汪晓勤三等分角

1、三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 汪 晓 勤 华东师范大学数学系 2005 年 5 月 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 1 古希腊三大几何难题古希腊三大几何难题 l辩士学派 l欧几里得工具 l化圆为方 l倍立方 l三等分角 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 2 三等分角：尺规以外的解法三等分角：尺规以外的解法 u 对于古典时期的希腊人来说，二等分角易如反掌。 可是，当他们在成功地用尺规作出 圆内接正五边 形后试图再作边数更多的正多边形时，不可避免 地遇到了如何按给定比将角分成两部分的问题。 在正九边形的情形，这个比为 2:1，于是三等分角 问题产生了。希腊人以尺规来解该问题的尝试

2、一 次又一次地以失败告终！ 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 F B C DA B C F H BC G L N M Hippias（前 （前5世纪世纪） 的割圆曲线的割圆曲线 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 Archimedes（前（前287-212）螺线）螺线 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 AFE BC D G 转化为斜向问题转化为斜向问题 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 Nicomedes（前（前3世纪）的蚌线世纪）的蚌线 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 F BC A E G H D Pappus（4 世纪世纪）用圆锥曲线来解斜向问题）用圆锥曲线来解斜向问题

3、 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 C O B A E D Archimedes的斜向方法的斜向方法 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 D OB A F C Campanus（ （1 3 世纪）世纪） 的方法的方法 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 .Pascal（ （1588-1651） 蜗线蜗线 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 OB A T1 T2 T3 Fialkowski（ （1860） 无限次尺规作图法无限次尺规作图法 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 Aubry（ （1896）圆锥法）圆锥法 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 3、倍立方和化圆为方问题尺规以

4、外的作图、倍立方和化圆为方问题尺规以外的作图 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 Archytas （前（前4世纪）世纪） 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 阿契塔的倍立方模型阿契塔的倍立方模型 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 阿那克萨哥拉阿那克萨哥拉(Anaxagoras, 前前500428) 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 希波克拉底希波克拉底(Hippocrates, 公元前公元前5世纪世纪) 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 F E ABO C 希波克拉底的弓月形希波克拉底的弓月形 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 达达芬奇芬奇(L.de Vinci, 145

5、2 1519) 的化圆为方的化圆为方 法法 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 莫若里可（莫若里可（Maurolycus）的化圆为方法）的化圆为方法 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 l维斯拉瓦申博尔斯卡（Wislawa Szymborska）圆 周率诗 地球上最长的蛇不过四十英尺 神话和传说中的蛇也无分轩轾 组成Pi的数字列队行进逶迤 它不会在页边栖息 它会继续走过书桌，穿过空气 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 越过墙壁、树叶、鸟巢、云霓 直上九霄 穿过广袤无垠的天际 那彗星的尾巴显得多么短小 就像鼠尾和小辫子 而星光显得多么脆弱 撞在空间上便弯曲了轨迹 三等分角与数域扩充三等分

6、角与数域扩充 4 狂怪们的足迹狂怪们的足迹 u汪联松：北平晨报 （1938） u吴佑之：科学月刊 （1946） u杨嘉如：大陆报 （1948） u华罗庚：科学通报第三卷第六期 （1951） u中国数学杂志刊登启事（1952年8月） 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 本会截至现在为止，收到关于“三等分角”问 题的稿件是相当多的，可见目前尚有很多人去追 求这个古老的问题。这个几何三大问题之一的问 题，若许用圆规直尺以外的器械或曲线去作图， 早在纪元前就已解决了；如果只限用圆规、直尺 （就是初等几何的方法），到十九世纪的时候已 经证实不能作图。所以这个问题现在实是不成问 三等分角与数域扩充三等分

7、角与数域扩充 题的问题了。有些人因为见它的表面很简单，总不 相信不能作图；也有人以为“目前虽不能，将来 说不定还可能”；所以便为它的表面简单而迷惑， 为将来的可能而醉心。这种研究精神，用在其他 事物上是很可钦佩的，但用在这个问题上，却是 徒劳无功的事。希望这些人放弃这个企图吧！ 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 我们对于以上的投稿者都一一答覆了，今特 在这里作一个总声明，请读者以后再勿投这类的 稿件来，以免浪费人力物力。 u数学通报再次刊登上述启事（1953年1-2月） u 数学通报第三次刊登启事(1957年1月号) “再告企图用规尺三等分角的同志” 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充

8、用规尺三等分任意角”这一个不成问题的问题， 本通报已经登过几次启事说明这是一个已经证明 “不能”的问题，忠告一些同志不要浪费宝贵的 精神企图“能”了。启事登了以后，“三等分角” 的稿件还是源源而来，我们虽然对每一稿都作了 答复，但认为对这样的问题彼此白费了许多精力 和时间，殊不值得。就来稿的情况看：有些同志 是不知道 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 这个问题已经证明“不可能”了；也有人明知道了 而偏不相信；还有人想了一个方法，他自己认为 是对的，但是不会证；更有人对于他想的方法并 没有信心，认为是“十不离九”，万一不对的话， 也是近似的；等等。这样，我们敢大胆地说一句 话：这些同志还没有

9、彻底了解前人对于这个问题 的证明。现在我们再一次奉劝企图用规尺三等分 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 任意角的同志细读前人的证明。这样的证明，数学 界公认为是对的已经多年了，如果还有人怀疑， 就请先把它驳倒了再研究三等分法，幸勿先想方 法，不管前人研究的成果，而自寻苦恼。因此， 我们愿意和企图用规尺三等分任意角的同志相约： 如来稿系前人的证明加以辩难，我们一定参加讨 论；如来稿没有驳倒前人证明的文章，仅说方法 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 如何如何，恕我们不付审查。特此郑重声明。 关于前述的证明，中文书籍如苏联数学家乌 兹科夫等所著“代数”（丁寿田译），德人韦柏 著“数学全书”第

10、二册（郑太朴译），日人林鹤 一著“初等几何学作图不能问题”（仁诚等译） 中均载之，请查阅。在没有看或没有看懂以前， 不必妄想打破记录！至于“近似”的问题，我们 以为现在 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 已无研讨的必要，因为近似分法，“初等几何学 作图不能问题”及“近代数学概观”第二册中已 载了一些，况且在实用上如果必须三等分一个角， 可以用直线及圆以外的曲线或用他种器具如单位 直尺（见本通报1953年12月号所载“单位直尺 作图的问题”一文）来作，何必非用规尺二者作 近似的不可呢！ 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 u数学通报第三次刊登启事（1957年1月号）： “再告企图用规尺三等

11、分角的同志” u一位美国三等分角者如是说：“掌握科学知识的 人类怎会如此愚蠢？任何一位科学家或数学家在 他还未开始着手研究手头的难题时就说它不可能， 这只能说明他能力有限。” 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 l一位美国三等分者如是说：“我们发现当代的数 学权威们并不试图去解决这些疑难，却去写些阐 述不可能证明它们的论文。不鼓励这些难题的解 法，反而打击他们，还封他们为狂怪。” l美国数学家Underwood Dudley80年代搜集狂怪们 的研究“成果”，得三等分角作图法共两百余种！ 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 l狂怪们惟恐天下不知。 1951年，底特律一位82 岁 高龄的 “

12、五好牌” 向各个州的一流大学、各家著 名私人研究机构，还有包括爱因斯坦在内的数学 家，总共一百多处，通报了他的作图法！他收到 了六十多份答复，其中最好的是爱因斯坦的： “我收到的信件太多了，尽管我非常想回复所有 的信件，但我实在是没有时间！” 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 A OC B C 错误的三等分角法之一（错误的三等分角法之一（R. J., 1986）：作者声称：有 ）：作者声称：有50 多位数学教授（其中许多为多位数学教授（其中许多为 博士）评价了他的论文，并博士）评价了他的论文，并 支持他的证明支持他的证明 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 J B OA C I F ED

13、 G H T 1973 年，一位来自杜塞尔多夫的 年，一位来自杜塞尔多夫的 69 岁的退休公务员，声称自己在 岁的退休公务员，声称自己在 整整整整40 年里，花费年里，花费12,000 多小时，多小时， 终于找到了这个作图法终于找到了这个作图法 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 A N C NO KN C M A P A S M M E R L Y Y X 令人眼花缭乱的三等分令人眼花缭乱的三等分 角作图法角作图法 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 P H JN O D A I E C B G K F M R S V T U x x xx 神秘的三等分角法神秘的三等分角法 （K.B.S

14、., 1972） 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 C O H K B D E F G L A M N 一位美国大学校长的三一位美国大学校长的三 等分角作图法（ 等分角作图法（1933） 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 5 三大几何难题的代数表达三大几何难题的代数表达 u倍立方问题 给定单位长度的线段，作出长度为 x 的线段，使 得 x3 =2。 u三等分角（60） 给定单位长度的线段，作出长度为 x 的线段，使 得 8x3 -6x-1=0。 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 因为 cosA = 4cos3 (A/3)-3cos (A/3) cos60 = 4cos320 -3

15、cos20 (cos20 = x，若 x 作出，则20也能作出 ) 8x3 -6x-1= 0 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 cosA A 1 若给定单位若给定单位 长度和角的长度和角的 余弦，则这余弦，则这 个角也能用个角也能用 尺规作出尺规作出 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 l化圆为方问题 给定单位长度的线段，作出长度为 x 的线段，使 得 x2 = 。 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 6 可以用尺规作出的数可以用尺规作出的数 l定义定义1 设 F 是由一些复数组成的集合，其中包括 0 和 1。如果 F 中任意两个数的和、差、积、商 （除数不为零）仍然是 F 中的数（亦

16、称 F 对加、 减、乘、除（除数不为零）运算是封闭封闭的），那 么 F 就称为一个数域数域。 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 v有理数集 Q 是一个数域（有理数域）。 v实数集 R 是一个数域（实数域）。 v复数集 C 是一个数域（复数域）。 vQ（2）= a + b2, a, b Q 是一个数域。 l定理定理1 所有可以用尺规作图的数（线段长度）构 成的集合 K 是一个数域。 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 证明： 给定单位长度1。设a、b是可用尺规作出的线段长 度。则长度为a + b、a - b、ab 和 a / b 的线段均可 作出。即 a，b K a + b K 、a -

17、b K 、ab K、 a / b（b 0） K 因此，K 对加、减、乘、除运算是封闭的。 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 a b a-b a+b a bb 已知线段已知线段a、b，可以用尺规作出线段，可以用尺规作出线段a+b、a-b 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 ABC D E已知线段已知线段a、b，给定，给定 单位长度，可用尺规单位长度，可用尺规 作出线段作出线段ab：AB = 1， AC = b， EAD = 45， AD = a，过点，过点C 作作BD 的平行线，交的平行线，交AE 于于E. 则则AE = ab。 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 ABC D E已知线段

18、已知线段 a、b，给定，给定 单位长度，可用尺规单位长度，可用尺规 作出线段作出线段a / b：AB = 1， AC = b， EAD = 45， AE = a，过点，过点B 作作CE 的平行线，交的平行线，交AE 于于D. 则则AD = a / b。 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 从上面的证明可以看出： l定理定理2 给定单位长度，任一（正）有理数都是可 以作图的，即Q K。 对于无理数情形，我们有 l定理定理3 给定单位长度以及长为 a 的线段，则长度 为a 的线段是可以作图的。 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 a 1a 欧几里得欧几里得几何原本几何原本（前（前 3 世纪）世

19、纪） 卷卷2 命题命题 14 中已经有这种作图法了！中已经有这种作图法了！ 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 据此，我们有 l定理定理4 任何一元二次方程的实根都是可以作图的。 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 c 1c A BC D E 笛卡儿（笛卡儿（1637）的作图法：作）的作图法：作CB = ，AC = b/2，则，则x 2 - bx - c = 0 的一个根为的一个根为 ， c c bb DB 2 22 c bb EB 2 22 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 c 1c A BC D E 笛卡儿（笛卡儿（1637）的作图法：作）的作图法：作CB = ，AC = b/2，

20、则，则x 2 + bx - c = 0 的一个根为的一个根为 ， c c bb EB 2 22 c bb DB 2 22 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 c 1c 笛卡儿（笛卡儿（1637）的作图法：作）的作图法：作CB = ，AC = b/2，则，则x 2 - bx + c = 0 的一个根为的一个根为 ， c A BC D E c bb DB 2 22 c bb EB 2 22 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 c 1c 笛卡儿（笛卡儿（1637）的作图法：作）的作图法：作CB = ，AC = b/2，则，则x 2 + bx + c = 0 的一个根为的一个根为 ， c c bb

21、 DB 2 22 c bb EB 2 22 A BC D E 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 l定理定理 5 给定单位长度，数域 Q(2 )= a + b2, a, b Q 中的任一个数都是可以作图的。 事实上， a 、b、2 都是可以作图的。更一般地， 我们有 l定理定理 6 给定单位长度，数域 Q(c )= a + bc, a, b Q， c Q，但是c Q ）的任一个数都是可 以作图的。 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 现在，设 F0 = Q（有理数域有理数域） F1 =F0(c0)=a0 + b0c0, a0, b0, c0 F0, c0 F0 第一次扩充第一次扩充 F2

22、=F1(c1)=a1 + b1c1, a1, b1, c1 F1, c1 F1 第二次扩充第二次扩充 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 Fn = Fn-1(cn-1) =an-1 + bn-1cn-1, an-1, bn-1, cn-1 Fn-1, cn-1 Fn-1 第第n 次扩充次扩充 F0 F1 F2 F3 Fn-1 Fn l定理定理 7 给定单位长度，有理数域经过 k 次扩充后 所得数域 Fk 中的任一个数都是可以作图的。 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 这个定理也可以这样叙述： l定理定理 7 从单位长度出发，经过有限次有理运算 （加、减、乘、除）和开平方运算后所得长度 x

23、 是可以作图的。 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 7 三等分角尺规作图的不可能性三等分角尺规作图的不可能性 l定理定理 8 8 如果一个有理系数三次方程没有有理根， 那么它的任一根都不能用尺规作出。 证明：设三次方程为ax3 + bx2 + cx + d = 0，其中a、 b、 c、d 为有理数。假设 u是它的一个可以作图 的根，并且选取u为属于最小数域Fk中的一个 (显 然k 0)，也就是说，另外两个根不属于 Fk-1 。 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 于是 u=p + q r 其中p, q, r Fk-1 ，但 r Fk-1 。于是 v=p - q r 也是方程的根。因此，若

24、方程的第三个根为w，则 由根与系数的关系，得 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 u + v + w =2p+w = -b/a 因此 w = -2p -b/a 但 p, a, b Fk-1 ，故得 w Fk-1 。与假设矛盾。 那么，我们如何判断一个三次有没有有理根呢？ 我们有下面的 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 l定理定理 9（Eisenstein定理）设 f (x) = a0 xn + a1xn-1 + an-1x + an 是一整系数多项式。若r/s 是 f (x) 的一个有理根， 且 (r, s) = 1，则 s | a0，r | an。 下面我们回到三大几何难题中来。 三等

25、分角与数域扩充三等分角与数域扩充 l三等分角问题三等分角问题： 8x3 -6x-1=0 根据定理9，如果这个方程有有理根，则它们必为 1/8, 1/4, 1/2, 1 中的一个或若干个。但上面各数都不是原三次方 程的根。因此它没有有理根。根据定理8，它的根 （其中之一为cos20）不能用尺规作出！ 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 l倍立方问题倍立方问题： x3 2 = 0 根据定理9，如果这个方程有有理根，则它们必为 1, 2 中的一个或若干个。但上面各数都不是原三次方 程的根。因此它没有有理根。根据定理 8，它的 根（其中之一为32）不能用尺规作出！ 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩

26、充 l1837年，年轻的法国数学家万采尔（P. L. Wantzel， 18141848）证明了三等分角和倍立方尺规作图 之不可能性。 l1882年，德国数学家林德曼（C. Lindemann, 18521938）证明了的超越性，从而证明了化圆 为方的尺规作图之不可能性。 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 C. Lindemann ( 1852 1938) 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 7 圆内接正多边形的作图圆内接正多边形的作图 u几何原本中已经作出圆内接正三角形、正方 形、正五边形、正十五边形。 u高斯（C. F. Gauss, 1777-1855）在算术研究 （1801）中证

27、明了如下的正多边形尺规作图的充 要条件： 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 高斯与正十七边形（原民主德国邮票高斯与正十七边形（原民主德国邮票, 1977, 1977） 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 l定理定理10 当且仅当n = 2m p1 p2 pr时，正 n 边形才 能用尺规作出，其中m为正整数，pi为Fermat素数。 n 300 时，满足条件的 n 有37个：3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136

28、, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272。 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 l正七边形作图的不可能性正七边形作图的不可能性 =2/7 cos3 = cos4 8 cos4 -4 cos3 - 8cos2 +3cos +1=0 8x4 4x3 8x2 +3x + 1 = 0 8x3 + 4x2 4x 1 = 0 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 根据定理9，如果这个方程有有理根，则它们必为 1/8, 1/4, 1/2, 1 中的一个或若干个。但上面各数都不是原三次方 程的根。因此它没有有理根。根据定理 8，它的 根 cos(2 /7)不

29、能用尺规作出！ 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 l正九边形作图的不可能性正九边形作图的不可能性 = 2 / 9 cos3 = -1/2 4cos3 -3cos = -1/2 8x3 -6x +1=0 根据定理9，该方程没有有理根。根据定理8，它 的根cos(2/9)不能用尺规作出！ 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 l正十七边形的作图正十七边形的作图 高斯在算术研究中得到如下结果 1723421723417317 8 1 17234 16 1 17 16 1 16 1 17 2 cos 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 l蒲柏（A. Pope, 16881744）人论： 是谁教那蜘蛛 不用直线或直尺帮忙 画起平行线来 和棣莫佛一样稳稳当当 棣莫佛（棣莫佛（De moivre, 16671754） 三等分角与数域扩充三等分角与数域扩充 方程 z17-1=0 除 1 以外的16