压杆稳定讲义PPT学习教案

1、会计学1 压杆稳定讲义压杆稳定讲义 2 第1页/共41页 3 第2页/共41页 4 使系统使系统微小偏离微小偏离, 考察其力学行为考察其力学行为 系统系统微偏状态的微偏状态的两两力偶矩力偶矩 Fd d 使使竖杆更偏斜竖杆更偏斜 kd dl 使使竖杆回复初始竖直位置竖杆回复初始竖直位置 三种情况三种情况 Fd d kd dl 即即 F kl 系统更加偏离系统更加偏离初始平衡状态初始平衡状态 Fd d kd dl 即即 F kl 系统系统回复初始平衡状态回复初始平衡状态 Fd dkd dl 即即 F kl 系统系统可在任意微偏状态保持平衡可在任意微偏状态保持平衡 Fd d驱动力矩驱动力矩 kd d

2、l恢复力矩恢复力矩 刚杆弹簧系统分析刚杆弹簧系统分析 第3页/共41页 5 刚杆弹簧系统刚杆弹簧系统稳定性演示稳定性演示 第4页/共41页 6 载荷大小载荷大小 平衡性质平衡性质 F kl 不稳定平衡不稳定平衡 F kl 临界状态临界状态 系统在初始位置的平衡性质，与载荷的大小有关系统在初始位置的平衡性质，与载荷的大小有关，当当 F=Fcr 时，系统处于临界状态时，系统处于临界状态 Fcr kl 临界载荷 平衡的三种类型平衡的三种类型 第5页/共41页 7 压杆稳定性演示 （细长理想直杆轴向受压）（细长理想直杆轴向受压） 第6页/共41页 8 压杆稳定性概念 F Fcr 不稳定平衡不稳定平衡

3、F Fcr 临界状态临界状态 临界载荷临界载荷使压杆直线形式的平衡，开始有稳定转变为不稳定的轴向压力值使压杆直线形式的平衡，开始有稳定转变为不稳定的轴向压力值 压杆临界状态特点压杆临界状态特点压杆可在任意压杆可在任意微弯微弯状态保持平衡状态保持平衡 F Fcr 压杆微弯位置不能平衡压杆微弯位置不能平衡, ,要继续弯曲要继续弯曲, ,导致失稳导致失稳 F Fcr 压杆在任意微弯位置均可保持平衡压杆在任意微弯位置均可保持平衡 第7页/共41页 9 cr FF 第8页/共41页 10 方法方法： 一般而言，使结构一般而言，使结构偏离原平衡状态偏离原平衡状态，维持其平衡的外载荷就是临界载荷；，维持其平

4、衡的外载荷就是临界载荷； 对压杆而言，利用对压杆而言，利用微弯状态微弯状态下的平衡条件求临界载荷下的平衡条件求临界载荷 目的目的：求临界载荷：求临界载荷Fcr，保证结构不失稳，保证结构不失稳 第9页/共41页 11 第10页/共41页 12 待定待定 kBA, EI xM x w)( d d 2 2 (a) cossinkxBkxAw 0 d d2 2 2 wk x w EI F k 2 时时且且微弯微弯 , pmax 注意注意：M(x) , w 设正法设正法 Fcr使压杆在微弯条件下保持平衡的最小轴向压力 方法：使压杆方法：使压杆微弯微弯, ,再求能保持其再求能保持其平衡平衡的轴向外力的轴向

5、外力 求解思路 基本方程 FwxM )( 第11页/共41页 13 (a) cossinkxBkxAw EI F k 2 )1()a(与与由由 0 B(b) sinkxAw )2()b(与与由由 0sin klA (2) 0 (1) 0 0 wlx wx 处，处， 处，处，位移边界条件：位移边界条件： 0 A), 2 , 1 , 0( , nnkl0sin kl )0,1,2,( , 2 22 n l EIn F 取取 n=1 欧拉公式 欧拉临界载荷欧拉临界载荷 微分方程特征值问题求解微分方程特征值问题求解 第12页/共41页 14 kxAwsin klnnkl , 1 , 讨论 3) 压杆临

6、界状态时的挠曲轴为压杆临界状态时的挠曲轴为正弦曲线 说明压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡说明压杆在临界状态时的平衡是一种有条件的随遇平衡微弯程度可任意（在强度允许范围内）微弯程度可任意（在强度允许范围内） 1) 2 crcr /1 ,lFEIF 2) 在最小刚度平面内失稳在最小刚度平面内失稳 4) 失稳模态：若在解答中取失稳模态：若在解答中取 n=2，杆件如何失稳？，杆件如何失稳？ 第13页/共41页 15 小挠度小挠度 理论理论 大挠大挠 度理度理 论论 按大挠度理论按大挠度理论, 压杆不存在压杆不存在 随遇平衡随遇平衡, 以微弯平衡为临界状以微弯平衡为临界状 态特征态特征, 是

7、利用小变形条件对大是利用小变形条件对大 挠度理论的一种合理简化。挠度理论的一种合理简化。 两种理论的两种理论的 Fcr 解相同解相同, 说明说明 以微弯平衡为特征并用挠曲轴近似以微弯平衡为特征并用挠曲轴近似 微分方程微分方程 求解求解, 既正确既正确, 且简单实且简单实 用。用。 当当 FFcr , 实际压杆的实际压杆的 wmax 急急 剧增大剧增大, 说明说明Fcr同样导致压杆失效同样导致压杆失效, 也也说明采用理想压杆作为分析模型说明采用理想压杆作为分析模型 确定确定Fcr , 具有实际意义。具有实际意义。 曲线曲线 AB 在在A 点附近极平坦点附近极平坦, 当当F 略超过略超过 Fcr

8、时时, 压杆变形急剧压杆变形急剧 增大增大, 说明失稳极危险。说明失稳极危险。 实际压杆实际压杆 EI xM x )( )( 1 xd d EI xM x w)( d d 2 2 第14页/共41页 16 例例 1-1 图示细长压杆，图示细长压杆，l = 0.8 m, d =20 mm, E = 200 GPa, s = 235 MPa，求，求Fcr = ? 解： kN 2 .24 64 4 2 2 cr d l E F kN 8 .73 4 2 ss d F 细长杆的承压能力，是由稳定性要求确定的细长杆的承压能力，是由稳定性要求确定的 第15页/共41页 17 第16页/共41页 18 )(

9、)( R xlFFwxM )( d d R 2 2 xlFFw x w EI )( d d R 2 2 xl EI F w EI F x w )(cossin 2 R xl EIk F kxBkxAw ) / ( 2 EIFk 0 , 0 0, 0 , 0 wlx wx wx 0cossin 0 0 2 R 2 R klBklA EIk F Ak EIk lF B 关于关于 A,B,FR 的线的线 性齐次方程组性齐次方程组 第17页/共41页 19 非零解的条件非零解的条件： 0 0cossin 1 0 10 2 2 klkl EIk k EIk l klkl tan 493. 4) ( a

10、kl 493. 4 l EI F kly 2 klytan 1 ) / ( 2 EIFk 0cossin 0 0 2 R 2 R klBklA EIk F Ak EIk lF B 第18页/共41页 20 第19页/共41页 21 2 cr l EI F 2 cr 2/ l EI F 2 cr )7 . 0(l EI F 2 cr )2( l EI F m ml 相当长度相当长度相当的两相当的两 端铰支细长压杆的长度端铰支细长压杆的长度 （欧拉公式一般表达式）（欧拉公式一般表达式） m m 长度因素长度因素代表支持代表支持 方式对临界载荷的影响方式对临界载荷的影响 1 m m 2 m m 2

11、1 m m 7 . 0 m m 第20页/共41页 22 例例3-1 等截面细长杆，用类比法求等截面细长杆，用类比法求 Fcr=? 解：解：1. 失稳形式判断失稳形式判断 存在对称与反对称两类微弯平衡形式 2. 临界载荷计算临界载荷计算 ll7 . 0 eq,1 2 2 cr,1 )7 . 0(l EI F 2 2 cr,2 l EI F ll eq,2 2 2 cr,2cr l EI FF 第21页/共41页 23 l F FF ByAy d d 11 1 x l F FwEIw d d d dFFwEIw 2 2 111111 cossinx l kxBkxAw d d d d 22222

12、 cossinkxBkxAw 例 3-2 图示细长压杆，求图示细长压杆，求 Fcr= ? 解： 111) (x l F FwxM d d )()( 22 wFxM d d 第22页/共41页 24 (a) cossin 111111 x l kxBkxAw d d (b) cossin 22222 d d kxBkxAw (1) 0 , 0 11 wx (2) , 0 22 d d wx (3) 0 , 11 wlx (4) , 2121 wwlxx (5) , 2121 wwlxx 由式(a),(b)与条件(1),(2) ,得 由式(a),(b)与条件(3),(4),(5),得 0 21 B

13、B 0coscos 0sinsin 0sin 21 21 1 l klkAklkA klAklA klA d d d d 第23页/共41页 25 0cos2sinsin klklklkl 0sin kl0cos2sin klklkl 2 2 1cr l EI F ， 2 2cr 34. 1 l EI F ， 由此得： 两组可能的解： 0 1/ cos cos 0 sin- sin 1 0 sin lklkklk klkl kl A1, A2 与与 d d 非零解的条件非零解的条件： 第24页/共41页 26 第25页/共41页 27 A I l E Al EI 2 2 2 2 cr )()(

14、m m m m A I i 截面惯性半径截面惯性半径 2 2 cr i l E m m i lm m 柔度柔度或或细长比细长比 A Fcr cr 临界应力临界应力 压杆处于临界状态压杆处于临界状态 时横截面上的平均时横截面上的平均 应力应力 2 cr )( l EI F m m 欧拉公式欧拉公式 无量纲量，综合反映杆长无量纲量，综合反映杆长 、支持方式与截面几何性、支持方式与截面几何性 质对临界应力的影响质对临界应力的影响 细长压杆的临界应力细长压杆的临界应力, 与柔度的平与柔度的平 方成反比方成反比, 柔度愈大柔度愈大, 临界应力愈低临界应力愈低 第26页/共41页 28 欧拉公式的适用范围

15、欧拉公式的适用范围： p 2 2 cr E p E p p E 令 p 的压杆的压杆大柔度杆大柔度杆或或细长杆细长杆 例如，例如，Q235钢，钢，E200 GPa, p196 196 MPa 100 p 第27页/共41页 29 适用于合金钢、铝合金、铸铁与松木等适用于合金钢、铝合金、铸铁与松木等 p 的压杆的压杆非细长杆，非细长杆，属于非弹性稳定问题属于非弹性稳定问题 1. 直线型经验公式直线型经验公式 )( p0cr ba a, b 值与材料有关值与材料有关 小柔度杆小柔度杆 中柔度杆中柔度杆大柔度杆大柔度杆 b a cu 0 临界应力总图临界应力总图 0cu ba 第28页/共41页 3

16、0 适用于结构钢与低合金结构钢等适用于结构钢与低合金结构钢等 2. 抛物线型经验公式抛物线型经验公式 )0( p 2 11cr kN 1 .65 64)()( 4 2 2 2 2 cr d l E l EI F m m m m 大柔度杆大柔度杆 第30页/共41页 32 例例 4-2 求图示铬钼钢联杆求图示铬钼钢联杆Fcr, A = 70 mm2, Iz = 6.5104 mm4, Iy = 3.8104 mm4, 中柔度压杆的临界应力为中柔度压杆的临界应力为 )550( )MPa 29. 5(MPa 980 cr 解：解： 在在x-y平面失稳平面失稳 1 z m m 6 .52 )( A I

17、 l z z z m m z y y y A I l m m 2 .48 )( 7 . 0 y m m 在在x-z平面失稳平面失稳 kN 505 )MPa 29. 5(MPa 980 cr z AF 中柔度压杆中柔度压杆, 并在并在x-y平面失稳平面失稳 第31页/共41页 33 第32页/共41页 34 st st cr F n F F 用载荷表示的稳定条件用载荷表示的稳定条件 用应力表示的稳定条件用应力表示的稳定条件 nst稳定安全因素稳定安全因素 Fst稳定许用压力稳定许用压力 st st cr n st稳定许用应力稳定许用应力 计算计算Fcr与与 cr时时, 不必考虑局部削弱的影响不必

18、考虑局部削弱的影响 第33页/共41页 35 st ),(材料 折减系数折减系数或或稳定系数稳定系数 许用压应力许用压应力 压杆稳定条件压杆稳定条件 稳定许用应力稳定许用应力 第34页/共41页 36 合理选用材料合理选用材料 对于大柔度压杆对于大柔度压杆 E 较高的材料，较高的材料， cr 也高也高 GPa 220)(200 E钢与合金钢：钢与合金钢： 注意：注意：各种钢材（或各种铝合金）的各种钢材（或各种铝合金）的 E 基本相同基本相同 GPa 72)(70 E金：金：合合铝铝 对于中柔度压杆对于中柔度压杆 强度强度 较高的材料，较高的材料， cr 也高也高 对于小柔度压杆对于小柔度压杆 按强度按强度 要求选择材料要求选择材料 第35页/共41页 37 合理选择截面合理选择截面 I A l i l m