第1章 离散时间信号与系统的时域分析

1、1 2 本章主要学习本章主要学习 p时域离散信号的表示方法；时域离散信号的表示方法； p典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性; ; p系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法; ; p模拟信号数字处理方法。模拟信号数字处理方法。 1. 2 离散时间信号离散时间信号 离散时间信号是指一个实数或复数的数字序列，它是整离散时间信号是指一个实数或复数的数字序列，它是整 数自变量数自变量n的函数，表示为的函数，表示为x(n)。离散时间信号也常用图形离散时间信号也常用图形 描述。描述。 ),.3(),2(),1

2、(),0(),1(),2(.)(xxxxxxnx 4 一、常用的典型序列一、常用的典型序列 1 1单位脉冲单位脉冲( (采样，冲激采样，冲激) )序列序列 （a）单位脉冲序列；）单位脉冲序列； （b）单位冲激信号）单位冲激信号 00 01 )( n n n 10123 1 n (n) (t) t 0 ( a )( b ) 3矩形序列矩形序列 5 2 2单位阶跃序列单位阶跃序列u(n) 00 01 )( n n nu u(n) 0123 1 n 为其它0 101 )( n Nn nRN R4(n) 0123 1 n 矩形序列矩形序列(N=4) 6 4 4实指数序列实指数序列 为实数为实数anua

3、nx n )()( 7 5 5正弦型序列正弦型序列 式中式中是正弦序列数字域的频率。它反映了序列变化快是正弦序列数字域的频率。它反映了序列变化快 慢的速率，或相邻两个样点的弧度数。慢的速率，或相邻两个样点的弧度数。 )sin()(nnx 对连续信号中的正弦信号进行采样，可得正弦序列。对连续信号中的正弦信号进行采样，可得正弦序列。 模拟正弦信号：模拟正弦信号： 数字频率数字频率与模拟角频率与模拟角频率之间的关系为之间的关系为 ：数字域频率；：数字域频率；：模拟域频率：模拟域频率 T：采样周期；：采样周期； fs：采样频率：采样频率 数字域频率相当于模拟域频率对采样频率的归一化值。数字域频率相当于

4、模拟域频率对采样频率的归一化值。 8 )sin()(ttxa )()sin()sin()(nxnnTtx nTt a s f T 式中，式中，为数字域频率。若为数字域频率。若=0=0，可得，可得 9 6 6复指数序列复指数序列 nj enx )( )( )sin()cos()(njnenx nj 欧拉公式欧拉公式 复正弦序列复正弦序列 如果对所有如果对所有n存在一个最小整数存在一个最小整数N，满足，满足 则称则称x(n)为周期序列，记为周期序列，记 ，最小周期为，最小周期为N。 例：例： 因此，因此，x(n)是周期为是周期为8的周期序列。的周期序列。 10 7.7.周期序列周期序列 nNnxn

5、x)()( )( nx )8( 4 sin) 4 sin()( nnnx 要使要使x(n+N)=x(n)，即，即 N，k为整数，且为整数，且k的取值保证的取值保证N是最小的正整数。是最小的正整数。 11 下面讨论一般正弦序列的周期性下面讨论一般正弦序列的周期性 )sin()( nAnx )sin()(sin()( NnANnANnx kN2 kN 2 （1）当当 为整数为整数时，取时，取k=1，x(n)即是周期为即是周期为 的周的周 期序列。期序列。 （2）当当 为有理数为有理数时（时（P、Q为互素的整数），为互素的整数）， 则正弦序列是以则正弦序列是以P为周期的周期序列。为周期的周期序列。

6、（3）当当 为无理数为无理数时，任何整数时，任何整数k 都不能使都不能使N为正整为正整 数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。 分三种情况讨论分三种情况讨论kN 2 2 2 Q P 2 2 （1）当当 为整数为整数时，取时，取k=1，x(n)即是周期为即是周期为 的周的周 期序列。期序列。 （2）当当 为有理数为有理数时（时（P、Q为互素的整数），为互素的整数）， 则正弦序列是以则正弦序列是以P为周期的周期序列。为周期的周期序列。 （3）当当 为无理数为无理数时，任何整数时，任何整数k 都不能使都不能使N为正整为正整 数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。

7、数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。 2 2 （1）当当 为整数为整数时，取时，取k=1，x(n)即是周期为即是周期为 的周的周 期序列。期序列。 （2）当当 为有理数为有理数时（时（P、Q为互素的整数），为互素的整数）， 则正弦序列是以则正弦序列是以P为周期的周期序列。为周期的周期序列。 （3）当当 为无理数为无理数时，任何整数时，任何整数k 都不能使都不能使N为正整为正整 数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。 2 例例1-2 判断下列函数的周期性，并画出相应的波形。判断下列函数的周期性，并画出相应的波形。 ) 8 cos(2)(nnx ) 11 4

8、 cos(2)(nnx ) 4 1 sin(2)(nnx 05101520 -2 -1 0 1 2 正弦序列（周期为16） 05101520 -2 -1 0 1 2 正弦序列（周期为11） 14 二、序列运算二、序列运算 1.1.乘法和加法乘法和加法 15 2 2移位及翻转移位及翻转 表示序列右移（延时）；表示序列右移（延时）； 表示序列左移（超前）。表示序列左移（超前）。 是以是以n=0的纵轴为对称轴左右翻转得到。的纵轴为对称轴左右翻转得到。 序列的移位图序列的移位图 序列的翻转序列的翻转 )(mnx )(mnx )()(nxny 16 3. 3. 尺度变换尺度变换 表示序列每表示序列每m点

9、点( (或每隔或每隔m-1点点) )取一点，称为取一点，称为序序 列的压缩或抽取列的压缩或抽取。 表示把原序列两相邻值之间插入零值，称为表示把原序列两相邻值之间插入零值，称为序列序列 的伸展或内插零值的伸展或内插零值。 )(mnx )( m n x 任意序列可表示成单位脉冲序列的移位加权和。任意序列可表示成单位脉冲序列的移位加权和。即即 例如例如 三、任意序列的单位脉冲序列表示三、任意序列的单位脉冲序列表示 m mnmxnx)()()( ) 4(2) 3() 2(5 . 1) 1(3)(2) 1(3) 2(2)( nnnnnnnnx ) 2( x) 4 ( x) 1( x 18 1.3 1.3

10、 离散时间系统离散时间系统 系统系统将输入序列将输入序列x(n)变换成输出序列变换成输出序列y(n)的一种运的一种运 算，以算，以T 表示，则一个离散时间系统可用下图来表示表示，则一个离散时间系统可用下图来表示 记为记为 y(n)=Tx(n) T y(n)x(n) n 19 1. Linear Systems 线性系统满足线性系统满足叠加性叠加性和和均匀性均匀性。 设设Tx1(n)=y1(n)，Tx2(n)=y2(n) 如果如果Tax1(n)+ bx2(n)=Tax1(n)+Tbx2(n) =aTx1(n)+bTx2(n) =ay1(n)+by2(n) 成立，则此系统为线性系统，否则为非线性系

11、统。成立，则此系统为线性系统，否则为非线性系统。 20 例例1-31-3：判别系统：判别系统y(n) =Tx(n)=ax(n)+ b是否为线性系统？是否为线性系统？ 解解: :设设Tx1(n)= ax1(n)+ b Tx2(n)= ax2(n)+ b 因为因为Tcx1(n)+dx2(n)=acx1(n)+dx2(n)+b 而而 cy1(n)+dy2(n)=cax1(n)+dax2(n)+b(c+d)Tcx1(n)+dx2(n) 故此系统不是线性系统。故此系统不是线性系统。 线性系统 z(n) x(n) y(n) y0(n) 增量线性系统 21 2. Time-Invariant Systems

12、 系统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关。或者说，系统的响应与输入信号施加于系统的时刻无关。或者说， 系统的参数不随时间变化，即不管输入信号作用的时间先后，系统的参数不随时间变化，即不管输入信号作用的时间先后， 输出信号的形状均相同，仅是出现的时间不同。输出信号的形状均相同，仅是出现的时间不同。 设设y(n) =Tx(n)，则，则 y(n-k) =Tx(n-k)成立成立 22 系统时不变说明的示意图系统时不变说明的示意图 23 例例1-5 判别判别y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。所代表的系统是否是时不变系统。 解：解：因为因为 因此该系统不是时不变系统。因此该系统不是时不变

13、系统。 )()()(knxknkny )()(knnxknxT )()(knxTkny 3.3.线性时不变系统线性时不变系统 同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不 变系统。变系统。 （1 1）输入与输出之间的关系）输入与输出之间的关系 输入为单位脉冲序列时系统的输出称为单位脉冲响应。输入为单位脉冲序列时系统的输出称为单位脉冲响应。 由由h(n)可以确定任意输入时的系统输出，从而推出线性可以确定任意输入时的系统输出，从而推出线性 时不变离散时间系统一个非常重要的描述关系式。时不变离散时间系统一个非常重要的描述关系式。 )()(nTnh

14、T )(n )(nh 25 对对LTI系统，讨论对任意输入的系统输出系统，讨论对任意输入的系统输出 任意输入序列：任意输入序列： 系统输出：系统输出： T )(nx)(ny )(*)()()( )()( )()( )()()()( nhnxmnhmx mnTmxmnmxT mnmxTnxTny m mm m m mnmxnx)()()( 任意序列都可 以表示成单位脉冲 序列的移位加权和 )()()()()(nhnxmnhmxny m 离散卷积或线性卷积离散卷积或线性卷积 26 线性时不变系统线性时不变系统 卷积运算有明确的物理意义，就是在一般意义上描述了卷积运算有明确的物理意义，就是在一般意义

15、上描述了 线性时不变离散时间系统对输入序列的作用或处理作用。线性时不变离散时间系统对输入序列的作用或处理作用。 一个一个LTI系统可以用单位脉冲响应系统可以用单位脉冲响应h(n)来表征，任意输来表征，任意输 入的系统输出等于输入序列和该系统单位脉冲响应入的系统输出等于输入序列和该系统单位脉冲响应h(n)的卷的卷 积。积。 )(nh)()()(nhnxny )(nx 27 （2 2）线性卷积的计算）线性卷积的计算 计算它们的卷积的步骤如下：计算它们的卷积的步骤如下： （1）换元换元：x(m)和和h(m) （2）翻转翻转（折叠）折叠）：先在哑变量坐标轴：先在哑变量坐标轴m上画出上画出x(m)和和

16、h(m)，将，将h(m)以纵坐标为对称轴折叠成以纵坐标为对称轴折叠成 h(-m)。 （3）移位移位：将：将h(-m)移位移位n，得，得h(n-m)。当。当m为正数时，为正数时， 右移右移m；当；当m为负数时，左移为负数时，左移m。 （4）相乘相乘：将将h(n-m)和和x(m)的对应取样值相乘的对应取样值相乘。 （5）相加相加：把：把所有的乘积累加起来，即得所有的乘积累加起来，即得y(n)。 )()()()()(nhnxmnhmxny m 例例1-6 设设x(n)=R4(n)， h(n)=R4(n)，求，求y(n)=x(n)*h(n)。 解：采用图解法。解：采用图解法。 )()( 4 nRnx

17、)()( 4 nRnh )()()(nhnxny 例例1-7 设设x(n)=3(n)+2(n-1)+(n-2)， h(n)=2(n)+(n-1)+(n-2)， 求求y(n)=x(n)*h(n)。 解：采用列表法。解：采用列表法。 n=? 3 2 1 1 1 2 6 1 1 2 7 1 1 2 7 1 1 2 3 1 1 2 1 )4()3(3)2(7)1(7)(6)( nnnnnny 30 在在Matlab中，卷积可通过调用函数中，卷积可通过调用函数y=conv(x,h)来实现。来实现。 卷积的性质：卷积的性质： 1）两个长度分别为）两个长度分别为N和和M的序列，线性卷积后的序列长的序列，线性

18、卷积后的序列长 度为度为N+M-1。 证明：证明： 设设x1(n)是长度为是长度为N的有限长序列（的有限长序列（0nN-1），），x2(n) 是长度为是长度为M的有限长序列（的有限长序列（0nM-1）。）。 x1(m)的非零区间为的非零区间为0mN-1，x2(n-m)的非零区间为的非零区间为 0n-mM-1，两个不等式相加有，两个不等式相加有0nN+M-2，所以，所以， y(n)是一个长度为是一个长度为N+M-1的有限长序列。的有限长序列。 1 0 2121 )()()()()( N mm mnxmxmnxmxny 31 2 2）线性卷积服从交换律、结合律和分配律）线性卷积服从交换律、结合律和

19、分配律 )()()()()()( 2121 nhnhnxnhnhnx )()()()()()()( 2121 nhnxnhnxnhnhnx 32 4.因果系统因果系统 如果系统如果系统n0时刻的输出，只取决于时刻的输出，只取决于n0时刻以及时刻以及n0时刻以时刻以 前的输入序列，而和前的输入序列，而和n0时刻以后的输入序列无关，则称为因时刻以后的输入序列无关，则称为因 果系统。果系统。 在数学上因果系统满足方程：在数学上因果系统满足方程： y(n)=fx(n)，x(n-1)，x(n-2)， 一个一个线性时不变系统线性时不变系统为为因果系统的充分必要条件因果系统的充分必要条件是是: : 因果系统

20、的因果性是指系统物理上的可实现性。因果系统的因果性是指系统物理上的可实现性。 0,0)( nnh 33 非因果系统的延时实现非因果系统的延时实现 34 5.稳定系统稳定系统 稳定系统是指稳定系统是指有界输入产生有界输出的系统有界输入产生有界输出的系统。即即 如果如果|x(n)|M（M为正常数），有为正常数），有|y(n)|+，则该系统被，则该系统被 称为稳定系统。称为稳定系统。 一个线性时不变系统一个线性时不变系统稳定的充分和必要条件稳定的充分和必要条件是其单位取样是其单位取样 响应响应h(n)绝对可和，即绝对可和，即 n nh| )(| 35 例例1-8 设线性时不变系统的单位取样响应设线性

21、时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)， 式中式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。是实常数，试分析该系统的因果稳定性。 解：（解：（1 1）因果性）因果性 由于由于n0时，时，h(n)=0，系统是因果系统。，系统是因果系统。 （2）稳定性）稳定性 因此系统稳定的条件是因此系统稳定的条件是: : a anh n n n 1 1 )( 0 1 a 1 a 36 例例1-9 判别系统判别系统y(n) =Tx(n)=x(n)cos(n+)的因果稳定性。的因果稳定性。 解：（解：（1）因果性）因果性 因为因为y(n) =Tx(n)=x(n)cos(n+)只与只与x(n)的当前值有的当前值有

22、 关，而与关，而与x(n+1)，x(n+2)等未来值无关，故系统是因果的。等未来值无关，故系统是因果的。 （2）稳定性）稳定性 当当|x(n)|M时有时有Tx(n)|M|cos(n+ )|，由于，由于 |cos(n+)|1是有界的，所以是有界的，所以y(n) =Tx(n)也是有界的，故系也是有界的，故系 统是稳定的。统是稳定的。 37 系统的系统的线性线性、时不变性时不变性、因果性因果性和和稳定性稳定性是系是系 统的四个统的四个互不相关互不相关的性质。的性质。 38 1.4 离散时间系统的时域描述离散时间系统的时域描述差分方程差分方程 一、常系数线性差分方程的一般表达式一、常系数线性差分方程的

23、一般表达式 或或 其中其中ak，br都是常数都是常数。 M r N k kr knyarnxbny 01 )()()( 1, )()( 0 00 arnxbknya M r r N k k 39 说明：说明： 1）差分方程的阶数是用方程差分方程的阶数是用方程y(n-k)项中的项中的k取值最大与取值最大与 最小之差确定的。最小之差确定的。 2） 该式说明，系统在该式说明，系统在某时刻某时刻n的输出值的输出值y(n)不仅与不仅与该时刻该时刻的的 输入输入x(n)、过去时刻的输入过去时刻的输入x(n-1)，x(n-2)等有关，还与等有关，还与该时该时 刻以前刻以前的输出值的输出值y(n-1)，y(n

24、-2)等有关。等有关。 M r N k kr knyarnxbny 01 )()()( 40 差分方程的特点差分方程的特点 采用差分方程描述系统简便、直观、易于计算机实现采用差分方程描述系统简便、直观、易于计算机实现 容易得到系统的运算结构容易得到系统的运算结构 便于求解系统的瞬态响应便于求解系统的瞬态响应 但差分方程不能直接反应系统的频率特性和稳定性等。但差分方程不能直接反应系统的频率特性和稳定性等。 实际上用来描述系统多数还是由实际上用来描述系统多数还是由系统函数系统函数。 41 二、差分方程的求解二、差分方程的求解 常系数差分方程的求解方法有迭代法，时域经典法，卷常系数差分方程的求解方法

25、有迭代法，时域经典法，卷 积法和变换域法。积法和变换域法。 时域经典法时域经典法类似于解微分方程，过程繁琐，应用很少，类似于解微分方程，过程繁琐，应用很少， 但物理概念比较清楚。但物理概念比较清楚。 迭代法迭代法( (递推法递推法) )比较简单，且适合于计算机求解，但不比较简单，且适合于计算机求解，但不 能直接给出一个完整的解析式作为解答（也称闭合形式解能直接给出一个完整的解析式作为解答（也称闭合形式解 答）。答）。 卷积法卷积法适用于系统起始状态为零时的求解。适用于系统起始状态为零时的求解。 变换域方法变换域方法类似于连续时间系统的拉普拉斯变换，这里类似于连续时间系统的拉普拉斯变换，这里 采

26、用采用Z变换法变换法来求解差分方程，这在实际使用上是最简单有来求解差分方程，这在实际使用上是最简单有 效的方法。效的方法。 例例1-10：若系统用差分方程若系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输描述，输 入序列入序列x(n)=(n)，求初始条件分别为，求初始条件分别为h(n)=0，n0时的单位脉冲响应时的单位脉冲响应h(n)。 解：解：（1）令）令x(n)=(n)，根据初始条件可递推如下，根据初始条件可递推如下 y(0)=ay(-1)+(0)=1 y(1)=ay(0)+(1)=a y(2)=ay(1)+(2)=a2 y(n)=ay(n-1)=an 因此，因此，h(n)=y(n

27、)=anu(n) 43 例例1-10：若系统用差分方程若系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输描述，输 入序列入序列x(n)=(n)，求初始条件分别为，求初始条件分别为h(n)=0，n0时的单位脉冲响应时的单位脉冲响应h(n)。 解：解：将差分方程改写成将差分方程改写成y(n-1)= a-1y(n)-x(n) 根据初始条件可递推如下根据初始条件可递推如下 y(0)=a-1y(1)-(1)=0 y(-1)= a-1y(0)-(0)=- a-1 y(n)=ay(n-1)=-an 因此，因此，h(n)=y(n)=-anu(-n-1) 44 以上结果说明：以上结果说明： （1 1）一

28、个常系数线性差分方程不一定代表一个因果系统一个常系数线性差分方程不一定代表一个因果系统 （2 2）一个常系数线性差分方程，如果没有附加的起始条）一个常系数线性差分方程，如果没有附加的起始条 件，不能唯一的确定一个系统的输入输出关系，并且件，不能唯一的确定一个系统的输入输出关系，并且 只有当起始条件选择合适时，才相当于一个线性时不只有当起始条件选择合适时，才相当于一个线性时不 变系统。变系统。 在以下的讨论中，除非另外声明，我们都假设常系数线在以下的讨论中，除非另外声明，我们都假设常系数线 性差分方程所表示的系统都是指线性时不变系统，并且多数性差分方程所表示的系统都是指线性时不变系统，并且多数

29、是指因果系统。是指因果系统。 三、三、MatlabMatlab实现实现 y=filter(b,a,x) 例例1-11 解：解：MATLAB程序程序 a=1,-1,0.9; b=1; x=impseq(0,-20,120); % 输入输入 n=-20:120; h=filter(b,a,x); % 系统输出系统输出 stem(n,h,.); nnxnynyny );()2(9 . 0)1()( 1.5 1.5 模拟信号数字处理方法（采样）模拟信号数字处理方法（采样） 前置预前置预 滤波器滤波器 A/D 变换器变换器 数字信号数字信号 处理器处理器 D/A 变换器变换器 模拟模拟 滤波器滤波器 模

30、拟模拟 xa(t) PrFADCDSPDACPoF 模拟模拟 ya(t) 采样采样采样恢复采样恢复 所谓所谓“采样采样”，就是利用采样脉冲序列从连续时间信号，就是利用采样脉冲序列从连续时间信号 中抽取一系列的离散样值，由此得到的离散时间信号通常称中抽取一系列的离散样值，由此得到的离散时间信号通常称 为采样信号，以为采样信号，以 表示。表示。 采样的原理框图采样的原理框图 47 一、采样的基本概念一、采样的基本概念 )(txa 采样器采样器 连续信号连续信号 采样脉冲采样脉冲 采样信号采样信号 48 （a）实际采样）实际采样 （b） 理想采样理想采样 图图1-22 两种采样方式两种采样方式 49

31、 二、理想采样及其频谱二、理想采样及其频谱 1.时域分析时域分析 数学模型数学模型 采样脉冲：采样脉冲： 理想采样输出理想采样输出: : n T nTtttp)()()( n aTaa nTtnTxttxtx)()()()()( )()( 2 1 )( aa PXX 50 2. 2.频域分析频域分析 映射 时域相乘时域相乘 频域卷积频域卷积 （模拟系统）（模拟系统） 1)1)冲激函数序列冲激函数序列T(t)的频谱的频谱 考虑到周期信号可以用傅里叶级数展开，因此，冲激函考虑到周期信号可以用傅里叶级数展开，因此，冲激函 数序列数序列T(t)可用傅里叶级数表示为可用傅里叶级数表示为: : 其中其中

32、n tjn nT s eFt)( )()( 2 1 )( aa PXX )()()( aa tptxtx T/2 s 2/ 2/ )( 1 T T tjn n dtet T F s T dtt T T T 1 )( 1 2/ 2/ 51 因此，因此， 上式表明冲激函数序列具有梳状谱的结构，即它的各次上式表明冲激函数序列具有梳状谱的结构，即它的各次 谐波都具有相等的幅度谐波都具有相等的幅度1/T。 因为因为 ，所以，所以 2, 1, 0, 1 )( ne T t n tjn T s )(2 s s tj e nn jn n T e T FP)( 2 1 )( s s 幅度谱频谱 52 2 2）理

33、想采样信号）理想采样信号 的频谱的频谱 上式表明：上式表明： （1）频谱产生周期延拓频谱产生周期延拓。 即采样信号的频谱是频率的周即采样信号的频谱是频率的周 期函数，其周期为期函数，其周期为s。 （2）频谱的幅度是）频谱的幅度是Xa(j) 的的1/T倍。倍。 )(*)( 2 1 )( PXjX aa )( 2 *)( 2 1 n sa n T X n sa nX T )( 1 )(txa 53 三、时域采样定理三、时域采样定理 如果信号如果信号xa(t)是带是带限信号，且最高频率不超过限信号，且最高频率不超过s/2，即，即 那么采样频谱中，那么采样频谱中，基带频谱基带频谱以及以及各次谐波频谱各

34、次谐波频谱彼此是不重叠彼此是不重叠 的。的。 用一个带宽为用一个带宽为s/2的理想低通滤波器，可以不失真的还的理想低通滤波器，可以不失真的还 原出原来的连续信号。原出原来的连续信号。 但是，如果信号最高频谱超过但是，如果信号最高频谱超过s/2，那么在采样频谱，那么在采样频谱 中，各次调制频谱就会相互交叠起来，这就是中，各次调制频谱就会相互交叠起来，这就是频谱混叠现频谱混叠现 象象。其中，。其中，s/2 或或 fs/2，称作，称作折叠频率折叠频率 。 2/|0 2/|)( )( s sa a jX jX 54 图图1-24 1-24 采样信号的频谱图采样信号的频谱图 55 图图1-26 1-26

35、 单音（余弦）信号采样中的频谱混叠情况示意图单音（余弦）信号采样中的频谱混叠情况示意图 56 设设 没有混叠时，恢复出的输出为没有混叠时，恢复出的输出为 有混叠时，则是有混叠时，则是 结论：结论：为使采样后能不失真的还原出原信号，采样频率为使采样后能不失真的还原出原信号，采样频率 必须大于两倍信号最高频率，这就是必须大于两倍信号最高频率，这就是奈奎斯特采样定理奈奎斯特采样定理。 ttxa 0 cos)( ttya 0 cos)( tty sa )cos()( 0 57 许多人在在看电影或电视时，汽车轮子细节会模糊看不许多人在在看电影或电视时，汽车轮子细节会模糊看不 清楚，这就是混叠的直接结果。

36、也就是拍摄时扫描的速度清楚，这就是混叠的直接结果。也就是拍摄时扫描的速度 （帧频）不够快，没有正确记录轮子的旋转情况。（帧频）不够快，没有正确记录轮子的旋转情况。 作业作业：设：设一般电影拍摄的帧频为一般电影拍摄的帧频为 16 张张/秒，对直径为秒，对直径为 0.6m 的普通轮子，在此记录速度下，为了清楚的记录轮子的普通轮子，在此记录速度下，为了清楚的记录轮子 的旋转情况，车速不能大于的旋转情况，车速不能大于km/h？ 应用举例应用举例 59 关于带通信号的采样关于带通信号的采样 对于带通信号，信号的频率范围为对于带通信号，信号的频率范围为 f1 f f2，而不是，而不是 0 f f1，则没有

37、必要以两倍的最高频率或，则没有必要以两倍的最高频率或 2f2 进行采样。此进行采样。此 时，最小采样极限取决于信号的带宽时，最小采样极限取决于信号的带宽 f2f1 以及带宽在频谱以及带宽在频谱 中的位置，取样频率至少必须是带宽的两倍，但可以更高中的位置，取样频率至少必须是带宽的两倍，但可以更高 些，关键是要保证没有频谱混叠。些，关键是要保证没有频谱混叠。 这种对带限信号的取样并未遵循奈奎斯特条件，称为欠这种对带限信号的取样并未遵循奈奎斯特条件，称为欠 采样（采样（Undersampling）。）。 例如，一个例如，一个GSM 蜂窝电话在蜂窝电话在900MHZ 频段上占频段上占 30kHz 带宽

38、，通过欠取样，只用比带宽，通过欠取样，只用比 60kHz 略高一点的采样频率，而略高一点的采样频率，而 非非1.8GHz，就可以恢复信号。，就可以恢复信号。 60 相对应的有过采样（相对应的有过采样（Oversampling） 用远高于奈用远高于奈 奎斯特取样频率的频率去取样，降低对抗混叠滤波器的要奎斯特取样频率的频率去取样，降低对抗混叠滤波器的要 求。经过粗略的模拟滤波和取样后，使离散数字信号经过一求。经过粗略的模拟滤波和取样后，使离散数字信号经过一 个具有良好滚降特性的数字抗混叠滤波器，使之在个具有良好滚降特性的数字抗混叠滤波器，使之在 f1Hz 处处 锐利截止，然后再通过甩点（锐利截止，

39、然后再通过甩点（Decimation）降低码率。）降低码率。 过采样的倍数有过采样的倍数有 4、8、16、32 倍，甚至高达倍，甚至高达 256。 例如高质量的声音带宽为例如高质量的声音带宽为 20kHz，但现在的许多，但现在的许多 ADC 变换器的采样频率为变换器的采样频率为 256kHz，甚至更高，提高，甚至更高，提高 ADC 转换转换 后的信噪比。后的信噪比。 61 四、采样的恢复（内插）四、采样的恢复（内插） 1.1.频域分析频域分析 2/,0 2/, )( s s T jG )( )()( 1 )()( )( jX jGjX T jGjXjY a a a )()(txty a 62

40、2.2.时域分析时域分析 把输出看成是把输出看成是 与理想低通单位冲激响应与理想低通单位冲激响应g(t)的卷积的卷积 理想低通理想低通G(j)的冲激响应为的冲激响应为 )(txa 2/ 2/ 2 )( 2 1 )( s s de T dejGtg tjtj t T t T t t s s sin 2 2 sin 63 根据卷积公式，低通滤波器的输出为：根据卷积公式，低通滤波器的输出为： dtgxtxty aa )()()()( dtgnTx n a )( )()( n a dnTtgx )()()( n a n a nTt T nTt T nTxnTtgnTx )( )(sin )()()(

41、64 其中：其中： n aa nTt T nTt T nTxtx )( )(sin )()( )( )(sin )( nTt T nTt T nTtg 采样内插公式采样内插公式 内插函数内插函数 内插函数内插函数 权内插公式 内插结果使得被恢复的信号在内插结果使得被恢复的信号在采样点的值就等于采样点的值就等于xa(nT)， 采样点之间的信号则是由采样点之间的信号则是由各采样值内插函数的波形延伸各采样值内插函数的波形延伸叠加叠加 而成的。而成的。 65 要完全恢复原来的连续信号要完全恢复原来的连续信号xa(t)，需要以下条件：需要以下条件： 限带信号限带信号； 无限次的理想取样无限次的理想取样（函数）；（函数）；（N） 理想低通滤波器，即理想低通滤波器，即Sinc内插函数内插函数（其截止频率满（其截止频率满 足足fc f fs/2） 但后两条在物理上都是不可实现的，因此，但后两条在物理上都是不可实现的，因此，原始信号在