正方形的性质和判定(含解析)

1、正方形的性质和判定(含解析)正方形的性质和判定一、选择题1、下列命题是真命题的是（）A四边都相等的四边形是矩形B菱形的对角线相等C对角线互相垂直的平行四边形是正方形D对角线相等的梯形是等腰梯形二、填空题2、如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于_三、解答题3、已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQBE于点Q，DPAQ于点P（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长4、如图，四边形A

2、BCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交射线AB于点F，连结BE（1）求证：AFD=EBC；（2）若DAB=90，当BEF为等腰三角形时，求EFB的度数5、如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 上的动点，且AE=BF=CG=DH.（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；（3）求四边形EFGH面积的最小值。6、如图，四边形ABCD为矩形，E是BC延长线上一点，AE交CD于点G，F是AE上一点，并且AC=CF=EF，AEB=15（1）求ACF的度数；（2）证明：矩形ABCD为正方形7、如图1，正

3、方形,ABCD中，AC是对角线，等腰RTCMN中，CMN=90，CM=MN，点M在CD边上；连接AN，点E是AN的中点，连接BE（1）若CM，AB=6，求AE的值；（2）求证：BE=AC+CN；（3）当等腰RTCMN的点M落在正方形ABCD的BC边上，如图2，连接AN，点E是AN的中点，连接BE，延长NM交AC于点F请探究线段BE、AC、CN的数量关系，并证明你的结论9 / 99 / 9试卷 第9/9页正方形的性质和判定的答案和解析一、选择题1、答案：D试题分析：利用特殊的四边形的判定和性质定理逐一判断后即可确定正确的选项试题解析：A、四条边都相等的是菱形，故错误，是假命题；B、菱形的对角线互

4、相垂直但不相等，故错误，是假命题；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形但不一定是正方形，故错误，是假命题；D、正确，是真命题故选：D二、填空题2、答案：试题分析：根据辅助线的性质得到ABD=CBD=45，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，推出BEF与BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，即可得到结论。解：在正方形ABCD中，ABD=CBD=45，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，BEF=AEF=90，BMN=QMN=90，BEF与BMN是等腰直角三角形，FE=BE=AE= AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，MN=BD= AB，=，故

5、答案为：三、解答题3、答案：（1）见解析过程（2）AQ-AP=PQ，AQ-BQ=PQ，DP-AP=PQ，DP-BQ=PQ试题分析：（1）根据正方形的性质得出AD=BA，BAQ=ADP，再根据已知条件得到AQB=DPA，判定AQBDPA并得出结论；（2）根据AQ-AP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析（1）证明：正方形ABCDAD=BA，BAD=90，即BAQ+DAP=90，DPAQ，ADP+DAP=90，BAQ=ADP，AQBE于点Q，DPAQ于点P，AQB=DPA=90，AQBDPA（AAS），AP=BQ；（2）解：AQ-AP=PQ，AQ-BQ=PQ，DP-AP=PQ，DP-BQ=P

6、Q.4、答案：试题分析：（1）直接利用全等三角形的判定方法得出DCEBCE（SAS），即可得出答案；（2）利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出：当F在AB延长线上时；当F在线段AB上时；分别求出即可试题解析：（1）证明：四边形ABCD是菱形，CD=AB，ACD=ACB，在DCE和BCE中，DCEBCE（SAS），CDE=CBE，CDAB，CDE=AFD，EBC=AFD；（2）分两种情况：如图1，当F在AB延长线上时，EBF为钝角，只能是BE=BF，设BEF=BFE=x，可通过三角形内角形为180得：90+x+x+x=180，解得：x=30，EFB=30；如图2，当F在线段AB上时，EFB为

7、钝角，只能是FE=FB，设BEF=EBF=x，则有AFD=2x，可证得：AFD=FDC=CBE，得x+2x=90，解得：x=30，EFB=120综上：EFB=30或1205、答案：（1）证明见解析（2）直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由见解析（3）32试题分析：（1）由正方形的性质得出A=B=C=D=90，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明AEHBFECGFDHG，得出EH=FE=GF=GH，AEH=BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出HEF=90，即可得出结论；（2）连接AC、EG，交点为O；先证明AOECOG，得出OA=

8、OC，证出O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；（3）设四边形EFGH面积为S，BE=xcm，则BF=（8-x）cm，由勾股定理得出S=+=+32，S是x的二次函数，容易得出四边形EFGH面积的最小值。（1）证明：四边形ABCD是正方形，A=B=C=D=90，AB=BC=CD=DA，AE=BF=CG=DH，AH=BE=CF=DG，在AEH、BFE、CGF和DHG中，AEHBFECGFDHG（SAS），EH=FE=GF=GH，AEH=BFE，四边形EFGH是菱形，BEF+BFE=90，BEF+AEH=90，HEF=90，四边形EFGH是正方形；（2）解：直线EG经过一个定点，这个定点为

9、正方形的中心（AC、BD的交点）；理由如下：连接AC、EG，交点为O；如图所示：四边形ABCD是正方形，ABCD，OAE=OCG，在AOE和COG中，AOECOG（AAS），OA=OC，即O为AC的中点，正方形的对角线互相平分，O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；（3）解：设四边形EFGH面积为S，设BE=xcm，则BF=（8-x）cm，根据勾股定理得：=+=+，S=+=+32，20，S有最小值，当x=4时，S的最小值=32，四边形EFGH面积的最小值为32.6、答案：试题分析：（1）利用矩形的性质可得DAG=AEB=15，利用外角的性质和等腰三角形的性质可得AFC与CAF的度数，

10、可得ACF；（2）由DAG=15，FAC=30，易得DAC=45，可得ACD=DAC=45，由等腰三角形的判定可得AD=CD，由正方形的判定定理证得结论试题解析：（1）四边形ABCD为矩形，ADBC，D=90，DAG=AEB=15，CF=EF，FCE=AEB=15，AFC=FCE+AEB=30，AC=CF，FAC=AFC=30，ACF=18O-FAC-AFC=120；（2）由（1）知DAG=15，FAC=30，DAC=DAG+FAC=45，D=90，ACD=DAC=45，AD=CD，矩形ABCD为正方形7、答案：（1）2（2）BEAC+CN（3）BE（AC-CN）试题分析：（1）根据正方形的性质和等腰三角形的性质知ACN，运用勾股定理计算即可。（2）延长NC与AB的延长线交于一点G，AC+CN转化为GN，运用三角形的中位线性质可证。（3）类比（2）易得BE=（AC-CN）.解：(1）四边形ABCDj正方形，AB=6AC=6等腰RTCMN中，CMN=90，CM=MN，CMACACN=90AN=4点E