专题16数列中项数问题

1、专题 16 数列中项数问题数列中项数问题，不仅是存在性问题，而且是整数解问题 . 会利用整除性质、奇偶分析法、 “范围”控制解决， 常用到分类讨论思想类型一整数解问题典例 1.已知集合？?=? ?=? ?, ?=?, ?寸于数列?,?1 ,且对于任意孑? ,孑?？?有孑?，？? min孑? 记？?为数列?的前？项和(I )写出？?？?的值；(H)数列?222中，对于任意?2? ?22?存在2?新 ?使孑? 2?1，求数列行?的通项公式；(川)数列?中，对于任意孑?？存在孑?*?有孑?？ = 2 ?.求使得孑?？ 27孑?成立的？?最小值.【答案】(1) ?=?,孑？ (2)?2222 2 ?

2、+ 孑？?) (3)57【解析】(I ) ?=殳？?？ 2 ?+ 1, ?22 ?= 3,5,7,9,11,13,?,2?+ 1,?,?= 孑？?？?？ 2 ?1, ?覆 ?= 1,2,4,8,16,32,?, 2?1,?,? ?0 ?= 1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16,?.因为?1，且对于任意 ?叫?22?2? ?2?=2 min ?T?,所以 ?1?=?1 , ?2?=? 2, ?3?=?3, ? ?4 ?=? 4, ?5?=? 5, ? ?6 ?=? 7, ?7?=?8, ?8?=? 9 .(II )对于任意孑啦,孑?？?？有？2?=2min孑?,所以对于任意孑?

3、 ,孑?？有孑?？?，即数列?为单调递增数列 .因为对于任意孑？?？存在孑?使2?伽 2?-,所以？?？?？v ?.因为Z?,孑翻？ = 2 ?所以对于任意孑?有? 1 , ? 2 , ?2?24 ,所以，当?222时，有孑?？-? ?12 - 2 .2222-?2222 一2+ 1 = 2 + 1， 即? ?2 0 + 1 , ? ?2 1 + 1 , ? ?2 2 + 1 ,?2222 ?2222 = 2 曲 + 1 , 所以当? 3时,?-+ ( ?2) = 2 ?- + ? 3( ? 3),1-2有？?？ ? 2 0 + 21 + 22 +? +2?3 + ( ?-?2)= 1-2所以

4、孑?？ 2?2 + ? 1(? 3) 又? 1 , ?2 ,1 ?叨？ 1数列 僭的通项公式为：? ?2?2 + ?净？?？.(III )若？ 7? ?7?有？?+? = 2 ?, 令2?-? W2?解得?1 log2?+2 , 得？?m?x = log 2?+?2 = log 2? ?2，其中log2?+?2表示不超过 log2?2 的最大整数, 所以？?？=孑?？? = ?log 2? ?2),孑?？?？ 2? ?1).孑籥？ = 3 + 5 + 7 +? + (2 孑？) + 1 + 2 +? + 2 log22/?2l =?2222) + (2 log2222?2 - 1), 依题意孑

5、?？27 ?2222,孑？?？)+ 2 log222222 - 1 27(2 ?+ 1),即？ 52?- 28 +2log2?/M?2 0 ,(?26) 2 + 4Xog?704 .当log 2? ?0 时，即？?？时，?) 2 + 4xlo22222= 629 704 ，不合题意;当log 2? ? 时，即？?？2,3 时，门？?) 2 + 4xlo普222M 242 + 8 704，不合题意;当log 2? ?2 时，即 4 ?初时，?？)2 + 4xMog2?送 222 + 16 704，不合题意;当log 2? ?3 时，即 8 ?毬?15 时，)2 + 4xlo0222M 182 +

6、 4 X 8 7Q4不合题意;当log 2? =4 时，即 16 ?冀?31 时，1? )2 + 4乂鯉? 1Q2 + 4 X 16 70,4 不合题意;当log 2? ?5 时，即 32 576.而？?50 时,(? 26)2 = 576 .所以?50 .又当?51 时，(51 - 26) 2 + 4刘0炉51 = 753 704 ;所以？?？?？og 2?1 51 + log 251 + 1 = 51 + 5 + 1 = 57综上所述，符合题意的？?的最小值为？?=?57.类型二存在性问题典例2已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn,且Sn(an a1 )(1(2求a1 ；证明数列an为

7、等差数列，并写出其通项公式;(3设lg bn T,试问是否存在正整数 p, q（其中1pq）,使b1, bp, bq成等比数列？若存在，求出所 n 3n有满足条件的数组（p，q）;若不存在，说明理由.【解析】(1 )令n=1，则a1(a1a1=S1 =a1 )=0.2（2由Sn(ana1），即Snann2n 2得5 1(n1)an21,得(n 1)an 1 nan 于是，r2 (n1)an 1 .+，得ria. 2nan 2nar11，即an 2an2an 1 .又a1=0,a2=1 , a2 -a1=1,所以，数列 an是以0为首项，1为公差的等差数列.【答案】(1) 0 ( 2) an=

8、n 1 (3) p 2 , q 3所以，an=n 1.(3解法1：假设存在正整数数组(p, q)，使b1, bp,2 p 1 q .3戶SU即匸0,故数列即( pp 1pp 1p3p3p3p3p& 1)(丄4 )九角0，故数列 1bq成等比数列，则Igb1, Igbp, Igbq成等差数列，于是，3pp 2时,2 ）为递减数列,q 3时,4 （ q 3 ）为递减数列,(埶x3 3q13 3q3q 13 3q4 , (1)4,即 p 2, q 3时，竺 1 上max933q max 93p 33q又当p 3时，2 p23 21，故无正整数q使得2 p 1 q成立3p27933p 33q解法2 :

9、同上有，2 p1q1且数列 2 p (p2 ）为递减数列，3p33q33p当p 2时，2 p 41成立;当p 3时，2p23213p933p279 3因此，由2 p 1得，p2 ,此时q 33p 3类型三否定性问题典例3等差数列an 的前n项和为Snai1 求数列an的通项an与前n项和* Nn），求证：数列【答案】（1）an 2n12 Sn【解析】（1）由已知得1,3a13dSn ；b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列.nn(n .2) . (2)见解析,d 2 ,32故 an 2n 12, &n(n（2）由（1）得bn 主n假设数列b 中存在三项（p, q, r互不相等）成等比数列，则

10、 b2 b b .rqp r即(q.2)2(p(q2pr)(2qp,q, rN ,20,qpr2qpr 0与pr矛盾.nPpr,(P r)20, p r .所以数列 bn 中任意不同的三项都不可能成等比数列.楕选若校模枫3BKv * *?中1的个数.【答案】详见解析【解析】(I)最佳排列？?为110、101、100、011、010、011.(n)设?=?则？ ? ?因为？?= -1,所以 |? I?,? I? I? I?之中有 2个0, 3个 1,按？?德? ? ? ? ? ? ? ?得? ? ?顺序研究数码变化，有上述分析可知由2次数码不发生改变，有 3次数码发生了改变，但是？?姿过奇数次数

11、码改变不能回到自身，所以不存在？?？使得？?？?)?= - 1 ,从而不存在最佳排列？?？(川)由?= ?7?(?=?0 或 1 , 7? 1.2 , ? , 2?),得?) = ?陥?？? ？?，?) = ? +1 ? ?, ?,| ? ? | ? ?+ ? + | ? ?+ | ?+? - ?即=?1 ,| ? ?+ | ? ?+ ? + | ? ? + | ?+? - ? ?, 以上各式求和得，？?？（？?？ 1） x?2?另一方面，2还可以这样求和：设 2?2? 222? 222222222222中有2个?0, ?个?, 则222222222222?八 J 5所以222+2222222

12、22212?=辺？（22221）?=?=?2?1,、?=?2?1或？ ？?，所以排列2222?中1的个数是？或?个.9 .设数列22?的前 n 项和为？2?2?已知?21 , ?2?- 2?=?1 （222?2?2(1) 求证：数列?2?为等比数列;(?2若数列满足：22?= 1 , 222222?2? 1222? 1? 222?2+? 求数列222?的通项公式； 是否存在正整数n,使得日?2?12?=?4 - 22成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)数列为等比数列，首项为1，公比为2.( 2)222?=2?-，? 2?5?2?2?2【解析】(1 )解：由2?2?

13、- 2?紳1 ,得？無？ 2?爾？=1 （ ?2）,两式相减，得2222+122? - 2?2? , 即卩-2（?2 ）.2/2?2因为?=?1由（? ? 2222= 1，得？2?：=2，所以?= 2 ,11 2 1 222?所以2?22+1= 2对任意?(? ?都成立,22/?所以数列?为等比数列，首项为 1,公比为2 .（2 由（1）知，?22?= 2 ?21,2?222? 1 由? = 222?+ J_，得?？ = _?+ _,?+? - 222?+?22? 2 2?即 2?22 = 2 2221?+?1，即 2222?- 2222?22? 1 , 因为?21，所以数列2?2?是首项为1

14、,公差为1的等差数列.所以 2?12?22?= 1 + （ ?：-?1） x 1 =?所以?2?2222?2?- 设?22? S?,?则?=?1 所以1 ?=2 ?X； 0 )+ 27?1X1 (1 + 31 1X 2( ) + 2X1 )2 + ? + ?x21 2X2 () + 31)?,2 ，1 311 ?, X2 ( )+ ? +? 4 - (2?+ 4)1 ?1+ ? + ( )211 ? 1-( 2)?-?-()=-2 1- 21 ? 1?Xh( ) = 2 -(? 2)()由 y? ?=?4 - ?得?=1? ?4 -(2?+ 4)1 ?，即？孑？?2 = 2 ?X (=) 4

15、- ?显然当?=?2时，上式成立, 设？? =?竺-2? ( ?即? 0 .?因为？?？?1) - ?= (?3 - 2?- C-?- 2?旳=-?2+ 2 ?営？ 0 ,? ?)所以数列?单调递减, 所以?= 0只有唯一解?2 , 所以存在唯一正整数?2，使得工?=4 - ?成立.10.已知数列?的前？?项和为1 21? + 1?(1)求数列?的通项公式?(2)令？?=兰泌，求数列?的前？?项和? 2?1-? ?求出？?的值, 令7?=? ?问是否存在正整数?1? ? ?使得? , ?成等差数列？若存在,? ? 1 + + +2 2221 ?2?1 - 2?2?= 2?因 1 - 2? -

16、2?11X?1- 1 ?2?1- 1 2- ?+22?=?24 - 2?1(3)则2?假设存在？?,？? 1且？? ?则 为奇整数,?1 (舍去)或?7 ,又由? 1则?代入*式得？?= 2,故存在?2, ?使得？?为为等差数列11 数列？鲜?？ ？?？?？ 4）满足：?1, ? ?,? - ? 0 或 1 ( k=1,2,n 1).对任意i, j，都存在 s, t，使得？?+?=?+?淇中i, j, s, t 1,2 ,，n且两两不相等.（I）若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号; 1,1,1,2,2,2; 1,1,1,1,2,2,2,2;1,1,1,1,1,2,2,2,

17、2(II )记? ? ? + ?若 m=3，求 S 的最小值;（III ）若 m=2018，求n的最小值.【答案】（I）；（H）见 解析；（川）2026.【解析】，都(I) 数列？?？?？ ?4)满足：?1, ? ?,?- ? 0 或 1 (k=1,2,，1).对任意 i, j 存在 s, t,使得?+?=? ?,?其中 i, j, s, t 1,2 ,，n且两两不相等.在中，1 , 1, 1, 2 , 2 , 2，不符合题目条件；在中， 1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 2 ， 2， 2， 2，符合题目条件；在中 ,1,1,1,1,1,2,2,2,2,符合题目条件.故所有符合题目条件的数列的序

18、号为.(II )当m=3时，设数列？?中)1,2,3，出现频数依次为?由题意？瞬1(? 1,2,3). 假设 ?1?4 ，则有 ?1?+?2? 2 )，与已知矛盾，所以?S 4 .同理可证：？?皐4. 假设?1 ,则存在唯一的？?？1,2, ? , ?使得 ?2 .则对?有？?？?？?？? 1 + 2工? ?(?k, s, t两两不相等)，与已知矛盾，所以? 2 .综上?S 4 , ? 4, ?:? 2 ,所以？?？马=?,故 S 的最小值为 20.(III )设1, 2,，2018出现频数依次为?,?8 同(II)的证明，可得? 4?(51? ? 4? 2,?(? 2,所以? 2026.取?

19、1?=?20?1?8 = 4, ?2?=?20?1?7 = 2 , ?=?1, ?=? 3,4,5, ? ,2016,得到的数列为：?:?1,1,1,1,2,2,3,4, ? ? ,2015,2016,2017,2017,2018,2018,2018,2018.下面证明 ?满?足题目要求.对?,? 1,2, ? ,2026 ，不妨令？?临? 如果 ? ?=? ?=?1 或? ?=? ? ?=?20 1 8 ,由于 ?1?=?4, ?20?1?8 = 4,所以符合条件； 如果 ?=?1, ?=?2或?=?2017, ?=?2018 ,由于?1?=?4, ?20?1?8 = 4 , ?2?=? 2

20、, ?20?1?7 = 2,所以也成立； 如果？?=1, ?2,则可选取？?穂2, ?務?1;同样的，如果?2017, ?=?2018，则可选取？?=?+?1, ?=2017，使得？?+?=?+?且 i, j, s, t 两两不相等； 如果1 2?4 ?2 彳可得孑？?？ 2?即卩一 +丄v 1 ? ?v 1 当1v me时不等式? ?鬲不成立； 当?= 4?= 3?-?22-?- 当?或？时 2?22?= ?2+ ?成立;孑？?孑？?12 当？?4时，- 0 ,- 2，则有? ?6 ;?所以? ?最小值为 6,? 3或？?=?3时取得(3)由题意得：? _ ? 12= 2 + (1 + 2)

21、?1 13+ (1+ 2 + 3)? ? ? ? ? + ?1 1 1?(1 + _+ _+ ? + -%?+?231 ?T?(1 + 2 + 3 + ? +1?+ ?裤 ？1?+? ?3? + ?1(1 )1 ?=2 ?(1)? 1 2?2? + 2?(2) 得 1(2)1 + + + + ? +1/ ?12 ?2?-2?=2 - 2()1 1? )?当且仅当？?*?, ?且? 4?:?2求得1 ?1?:? 4 - (?2)( 2所以？?？ 4(1 + 12 + ； + ? +设？?旳：in?%? 1?1)，则1?= ? ?= ? 0 ,1 ?-所以?在 (1, +s)上单调递增，有 ? ?

22、) = 0 ,1可得 In ? 1 -?当? 2, 且 ?N* 时， 1 ,? ? ?1 1有 in 1 -=,?-? ?12131?所以 in -, - in - ?丄 in ?,?21 32 ?-1 1123?可得 1 + - + 一+ ?+- 1+ In - +In - + ?+ in ? =1 + in ?2 3?12?-所以？? 4(1 + 1 + 1 + ? + 1? 2)?1所以，数列?是首项为2,公差为1的等差数列于是，？?？ ?1 .? 18，?成等比数列,所以？? ? 60?=?18 2，?-?+?1 = 6?= 54 或？? 54 ?6 ? 6曰疋? 6当？-时，?=?5

23、4?(?3) ?= 54 当？时 ?当? 6 时，-=542? = 54(?3) ?= 6?=?5解得？，?=?9无正整数解,(2)因为？?？ 30，?成等差数列,所以?=?5 , ? 9.(3)假设存在满足条件的正整数?使得？ ？?+?+ 16 = ?则？(？?？)( ?+ ?1) , (?辺,? ; (2)见解析；(3) 2?个.【解析】(1) ?= ?= ?(?1) , (?2), ?;(2) 数列为：1, 2, 3, 4; 4, 3, 2, 1;2,1,3,4;3,2,1,4;2,3,1,4;3,2,4,1;3,4,2,1;2,3,4,1 共8个.(3) 设所求个数为？?，则?1 ,对

24、？?1，若？?排?在第？?？则它之后的？?？位数完全确定， 只能是？?？?1 , ? , 2 , 1 .而它之前的(？ 1)位，？?？? 1 , ?+ 2 , ? , ?1有？鶴?种排法,令？?？ , 2, ?,?1则？?鬲 1 + ? ? + ? + ?务 =(1 + ? ? + ?) + ?, =?跋 + ? = 2 ?,二?= 2 ?1?15.设数列a 的前n项和为S，已知nnpS q(p、q 为常数，n N*)，又 an1a3(1)求p、q的值;求数列an的通项公式;(3)是否存在正整数m、S mn,使 _n_Sn 1_成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对1m, n ；若不存在，

25、说明理由【答案】(1) p 12an(3)存在符合条件的所有有序实数对:1,1 、2,1 、2, 2、3, 2、3, 3、3, 4 .【解析】(1)由题意，知3=2p+q3+q-3r=3p-l-Q,解之得(2)由(1)知,Sn+1=- Sn+2,当 nA 2 时，Sn=Sn-1+2,得，an+i=an （n2）,又a2=1Ia1，所以数列an是首项为2,公比为丄的等比数列,所以an=(3)由(2)得,4（1 一 ） -TT，得-九 L 2BU4（1 召 f 旷+1 卯(4rp)-2翅弋厂+1710(n2+1T212、11 r冃口 / , 因为 2m+10,所以 2n (4 - m) 2, 所以

26、 mv4,且 22n (4 - m)v 2m+1+4，因为mN*，所以m=1或2或3。当m=1时，由得，22nx38,所以n=1;当m=2时，由得，2 2nx 2 12,所以n=1或2;当m=3时，由得，2 2n0，所以a1 = 1.(2)因为 3Tn = Sn 2+ 2S ,所以 3Tn+1 = S+1 + 2S+1， 一，得 3an+1 2= Sn + 12 Sn 2+ 2a“ + 1因为 an+ 1 0 ,所以 3 an + 1 = Sn+1 + Sh + 2 ,所以 3 an+2 =Sn+ 2 + Sn + 1 + 2, 一，得 3 an+ 2 一 3an+ 1 = an + 2 + &+ 1，即 &+ 2 = 2玄门+ 1 ,所