《数学学习的心理基础与过程》 第一章范希尔理论

1、第一章第一章 范希尔的几何思维水平范希尔的几何思维水平 主讲：韩爽主讲：韩爽 罗曼罗曼 李静李静 范希尔理论范希尔理论 1.1 范希尔理论的应用范希尔理论的应用 1.2 研究展望研究展望 1.3 1.1 1.1 范希尔理论范希尔理论 范希尔理论的核心内容：范希尔理论的核心内容： 一、几何思维的五个水平（五水平）一、几何思维的五个水平（五水平） 二、与之对应的五个教学阶段（五阶段）二、与之对应的五个教学阶段（五阶段） 1.1.1 1.1.1 几何思维水平几何思维水平( (五水平五水平) ) 1. 层次层次0：视觉：视觉 儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操

2、作其几何 构图元素；能画图或仿画图形，使用标准或不标准名构图元素；能画图或仿画图形，使用标准或不标准名 称描述几何图形；能根据对形状的操作解决几何问题，称描述几何图形；能根据对形状的操作解决几何问题， 但无法使用图形的特征或要素名称来分析图形，也无但无法使用图形的特征或要素名称来分析图形，也无 法对图形做概括的论述。法对图形做概括的论述。 2. 层次层次1：分析：分析 儿童能儿童能分析分析图形的组成要素及特征，并以此图形的组成要素及特征，并以此 建立图形的特性，利用这些特性解决几何问题，但建立图形的特性，利用这些特性解决几何问题，但 无法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义；无法解释性质间的

3、关系，也无法了解图形的定义； 能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做图能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做图 形分类，但无法解释图形某些性质之间的关联，也形分类，但无法解释图形某些性质之间的关联，也 无法导出公式和使用正式的定义。无法导出公式和使用正式的定义。 3. 层次层次2：非形式化的演绎：非形式化的演绎 儿童能建立图形及图形性质间的关系，可以提出儿童能建立图形及图形性质间的关系，可以提出 非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步探非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步探 求图形的内在属性和其包含关系，使用公式预定义及求图形的内在属性和其包含关系，使用公式预定义及 发现

4、的性质做演绎推论。但不能了解证明与定理的重发现的性质做演绎推论。但不能了解证明与定理的重 要性，不能由不熟悉的前提去证明结果的成立，也不要性，不能由不熟悉的前提去证明结果的成立，也不 能建立定理网络之间的内在关系。能建立定理网络之间的内在关系。 4. 层次层次3：形式的演绎：形式的演绎 学生可以了解到，证明的重要性和了解学生可以了解到，证明的重要性和了解“不定义元不定义元 素素”、“公理公理”和和“定理定理”的意义，确信几何定理是的意义，确信几何定理是 需要形式逻辑推演才能建立的，理解解决几何问题必需要形式逻辑推演才能建立的，理解解决几何问题必 须具备充分或必要条件；能猜测并尝试用演绎方式证须

5、具备充分或必要条件；能猜测并尝试用演绎方式证 实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公理、定实其猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公理、定 义、定理等，也能推理出新的定理，建立定理间的关义、定理等，也能推理出新的定理，建立定理间的关 系网络，能比较一个定理的不同证明方式；能理解证系网络，能比较一个定理的不同证明方式；能理解证 明中的必要与充分条件。明中的必要与充分条件。 5. 层次层次4：严密性：严密性 在这个层次能在不同的公理系统下严谨在这个层次能在不同的公理系统下严谨 的建立定理，以分析比较不同的集合系统。的建立定理，以分析比较不同的集合系统。 到了到了2020世纪世纪8080年代，范希尔

6、又把五个思维水平合并为三个年代，范希尔又把五个思维水平合并为三个 1.直观水平直观水平整体的认识几何对象整体的认识几何对象 2.描述水平描述水平通过几何性质认识几何对象通过几何性质认识几何对象 3.理论水平理论水平利用演绎推理证明几何关系利用演绎推理证明几何关系 1.1.21.1.2 几何教学阶段几何教学阶段 对应几何和思维的五个水平，范希尔夫妇提出了五个对应几何和思维的五个水平，范希尔夫妇提出了五个 教学阶段：教学阶段： 阶段阶段2：引导定向：引导定向 阶段阶段1：学前咨询：学前咨询 阶段阶段4：自由定向：自由定向 阶段阶段3：阐明：阐明 阶段阶段5：整合：整合 层次层次0：视觉：视觉 层次

7、层次1：分析：分析 层次层次2：非形式化演绎：非形式化演绎 层次层次3：形式的演绎：形式的演绎 层次层次4：严密性：严密性 在第五个阶段结束时，新的思维水平就获得了。在第五个阶段结束时，新的思维水平就获得了。 阶段1：学前咨询 教师和学生进行双向交谈，教师了解学生如何理解指导语，并且帮助学生理教师和学生进行双向交谈，教师了解学生如何理解指导语，并且帮助学生理 解要学习的课题。解要学习的课题。 阶段2：引导定向 教室仔细安排活动顺序，是学生认识到学习进行的方向，逐渐熟悉这一结构教室仔细安排活动顺序，是学生认识到学习进行的方向，逐渐熟悉这一结构 的特性。的特性。 阶段3：阐明 教室仔细安排活动顺序

8、，是学生认识到学习进行的方向，逐渐熟悉这一结构教室仔细安排活动顺序，是学生认识到学习进行的方向，逐渐熟悉这一结构 的特性。的特性。 阶段4：自由定向 在这个阶段学生碰到多步作业或能以不同方式完成作业或以不同方式完成的作业。在这个阶段学生碰到多步作业或能以不同方式完成作业或以不同方式完成的作业。 在寻找方法和解决问题的过程中，学生获得了经验，通过自己确定学习领域的方向，在寻找方法和解决问题的过程中，学生获得了经验，通过自己确定学习领域的方向， 他们对学习对象之间的关系越来越明确。他们对学习对象之间的关系越来越明确。 阶段5：整合 学生回顾自己所用的方法并形成一种观点，对象和关系被统一并内化进一个

9、新的学生回顾自己所用的方法并形成一种观点，对象和关系被统一并内化进一个新的 思维领域。教师对学生理解的东西作一个全面的评述，帮助学生完成这一过程，在此，思维领域。教师对学生理解的东西作一个全面的评述，帮助学生完成这一过程，在此， 教师要小心，不要提出新的或不一致的观点。教师要小心，不要提出新的或不一致的观点。 1.1.31.1.3 范希尔理论的特点范希尔理论的特点 根据克劳雷的说法，范希尔几何水平有以下几个特点：根据克劳雷的说法，范希尔几何水平有以下几个特点： l 次序性：学生几何思维水平的发展是循序渐进的次序性：学生几何思维水平的发展是循序渐进的 l 进阶型：学生几何思维水平的提升是经由教学

10、，而不是随年龄成进阶型：学生几何思维水平的提升是经由教学，而不是随年龄成 长或心理成熟自然而然的。不可能跳过一水平到达下一水平长或心理成熟自然而然的。不可能跳过一水平到达下一水平 l 内隐性及外显性：某层的内隐性变成下一水平的外显性内隐性及外显性：某层的内隐性变成下一水平的外显性 l 语言性：一层次，一语言语言性：一层次，一语言 l 不适配性：一水平，一阶段不适配性：一水平，一阶段 l 水平的不连续性：一水平到另一水平的过渡不是平缓的水平的不连续性：一水平到另一水平的过渡不是平缓的 1.1.4 1.1.4 范希尔理论与范希尔理论与SOLOSOLO理论的比较理论的比较 一、一、SOLO分类法简介

11、分类法简介 人在学习新知识过程中表现出来的思维阶段是可以观察到的，因此称为人在学习新知识过程中表现出来的思维阶段是可以观察到的，因此称为 “观察到的学习结果结构观察到的学习结果结构” 即即SOLO分类法，分类法，其其理论基础理论基础是结构主义学说是结构主义学说 和皮亚杰认知发展阶段理论，它要求学生从两个方面做出反应：和皮亚杰认知发展阶段理论，它要求学生从两个方面做出反应： 模模 式式知识类型知识类型 感觉动机感觉动机默会的知识默会的知识 想象想象直觉的知识直觉的知识 具体符号具体符号书面知识书面知识 形式形式作为理论知识作为理论知识 后形式后形式元理论知识元理论知识 这些模式至少与皮亚杰的理论

12、至少有两个重要的区别：这些模式至少与皮亚杰的理论至少有两个重要的区别：第一，新发展的模式并不第一，新发展的模式并不 包含或者代替原来的模式；相反，原先的模式继续发展并为后来获得的模式提供包含或者代替原来的模式；相反，原先的模式继续发展并为后来获得的模式提供 支持。第二，后来发展的模式可以协助先前发展的模式进一步发展。支持。第二，后来发展的模式可以协助先前发展的模式进一步发展。 一是根据下面的定义的一是根据下面的定义的5个模式描述相应的思维模式的类型。个模式描述相应的思维模式的类型。 二是利用水平的划分对模式进行定性的分析。二是利用水平的划分对模式进行定性的分析。SOLOSOLO把抽象程度把抽象

13、程度 和题目上的复杂程度分为五个水平（或结构）和题目上的复杂程度分为五个水平（或结构） SOLO层次层次规则描述规则描述 前结构前结构学生无法解决问题或只会重复问题，不能理解要点学生无法解决问题或只会重复问题，不能理解要点 单结构单结构 学生注意到了问题的一个相关特征，但事实或观点之间没有学生注意到了问题的一个相关特征，但事实或观点之间没有 联系；理解是有名无实的。联系；理解是有名无实的。 多元结构多元结构 学生找到了许多独立的相关特征，但还无法将它们有机的联学生找到了许多独立的相关特征，但还无法将它们有机的联 系起来系起来 关联结构关联结构整合个部分内容使其成为一个有机的整体整合个部分内容使

14、其成为一个有机的整体 扩展抽象扩展抽象学生会归纳问题或重新概念化到更高的抽象层次学生会归纳问题或重新概念化到更高的抽象层次 为了弥补为了弥补SOLOSOLO输入法由于概念模糊造成的分类不稳定等问题，输入法由于概念模糊造成的分类不稳定等问题， 伯奈特、曲格韦尔等人在伯奈特、曲格韦尔等人在SOLOSOLO分类法中加入了三个层次，这样分类法中加入了三个层次，这样 使得分类更加明确，如下表：使得分类更加明确，如下表： 层次层次次层次次层次描描 述述代码代码 前结构前结构无法理解问题，胡乱猜想或重复无法理解问题，胡乱猜想或重复0 单结构单结构仅提到了一个相关信息仅提到了一个相关信息1 多元结构多元结构

15、低级低级 注意到注意到2-3个问题询问相关特征，但没有进一步阐个问题询问相关特征，但没有进一步阐 述述 2 中级中级注意到许多相关特征，但没有进一步阐述注意到许多相关特征，但没有进一步阐述3 高级高级注意到许多相关的特征，并用图解阐述每一点注意到许多相关的特征，并用图解阐述每一点4 关联结构关联结构 低级低级根据少数内容概括观点或形成图形根据少数内容概括观点或形成图形5 中级中级整合多个部分内容，形成观点或图形整合多个部分内容，形成观点或图形6 高级高级对整个章节的主要概念进行综合概括对整个章节的主要概念进行综合概括7 扩展抽象扩展抽象 概括整个章节的观点，质疑或批评传统实践或学概括整个章节的

16、观点，质疑或批评传统实践或学 科概念的基本含义科概念的基本含义 8 二、在二、在SOLOSOLO结构中，与评价有关的四个特点结构中，与评价有关的四个特点 评价的目标是学习者反映的结构质量评价的目标是学习者反映的结构质量 分类广泛分类广泛 分类有多个维度分类有多个维度 其结构中隐含着重要的、普遍的学习原则其结构中隐含着重要的、普遍的学习原则 三、三、SOLOSOLO分类与范希尔理论在许多方面的比较分类与范希尔理论在许多方面的比较 相似：相似： 两者都为教师提供了一种评价学生思维的途径。两者都为教师提供了一种评价学生思维的途径。 两者都可以作为一种教学的框架。两者都可以作为一种教学的框架。 1.

17、在各级反应上，学生的反应指标有些类似。在各级反应上，学生的反应指标有些类似。 区别：区别： SOLO水平侧重于评价学生的学习结果，而范希尔的目标则是学生个体能水平侧重于评价学生的学习结果，而范希尔的目标则是学生个体能 力的变化。力的变化。 SOLO分类可以应用于所有学科，儿而范希尔理论只适用于几何课程。分类可以应用于所有学科，儿而范希尔理论只适用于几何课程。 SOLO体系给出了过度水平，目的是帮助学生从一个层次向另一个层次过体系给出了过度水平，目的是帮助学生从一个层次向另一个层次过 度，而范希尔理论聚焦于每个层次上的教学设计。度，而范希尔理论聚焦于每个层次上的教学设计。 1.1.51.1.5

18、范希尔理论与皮亚杰理论做对比范希尔理论与皮亚杰理论做对比 差异：差异： 皮亚杰与范希尔最大的区别就是：前者讨论的是认知发展阶段，后者给出皮亚杰与范希尔最大的区别就是：前者讨论的是认知发展阶段，后者给出 的是几何思维水平。的是几何思维水平。 两个理论的研究目的不一样，皮亚杰主要是研究思维随年龄发展的情况，两个理论的研究目的不一样，皮亚杰主要是研究思维随年龄发展的情况， 而范希尔则试图帮助教师改进教学。前者没有改变课堂，而后者带来了课而范希尔则试图帮助教师改进教学。前者没有改变课堂，而后者带来了课 堂的变化。堂的变化。 皮亚杰认为影响过渡的主要因素是活动，而范希尔认为是语言。皮亚杰认为影响过渡的主

19、要因素是活动，而范希尔认为是语言。 皮亚杰认为逻辑思维的发展独立于学习内容，而范希尔认为，教学是一个皮亚杰认为逻辑思维的发展独立于学习内容，而范希尔认为，教学是一个 重要的控制因素。重要的控制因素。 1. 皮亚杰的研究重点在构建几何概念，他比较深入的探究了几何概念的形成皮亚杰的研究重点在构建几何概念，他比较深入的探究了几何概念的形成 过程；而范希尔的研究则在于建构集合系统的逻辑顺序，其理论偏向几何过程；而范希尔的研究则在于建构集合系统的逻辑顺序，其理论偏向几何 知识内容，较少研究每个水平所涉及的认知过程。知识内容，较少研究每个水平所涉及的认知过程。 1.2 1.2 范希尔理论的应用范希尔理论的

20、应用 范希尔的五个思维水平具有双重意义：他们既范希尔的五个思维水平具有双重意义：他们既 可以作为诊断学生几何思维水平的评估指标，也可可以作为诊断学生几何思维水平的评估指标，也可 以用于设计每个水平上的教学目标与任务。因此，以用于设计每个水平上的教学目标与任务。因此， 范希尔理论在几何教学中的应用是多方面的，其中范希尔理论在几何教学中的应用是多方面的，其中 包括课程编制、能力评估与教学设计等。包括课程编制、能力评估与教学设计等。 1.2.11.2.1 几何课程的编制几何课程的编制 一、范希尔理论用于课程设计。一、范希尔理论用于课程设计。 最早将范希尔理论用于课程设计的是前苏联学者最早将范希尔理论

21、用于课程设计的是前苏联学者 二、范希尔理论还被作为不同教材比较研究的理论框架二、范希尔理论还被作为不同教材比较研究的理论框架 今天，范希尔模型已经被运用于许多国家的数学课程编制，其中包括荷今天，范希尔模型已经被运用于许多国家的数学课程编制，其中包括荷 兰、德国、俄罗斯与美国。主要应用于两方面：兰、德国、俄罗斯与美国。主要应用于两方面： 1.2.2 1.2.2 几何思维水平的评估几何思维水平的评估 范希尔理论在几何评价上的应用主要包括相关的两个方面：范希尔理论在几何评价上的应用主要包括相关的两个方面： 一是在每个思维水平上设计出相应的测试题一是在每个思维水平上设计出相应的测试题 二是利用编制好的

22、测试题考查的范希尔思维水平二是利用编制好的测试题考查的范希尔思维水平 1.2.3 1.2.3 几何教学设计几何教学设计 由于范希尔理论侧重于在每个水平上对教学任务与学生由于范希尔理论侧重于在每个水平上对教学任务与学生 活动进行描述与分析，因此它也就自然成为一个教学设计的活动进行描述与分析，因此它也就自然成为一个教学设计的 理论框架。于是，在水平测试的基础上，一些研究者尝试利理论框架。于是，在水平测试的基础上，一些研究者尝试利 用范希尔理论去设计教学单元和教学阶段，考查能否由此改用范希尔理论去设计教学单元和教学阶段，考查能否由此改 变学生的思维水平。变学生的思维水平。 在运用范希尔理论进行教学设计之前，一件很重要的工在运用范希尔理论进行教学设计之前，一件很重要的工 作就是根据具体的教学材料，建立课堂活动与范希尔思维水作就是根据具体的教学材料，建立课堂活动与范希尔思维水 平之间的对应关系。下面我们将给出一个初步框架。平之间的对应关系。下面我们将给出一个初步框架。 范希尔模型