1.1.2导数的几何意义

1、1.1.3导数的几何意义 切线 f(x0) (2)导数的几何意义 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0， f(x0)处的切线的 也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处 的切线的斜率是 相应地，切线方程 为 斜率 f(x0) yf(x0)f(x0)(xx0) 几何画板 2导函数 如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x处都是可导的，则称f(x)在区 间(a，b)内可导在区间(a，b)内，f(x)构成一个新函数，我们 把这个函数称为函数f(x)的导函数，简称为导数 注意：(1)函数在一点处的导数，就是该点的函数值的改变量与 自变量的改变量的比值的极限，它

2、是一个数值，不是变数 (2)函数的导数，是对某一区间内任意一点x而言的，就是函数 f(x)的导数f(x) (3)函数yf(x)在x0处的导数，就是导函数f(x)在点xx0处的导 数值 3利用导数的几何意义求过某点的切线方程 (1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，则先求出函数yf(x)在点x0 处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程yy0 f(x0)(xx0) (2)若题中所给的点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标， 然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出 切线方程 题型一已知过曲线上一点求切线方程 【例1】 求曲线f(x)x32x1在点P(1,2)处的切线

3、方程 思路探索 经验证P(1,2)在曲线f(x)x32x1上，求出f(x)在x 1处的导数f(1)，由导数的几何意义即可写出曲线在P(1,2)处 的切线方程 题型三求切点坐标 【例3】 已知抛物线y2x21，求 (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45？ (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20? (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30? 方法技巧数形结合思想在导数的几何意义 中的应用 数形结合解题就是解决与几何图形有关的问题时，将图形信 息转换成代数的信息，利用数量特征，将其转化为代数问题在 解决与数量有关的问题时根据数量结构特征，构造出相应的几何 图形，即化为几何问题，从而利

4、用数形的各自优势尽快得到解题 途径，这对提高分析和解决问题的能力将有极大的帮助 导数的几何意义就是切线的斜率，涉及此类问题可借助数形 结合思想来解决 【示例】 如图所示，物体运动的位移随时间变化的函数 f(t)t24t5的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)在t 1,2,3,4附近的变化情况 思路分析 由于函数yf(t)在某处的导数，就是曲线yf(t)在 某处的切线的斜率，因此可借助图象上某点切线斜率的大小 来说明曲线在某点附近的变化情况 解用曲线f(t)在1,2,3,4处的切线斜率的大小来刻画曲线f(t)在 1,2,3,4附近的变化情况 (1)当t1时，曲线f(t)在1处的切线l1的斜率f(1)0，在t1 附近曲线上升，即函数f(t)在tt1附近单调递增 (2)当t2时，曲线f(t)在2处的切线l2平行于t轴，f(2)0，说明在t 2附近曲线比较平坦，几乎没有升降 (3)当t3,4时，曲线f(t)在3,4处的切线l3，l4的斜率f(3)0，f(4)f(3)f(4)，