值。即等于该点压强的负值。即 （2）在粘性流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的）在粘性流体中，任意一点的任何三个相互垂直面上的 法向应力之和为一个不变量，并定义此不变量的平均值为法向应力之和为一个不变量，并定义此不变量的平均值为 该点的平均压强的负值。即该点的平均压强的负值。即 （3

29、）在粘性流体中，任意面上的切应力一般不为零。）在粘性流体中，任意面上的切应力一般不为零。 p zzyyxx 3 zzyyxx p 0, 0 xzxy 4.3 粘性流体的应力状态粘性流体的应力状态 EXIT Stokes（1845年）根据牛顿内摩擦定理的启发，（粘性流体作直年）根据牛顿内摩擦定理的启发，（粘性流体作直 线层状流动时，流层之间的切应力与速度梯度成正比）并在做了线层状流动时，流层之间的切应力与速度梯度成正比）并在做了 一些合理的假设之后，一些合理的假设之后， 将牛顿内摩擦定律进行推广，提出广义将牛顿内摩擦定律进行推广，提出广义 牛顿内摩擦定理牛顿内摩擦定理应力应变率关系（或称本构关系

30、）：应力应变率关系（或称本构关系）： y v z w y v x u p yy 2)( 3 2 z w z w y v x u p zz 2)( 3 2 x u z w y v x u p xx 2)( 3 2 y u x v xy z v y w yz x w z u zx 这个关系将六个应力与微团的变形率直接联系（线性关系）。满这个关系将六个应力与微团的变形率直接联系（线性关系）。满 足上述关系的流体称为牛顿流体。足上述关系的流体称为牛顿流体。 EXIT 对于不可压缩流体，上述应力应变率关系可化简为：对于不可压缩流体，上述应力应变率关系可化简为： y v p yy 2 z w p zz 2

31、 x u p xx 2 y u x v xy z v y w yz x w z u zx 4.4 广义牛顿内摩擦定理（本构关系）广义牛顿内摩擦定理（本构关系） EXIT 1、流体运动的基本方程、流体运动的基本方程 利用牛顿第二定理推导以应力形式表示的流体运动微分利用牛顿第二定理推导以应力形式表示的流体运动微分 方程。向推导欧拉方程一样，在流场中取一个微元六面体方程。向推导欧拉方程一样，在流场中取一个微元六面体 进行分析，以进行分析，以x方向为例，建立运动方程。方向为例，建立运动方程。 作用在作用在ABCD和和ABCD两个侧面的两个侧面的 法向力差是：法向力差是： )(zyx x xx 作用在作

32、用在ABBA和和CDCD两个侧面的两个侧面的 切向力差是：切向力差是： )(zxy y yx EXIT Dt Du mFx Dt Du zyxzyx z zyx y zyx x zyxf zx yx xx x )()()()()( 作用在作用在ADAD和和BCBC两个侧面的切向力差是：两个侧面的切向力差是： )(yxz z zx 仍然设单位质量彻体力分量为：仍然设单位质量彻体力分量为：fx , fy , fz ,按照牛顿第二按照牛顿第二 定律：定律： Dt Du 是欧拉法表示的加速度或速度的物质导数。是欧拉法表示的加速度或速度的物质导数。 4.5 粘性流体运动方程粘性流体运动方程Navier-

33、Stokes方程方程 EXIT zyx f Dt Du zx yx xx x 或：或： 同理：同理： zyx f Dt Dv zyyyxy y zyx f Dt Dw zz yz xz z 将反映粘性应力与变形率关系的广义牛顿内摩擦定理代入将反映粘性应力与变形率关系的广义牛顿内摩擦定理代入 上式右端，即得到粘性流动的运动方程上式右端，即得到粘性流动的运动方程 NS 方程：方程： 4.5 粘性流体运动方程粘性流体运动方程Navier-Stokes方程方程 EXIT u z w y v x u xx p f Dt Du x 2 3 1 v z w y v x u yy p f Dt Dv y 2

34、3 1 w z w y v x u zz p f Dt Dw z 2 3 1 其中其中 是拉普拉斯算子：是拉普拉斯算子： 2 2 2 2 2 2 2 zyx 2 可见，对于理想流右端的粘性项为零，方程化为欧拉方程。可见，对于理想流右端的粘性项为零，方程化为欧拉方程。 4.5 粘性流体运动方程粘性流体运动方程Navier-Stokes方程方程 写成向量形式写成向量形式 为为VVpf Dt VD )( 3 1 EXIT 当当不可压时，根据连续方程：不可压时，根据连续方程： 0 z w y v x u 则不可压粘流的则不可压粘流的 NS方程写为：方程写为： u x p f Dt Du x 2 v y

35、 p f Dt Dv y 2 w z p f Dt Dw z 2 4.5 粘性流体运动方程粘性流体运动方程Navier-Stokes方程方程 EXIT Vpf Dt VD 1 用用 三个方向的单位向量三个方向的单位向量 i 、j、k 分别乘上三式并相加，分别乘上三式并相加， 可得不可压粘流可得不可压粘流 N-S方程比较简捷的向量形式：方程比较简捷的向量形式： 2 2 2 2 2 2 2 zyx k z j y i x 4.5 粘性流体运动方程粘性流体运动方程Navier-Stokes方程方程 kwj vi uV 其中其中为速度分量为速度分量 为哈密顿算子为哈密顿算子 为拉普拉斯算子为拉普拉斯算

36、子 kfjfiff zyx 为单位质量的质量力为单位质量的质量力 EXIT 与第二章一样，这个方程中速度的随体导数可以加以分与第二章一样，这个方程中速度的随体导数可以加以分 解，把涡量分离出来，写成格罗米柯形式的方程也称为解，把涡量分离出来，写成格罗米柯形式的方程也称为 Lamb型方程。这样有利于研究流体的有旋性：型方程。这样有利于研究流体的有旋性： VpfV V t V 1 2 2 4.5 粘性流体运动方程粘性流体运动方程Navier-Stokes方程方程 2、 Bernoulli积分积分 与与Bernoulli积分理想流体运动方程类似，积分积分理想流体运动方程类似，积分N-S方方 程假定程

37、假定:（1）不可压缩粘性流体；（）不可压缩粘性流体；（2）定常流动；（）定常流动；（3） 质量力有势；（质量力有势；（4）沿流线积分。）沿流线积分。 沿流线积分沿流线积分N-S方程，可推导出粘性流体的能量方程方程，可推导出粘性流体的能量方程 。与理想流体能量不同的是，方程中多了一项因粘性引起。与理想流体能量不同的是，方程中多了一项因粘性引起 的损失项，表示流体质点克服粘性应力所消耗的能量。的损失项，表示流体质点克服粘性应力所消耗的能量。 EXIT kdzjdyidxsd kujuiuu zyx 4.5 粘性流体运动方程粘性流体运动方程Navier-Stokes方程方程 在粘性不可压缩定常流动中

38、，任取一条流线，在流线在粘性不可压缩定常流动中，任取一条流线，在流线 上某处取一微段上某处取一微段ds，该处所对应的流速为，该处所对应的流速为 对不可压对不可压N-S方程的三个分量分别乘方程的三个分量分别乘 dx、dy、dz后相加得：后相加得： sdVpfsd Dt VD dzw z p fdz Dt Dw dyv y p fdy Dt Dv dxu x p fdx Dt Du z y x 1 1 1 1 EXIT 定常情况下，上式左端即：定常情况下，上式左端即： wdyvdzwdxudzvdxudy dz w dy v dx u ，即：, )()()(wdzvdyudx z wwdzvdyu

39、dx y vwdzvdyudx x usd Dt VD 注意到沿流线有流线方程：注意到沿流线有流线方程： 前式右端第一项可由流线方程进行变量替换，得：前式右端第一项可由流线方程进行变量替换，得： wdx x wvdx x vudx x uwdzvdyudx x u )( dx V x dx wvu x2 ) 2 ( 2222 4.5 粘性流体运动方程粘性流体运动方程Navier-Stokes方程方程 EXIT 彻体力有势彻体力有势，因此有：，因此有： 不可压缩流动，有：不可压缩流动，有： 粘性项写成为粘性项写成为 dy V y dy V y2 , 2 22 ddz z dy y dx x dz

40、fdyfdxf zyx )( p ddz z p dy y p dx x p ) 111 ( )(dzvdyvdxv zyx 第二、三项同理可替换为：第二、三项同理可替换为： 三项之和为：三项之和为： 2222 2222 V ddy V y dy V y dx V x sd Dt vD 4.5 粘性流体运动方程粘性流体运动方程Navier-Stokes方程方程 EXIT 与理想流体能量微分方程相比，在上式中多了一项与粘与理想流体能量微分方程相比，在上式中多了一项与粘 性有关的项，物理上表示单位质量流体质点克服粘性应力所性有关的项，物理上表示单位质量流体质点克服粘性应力所 做的功，代表机械能的损

41、失，不可能再被流体质点机械运动做的功，代表机械能的损失，不可能再被流体质点机械运动 所利用。故称其为单位质量流体的机械能损失或能量损失。所利用。故称其为单位质量流体的机械能损失或能量损失。 对于质量力只有重力的情况，方程的形式变为对于质量力只有重力的情况，方程的形式变为 方程两边同除以方程两边同除以g，得到，得到 表示单位重量流体总机械能量沿流线的变化。表示单位重量流体总机械能量沿流线的变化。 0)() 2 ( 2 wdzvdyudx Vp gyd 0)() 2 ( 2 wdzvdyudx gg Vp yd 0)() 2 ( 2 wdzvdyudx Vp d 从而不可压从而不可压N-S方程，在

42、定常沿流线条件下可写为：方程，在定常沿流线条件下可写为： 4.5 粘性流体运动方程粘性流体运动方程Navier-Stokes方程方程 EXIT 如果令如果令 能量方程变为能量方程变为 单位重量流体所具有的机械能为单位重量流体所具有的机械能为 ；单位重量流体粘；单位重量流体粘 性力所做的功为性力所做的功为 。沿着同一条流线积分，得到：。沿着同一条流线积分，得到： )(wdzvdyudx g hd w 0) 2 ( 2 w hd g Vp yd g Vp y 2 2 w h d 2 1 2 22 2 2 11 1 22 w hd g Vp y g Vp y 4.5 粘性流体运动方程粘性流体运动方程

43、Navier-Stokes方程方程 EXIT 4.5 粘性流体运动方程粘性流体运动方程Navier-Stokes方程方程 21 2 22 2 2 11 1 22 w h g Vp y g Vp y 上式说明，在粘性流体中，沿同一条流线上单上式说明，在粘性流体中，沿同一条流线上单 位重量流体的所具有的机械能总是沿程减小的，不位重量流体的所具有的机械能总是沿程减小的，不 能保持守恒（理想流体时，总机械能是保持守恒的能保持守恒（理想流体时，总机械能是保持守恒的 ，无机械能损失），减小的部分代表流体质点克服，无机械能损失），减小的部分代表流体质点克服 粘性应力做功所消耗的机械能量。粘性流体的粘性应力做

44、功所消耗的机械能量。粘性流体的 Bernoulli积分方程说明，粘性流体在流动中，无论积分方程说明，粘性流体在流动中，无论 势能、压能和动能如何转化，但总机械能是沿程减势能、压能和动能如何转化，但总机械能是沿程减 小的，总是从机械能高的地方流向机械能低的地方小的，总是从机械能高的地方流向机械能低的地方 。 EXIT NS方程为非线性偏微分方程，它的求解一般需要借助计方程为非线性偏微分方程，它的求解一般需要借助计 算机用数值方法求解。而在一些简单的粘流问题上，算机用数值方法求解。而在一些简单的粘流问题上，NS 方程也有解析解。方程也有解析解。 例：求解二维平行壁之间的不可压粘性流动，二壁固定。例

45、：求解二维平行壁之间的不可压粘性流动，二壁固定。 2b x y 解解: 设流动定常，彻体力可略。设流动定常，彻体力可略。 二维不可压二维不可压 NS NS 方程写为：方程写为： )( 1 2 2 2 2 y u x u x p y u v x u u )( 1 2 2 2 2 y v x v y p y v v x v u 3. N-S方程的解析解举例方程的解析解举例* 4.5 粘性流体运动方程粘性流体运动方程Navier-Stokes方程方程 EXIT 由于由于 ，第二个方程化为，第二个方程化为：0),(vyuu 0 y p 即在流动横截面压强不变。又第一个方程化为即在流动横截面压强不变。又

46、第一个方程化为： x p y u 2 2 对对 y 积分，注意到积分，注意到 不是不是 y 的函数，对的函数，对 y 积分时当常数看积分时当常数看 x p ) 2 )( 1 21 2 CyC y x p u 4.5 粘性流体运动方程粘性流体运动方程Navier-Stokes方程方程 EXIT 由边界条件定常数由边界条件定常数 C1 和和 C2 ：y=b 处，处，u=0，定得，定得 C10， C2b2/2，于是：，于是： )( 2 1 22 yb x p u 即即 u 在在y 向作抛物线分布。中心点流速为：向作抛物线分布。中心点流速为： 表明沿表明沿x轴轴 是个负值，即压强是逐步下降的。一段长是

47、个负值，即压强是逐步下降的。一段长 度度 L 上的压降是：上的压降是： 2 max 2 1 b x p u x p 2 max /2bLup 这个压降是用于克服壁面摩擦阻力的。这个压降是用于克服壁面摩擦阻力的。 4.5 粘性流体运动方程粘性流体运动方程Navier-Stokes方程方程 EXIT 管道平均流速为：管道平均流速为： max 2 0 3 2 )( 3 11 ub x p dyu b u b 壁面摩擦应力为：壁面摩擦应力为： b x p y u by 0 一段长一段长 L 的壁面上摩擦应力是：的壁面上摩擦应力是： 两侧壁面上的总摩擦力是两侧壁面上的总摩擦力是 LL 00 ) 1( b

48、L x p L)(22 0 这个力刚好等于压降乘以通道面积，说明流动的损失完全消耗这个力刚好等于压降乘以通道面积，说明流动的损失完全消耗 在克服壁面摩擦上了。在克服壁面摩擦上了。 4.5 粘性流体运动方程粘性流体运动方程Navier-Stokes方程方程 EXIT 4.6 流动相似及相似准则流动相似及相似准则* 有了有了NS方程，我们可以看一看考虑粘性的作用在内方程，我们可以看一看考虑粘性的作用在内 ，流动要符合什么条件才能相似。要流动相似，毫无疑问，流动要符合什么条件才能相似。要流动相似，毫无疑问 首先要求对流动起扰动作用的物体形状要相似，即尺寸成首先要求对流动起扰动作用的物体形状要相似，即

49、尺寸成 比例。假设有两个流场，一个记为比例。假设有两个流场，一个记为1，另一个记为，另一个记为2，两个，两个 流动的各项参数之间的比例关系为：流动的各项参数之间的比例关系为： ,. , 12 12 12 12 12 12 121212 xgx p v t lll frf r prp vrv r t rt zrzyryxrx 其中的其中的 r 是比例系数，下标代表了是比例系数，下标代表了 相应的参数。相应的参数。 1 2 EXIT 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 3 1 x z y x x x v z v y v x v xx p f Dt Dv 将上述比例

50、关系代入第二个流场的将上述比例关系代入第二个流场的x方向方向NS方程：方程： 可得：可得： 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 11 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 )( )( 3 11 )( )()( z v y v x v rr rr z v y v x v xrr rr x p rr r fr z v v y v v x v v r r t v r r xxx l v z y x l v l p xg z z x y x x l vx t v 4.6 流动相似及相似准则流动相似及相似准则* EXIT 方程的各不同类型的项都出来一个各比例常数所组成的数方程的各不同类型的项都出来一个各比例常数所组成的数 ，如果这些数相等，那么流场，如果这些数相等，那么流场 2 的方程就变成流场的方程就变成流场 1 的方的方 程了。方程一样，无量纲的边界条件也一样，流动就相似程了。方程一样，无量纲的边界条件也