第2章分离变量

1、第2章分离变量 第1部分 直角坐标系中的 分离变量法 第2章分离变量 适用条件 奇次问题 只有一个边界条件是非奇次的问题 超过一个非奇次边界条件的问题 第2章分离变量 主要内容 分离变量法 直角坐标系中热传导方程的分离 有限大物体的一维奇次问题 半无限大物体的一维奇次问题 非奇次问题分解成简单问题 第2章分离变量 2.1 分离变量法分离变量法 物理模型物理模型 0 x T 0 hT x T k x L 初始时 )(xFT 0,0 ,1, 2 2 Lx TxT ax TxT 0 x T 0 hT x T k )(xFT Lx 00 0Lx 00 x 数学模型数学模型 第2章分离变量 求解过程求解

2、过程 xxXxT, d ax xXd xX 11 2 2 2 2 2 11 d ax xXd xX 0 2 a d d 0 2 2 2 xX x xXd TxT ax TxT,1, 2 2 第2章分离变量 0 2 a d d 2 a e 0 物理意义： 时间变量函数时间变量函数T（）满足微分方程满足微分方程 求解 第2章分离变量 0 2 2 2 xX x xXd 0 x X 0 hX x X kLx 0 x Lx 0 特征值： 只对分离参数取一些特定值 m，m1，2，3，才 有解，这些分离参数的值称为特征值。 特征函数： 相应的解X（m ，x）称为该问题的特征函数。 空间变量函数空间变量函数X

3、（x）满足微分方程满足微分方程 第2章分离变量 线性叠加原理构成方程的解线性叠加原理构成方程的解 2 1 , m a m mm exXcxT 存在的问题： 满足控制方程、边界条件。不一定满足初始条件。如何确定cm？ 利用初始条件 第2章分离变量 LxxXcxF m mm 0, 1 dxxFxX N c L m m m 0 , 1 dxxX L n 0 , nmN nm dxxXxX m L mn 0 , 0 范数 Cm的确定的确定 第2章分离变量 , 1 , 1 2 dxxFxXxX N exT m m m m a m 数学模型的解数学模型的解 范数 特征函数 特征值 xX m, m m N

4、显 函 表 达 式 第2章分离变量 2.2 直角坐标系中热传导方程的分离直角坐标系中热传导方程的分离 T az T y T x T1 2 2 2 2 2 2 zyxzyxT, 2 2 2 2 2 2 2 11 d d azyx 第2章分离变量 0 2 a d d 222 a e 求解： 第2章分离变量 0 2 2 2 2 2 2 2 zyx zZyYxXzyx, 0 111 2 2 2 2 2 2 2 z Z Zy Y Yx X X 2 2 2 1 x X X 2 2 2 1 y Y Y 2 2 2 1 z Z Z 0 2 2 2 X dx Xd 0 2 2 2 Y dy Yd 0 2 2 2

5、 Z dz Zd 2222 第2章分离变量 2.3 有限大物体的一维奇次问题有限大物体的一维奇次问题 0,0 ,1, 2 2 Lx TxT ax TxT 0 11 Th x T k 0 22 Th x T k )(xFT Lx 00 0Lx 00 x 物理模型物理模型 0, 1 h 0, 2 h x L 初始时 )(xFT 数学模型数学模型 第2章分离变量 求解求解 xxXxT, 时间变量函数()的解： 2 a e 0 2 2 2 xX x xXd 0 11 Xh x X k 0 22 Xh x X kLx 0 x Lx 0 空间变量函数X(，x) 特征值问题 2 1 , m a m mm e

6、xXcxT 解为：解为： 第2章分离变量 利用特征函数的正交性得到利用特征函数的正交性得到 dxxFxX N c L m m m 0 , 1 dxxXN L mm 2 0 , , 1 , 1 2 dxxFxXxX N exT m m m m a m 第2章分离变量 2.4 半无限大物体的一维奇次问题半无限大物体的一维奇次问题 0, 1 h x0 xFT 半无限大物体内热传导 物理模型物理模型 0,0 ,1, 2 2 x TxT ax TxT 0 11 Th x T k )(xFT x00 00 x 数学模型数学模型 第2章分离变量 问题的求解问题的求解 xxXxT, 0 0 , 1 , 2 x

7、 mm a ddxxFxXxX N exT 第2章分离变量 2.5 多维的奇次问题多维的奇次问题 0, 2 h x0 yxFT, 0 二维物体内热传导 y 0, 4 h 0T 绝 热 a b 物理模型物理模型数学模型数学模型 0,0,0 1 2 2 2 2 byax T ay T x T 0, 00 x x T 0,0 2 axTh x T 0, 00yT 0,0 4 byTh y T 0,在区域内，yxFT 第2章分离变量 分离形式分离形式 yYxXyxT, 0 2 2 2 xX x xX ax 0 axxh x X 0 2 00 x x X 0 2 2 2 yY y yY by 0 00y

8、Y byYh y Y 0 4 第2章分离变量 解得 22 11 , nm a m nmmn n eyYxXcyxT , , , 1 , 00 11 22 dydxyxFyYxX yYxX NN eyxT ab nm m nm nm a n nm 利用特征函数正交性确定Cm 第2章分离变量 2.7 不含热源的多维稳态问题不含热源的多维稳态问题 只有一个边界条件是非奇次的，可用分离变量法求解 不只以非奇次边界条件，可将该问题分解成一组简单 的问题，每个问题只有一个非奇次边界问题。 内区域R0 2 rT 上边界 iii i i SfTh n T k 非奇次部分 上在边界1 1 ixfT i 第2章分

9、离变量 0, h x0 二维稳态物体内热传导 y xfT 绝 热 a b 绝热 byax y yxT x yxT 0,00 , 2 2 2 2 00 x x T axTh x T 0 0yxfT by y T 0 数学模型物理模型 第2章分离变量 分离形式分离形式 yYxXyxT, 0 2 2 2 xX x xX ax 0 axhx x X 0 00 x x X 0 2 2 2 yY y yY by 0 by y Y 0 第2章分离变量 1 coscosh, m mmm xybcyxT 上式满足热传导问题及三个奇次边界条件，系数Cm可根据 方程的解还应满足非奇次的边界条件来确定。 axxbcx

10、f m mmm 0coscosh 1 cos cosh 1 0 dxxfx bN C a m mm m 依据正交性 第2章分离变量 2.8 非奇次问题分解成简单的问题非奇次问题分解成简单的问题 第2章分离变量 第2部分 圆柱坐标系中的 分离变量法 第2章分离变量 主要内容 圆柱坐标系中奇次热传导方程的变量分离； 针对边界条件的不同组合求得分离后的问题的基本解、范数及特征 值； 介绍用分离变量法求解一维和多维奇次热传导问题； 第2章分离变量 3.1 圆柱坐标系中热传导方程的分离圆柱坐标系中热传导方程的分离 T az TT rr T rr T111 2 2 2 2 22 2 zrzrT, 2 2

11、2 2 2 22 2 1111 d d azrrrr 0 2 a d d 0 11 2 2 2 2 2 22 2 zrrrr 第2章分离变量 0 11 2 2 2 2 2 22 2 zrrrr Helmholtz 方程方程 zZrRzr, 0 11111 2 2 2 2 2 22 2 z Z Z rr R rr R R 该式若成立，每一项等于任意分离常数，即 0 2 2 2 Z z Z 0 2 2 2 0 1 2 2 2 2 2 R rr R rr R 222 第2章分离变量 修正贝塞尔函数修正贝塞尔函数 0 1 2 2 2 2 2 R rr R rr R 阶贝塞尔（Bessel)微分方程 特

12、征函数 rY rJ rR , 第一类阶贝塞尔函 数 第二类阶贝塞尔函 数 第2章分离变量 1. 温度与变量温度与变量 无关无关 T az T r T rr T11 2 2 2 2 0 2 2 2 Z z Z 0 1 0 2 0 2 0 2 R r R rr R 0 2 a d d zzzZcossin:,和 rYrJrR 000 :,和 2 : a e 0fT R(, r)为零阶贝塞尔函数 222 第2章分离变量 2. 温度与变量温度与变量z无关无关 T a T rr T rr T111 2 2 22 2 0 2 2 2 0 1 2 2 2 2 2 R rr R rr R 0 2 a d d

13、cossin:,和 rYrJrR 和:, 2 : a e 22 第2章分离变量 3. 温度与变量温度与变量 无关无关 0 11 2 2 2 2 22 2 z TT rr T rr T 0 2 2 2 0 1 2 2 2 2 2 R rr R rr R 0 2 2 2 Z z Z cossin:,和 rYrJrR 和:, zzzZcossin:,和 第2章分离变量 3.2 变量为（变量为（r，t）的奇次问题）的奇次问题 b rF 0,H 实心圆柱导热模型 L rL 物理模型 T ar T rr T11 2 2 rFT HT r T 0 br br br 0, 0 0, 0,0 数学模型 br 0

14、 区域为区域为 第2章分离变量 时间变量函数 0 2 a d d 2 m a e brR r R rr R 00 1 0 2 0 2 0 2 brHR dr dR 0 0 0 空间变量函数 rR m, 1 0 , 2 m m a m rRecrT m 模型的解 模型的求解模型的求解 第2章分离变量 b m m m m a drrFrRrrR N erT m 0 0 1 0 , 1 , 2 已知：已知： mmm NrR, 0 b m m m mm mm a drrFrJrrR bJH rJ e b rT m 0 0 1 0 2 0 22 0 2 2 , 2 , 2 0 TrF 对于对于 求解求解

15、 1 2 0 22 10 2 2 0 22 , m mm mmm a bJH bJrJ e b T rT m 对应三种边界条件有不同的表达式对应三种边界条件有不同的表达式 第2章分离变量 bra 区域为区域为 a b rF 0, 2 H 0, 1 H 圆筒壁导热模型圆筒壁导热模型 物理模型物理模型 数学模型数学模型 T ar T rr T11 2 2 rFT TH r T TH r T 0 0 2 1 br br ar bra 0, 0 0, 0, 0, 第2章分离变量 时间变量函数 0 2 a d d 2 m a e 空间变量函数 rR m, 1 0 , 2 m m a m rRecrT m 模型的解 模型的求解模型的求解 brR