高中数学一轮复习 第6讲 椭圆

1、 第6讲 椭圆随堂演练巩固1.已知M为椭圆上一点为椭圆的一个焦点,且|=2,N为的中点,则ON的长为( ) A.2B.4C.8D. 【答案】B 【解析】设为椭圆的另一个焦点,根据定义有|+|=10,所以|=8.显然ON为三角形的中位线,即|ON|=4. 2.已知椭圆过其右焦点F作不垂直于x轴的弦交椭圆于A、B两点,AB的垂直平分线交x轴于N,则|NF|AB|等于( ) A.B.C.D. 【答案】 B 【解析】 本题适合于特值法.不妨取直线的斜率为0.右焦点F(2,0),则得|NF|=2,|AB|=6. 3.椭圆的两个焦点为、过作与x轴垂直的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|等于( ) A.1B

2、.2C.D. 【答案】C 【解析】不妨设令得|y|即|=.由|+|=4,得|=. 4.已知椭圆的一个焦点为F(1,0),离心率则椭圆的标准方程为( ) A.B. C.D. 【答案】C 【解析】由题意a=2.又椭圆的焦点在x轴上,椭圆的方程为. 5.已知平面内两定点A(0,1),B(0,-1),动点M到两定点A、B的距离之和为4,则动点M的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】由椭圆的定义知,动点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆,且c=1,2a=4,.椭圆方程为. 课后作业夯基基础巩固1.已知圆的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( ) A.圆B

3、.椭圆 C.双曲线D.抛物线 【答案】B 【解析】点P在线段AN的垂直平分线上, 故|PA|=|PN|.又AM是圆的半径, |PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6|MN|. 由椭圆定义知,P的轨迹是椭圆. 2.已知椭圆的左、右焦点分别为、点P在椭圆上,若P、是一个直角三角形的三个顶点,P为直角顶点,则点P到x轴的距离为( ) A.B.3C.D. 【答案】C 【解析】由题意 |=18.又18=其中h为P到x轴的距离),. 3.椭圆的离心率的取值范围是( ) A.B. C.D. 【答案】D 【解析】. 4.离心率为且过点(2,0)的椭圆的标准方程是( ) A.B.或 C.D.或 【答

4、案】D 【解析】当a=2时,由得所求椭圆为; 当b=2时,由得所求椭圆方程为. 5.已知椭圆ab0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且轴,直线AB交y轴于点P.若=2,则椭圆的离心率是( ) A.B.C.D. 【答案】D 【解析】左焦点F(-c,0),右顶点A(a,0),不妨设点B在第二象限,则由,得0-a=2(-c-0),所以. 6.若AB为过椭圆中心的弦为椭圆的焦点,则面积的最大值为( ) A.6B.12C.24D.48 【答案】B 【解析】由椭圆的标准方程可知a=5,b=4, . 如图所示,由于 根据椭圆的对称性可知, 当且仅当面积取最大值时,取最大值,这时B为短轴的端点,的最大

5、值为4=6.面积的最大值为12. 7.已知A、B为椭圆C:的长轴的两个端点,P是椭圆C上的动点,且的最大值是则实数m的值等于( ) A.B.C.D. 【答案】 C 【解析】由椭圆性质知,当点P位于短轴的端点时取得最大值,则tan. 8.如果方程表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是 . 【答案】(0,1) 【解析】椭圆方程化为.该椭圆焦点在y轴上,则即k0,0k1. 9.与椭圆共焦点,且过M(3,-2)的椭圆方程为 . 【答案】 【解析】设所求椭圆方程为代入(3,-2)得或3(舍去). 10.底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30角的平面所截,截口是一个椭圆,则这个椭圆的长轴长为 ,

6、短轴长为 ,离心率为 . 【答案】 cm 12 cm 【解析】作出经过椭圆长轴的圆柱的轴截面,易得 cm,短轴长即为底面圆直径12 cm,. 11.若椭圆的焦点在x轴上,过点作圆1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,求椭圆的方程. 【解】显然x=1是一条切线,且过切点A(1,0),设另一条切线方程为k(x-1), 即2kx-2y+1-2k=0. 由解得. 圆的切线方程为3x+4y-5=0. 解得.进一步求得过A(1,0)与两点的直线方程为y=-2x+2. 令x=0,得y=2. 故在椭圆方程中,b=2,c=1,. 因此椭圆方程为. 12.已知椭圆C的中心在原点,一个焦

7、点为F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2. (1)求椭圆C的方程; (2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点.当|最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围. 【解】(1)设椭圆C的方程为0). 由题意,得 解得. 所以椭圆C的方程为. (2)设P(x,y)为椭圆上的动点,由于椭圆方程为故. 因为=(x-m,y), 所以|. 因为当|最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点, 即当x=4时,|取得最小值.而 故有解得. 又点M在椭圆的长轴上,所以. 故实数m的取值范围是1,4. 13.(2012山东德州段考)如图,在平面直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD,AB的中

8、点为BC,AB=4,BC=3,AD=1,以A,B为焦点的椭圆经过点C. (1)求椭圆的标准方程; (2)若点E(0,1),问是否存在直线l与椭圆交于M,N两点且|ME|=|NE|,若存在,求出直线l斜率的取值范围;若不存在,请说明理由. 【解】(1)连接AC,依题意设椭圆的标准方程为0),在RtABC中,AB=4,BC=3,AC=5. CA+CB=5+3=2a,即a=4. 又2c=4,c=2,从而. 椭圆的标准方程为. (2)由题意知,当直线l与x轴垂直时,不满足|ME|=|NE|,当直线l与x轴平行时,|ME|=|NE|显然成立,此时k=0.当直线l的斜率存在,且不等于零时, 设直线l的方程为 由 消去y得 令的中点为 则 |ME|=|NE|,. 即 化简得 结合得即 解之,得. 综上所述,存在满足条件的直线l,且其斜率k的取值范围为. 拓展延伸14.已知椭圆C:0)的长轴长为4. (1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切,求椭圆C的焦点坐标; (2)若点P是椭圆C上的任意一点,过原点的直线l与椭圆相交于M,N两点,记直线PM,PN的斜率分别为、当时,求椭圆的方程. 【解】(1)由题意知得. 又2a=4,