南京工业大学传递工程第4章 运动方程解例

1、 第四章第四章 动量传递方程的解例动量传递方程的解例 动量传递方程的若干解动量传递方程的若干解 q通常对于液体或低速运动的气体可以采用不可压缩流通常对于液体或低速运动的气体可以采用不可压缩流 体的模型。体的模型。 q假定流体是均质的，各向同性的，即假定流体是均质的，各向同性的，即 =常数常数。 q 本章用动量传递方程组求解本章用动量传递方程组求解速度速度和和压力压力分布问题。分布问题。 q动量方程组动量方程组 0 u uPg Dt uD 2 一一粘性流体的运动解例粘性流体的运动解例 1两平行两平行平板平板间的稳定间的稳定层流层流 v2套套管管环隙间的稳定环隙间的稳定层流层流 1两平行平板间的稳

2、定层流两平行平板间的稳定层流 v流体流过具有一定倾斜度的两平行平板流体流过具有一定倾斜度的两平行平板，讨论讨论 平板间的平板间的速度分布速度分布，见图，见图。 v两平板中两平板中： 下界面下界面是一是一固定板固定板（壁面）（壁面）， 上界面上界面可能是可能是固定的固定的、也可能是也可能是运动的运动的、 甚至甚至不存在上不存在上界面界面等三种情况等三种情况。 下板下板 上板上板 图图 沿两倾斜平行平板间的流动沿两倾斜平行平板间的流动 Z 轴垂轴垂 x-y 直面且无限宽，所以不考虑直面且无限宽，所以不考虑 Z 向流动向流动, uz = 0。 两板平行、且无孔，故也没有两板平行、且无孔，故也没有 y

3、 向流动向流动, uy = 0。 下板是一固定板下板是一固定板 固定固定、运动运动、无上界面无上界面 三种情况三种情况。 所以只是所以只是x 向的一维运动且不考虑进口端影响向的一维运动且不考虑进口端影响， ux = f (y)。 x y L0 L0 夹角夹角 1 1）所论情况）所论情况 ( (见讲义见讲义P64)P64) =const 稳态，层流稳态，层流 充分发展的一维运动，即两板间的速度分充分发展的一维运动，即两板间的速度分 布不再发生变化布不再发生变化 。 0 zy uu)(yuu xx 2 2）动量传递方程组的简化）动量传递方程组的简化 .EC 0 z u y u x u z y x

4、x EM. z u u y u u x u u t u Dt Du x z x y x x xx )()( 1 2 2 2 2 2 2 z u y u x u vg x p xxx x 0 0000 0 0 0 量级分析量级分析 稳态稳态C.E.uy = 0uz = 0 Z 无限宽无限宽 简化整理得简化整理得： uy = 0uz = 0 Cg dx dp y u x x )( 1 2 2 3）边界条件边界条件 0, 0 x uly（下界面固定下界面固定） 00 ,uuly x （上界面运动）（上界面运动） P69 0, 0 x uly （上界面固定）（上界面固定） P64 dy du ly x

5、 yx , 0（上界面为自由界面）（上界面为自由界面） P75 4 4）方程求解）方程求解 通解通解 Cg dx dp dy ud x x )( 1 2 2 DCy dy dux 一次积分一次积分： 二次积分：二次积分： EDyy C ux 2 2 - 通解通解 5 5）两固定平行平板（壁）间的流动）两固定平行平板（壁）间的流动 将下界面的边界条件将下界面的边界条件 代入通式，得代入通式，得 EDyy C ux 2 2 0, 0 x uly 代入通式，得代入通式，得 通解通解 此式为下界面固定的通式，上界面可能是此式为下界面固定的通式，上界面可能是 静静、动动、自由自由等情况等情况。 整理得：

6、整理得： ElDl C )()( 2 0 0 2 0 0 2 0 2 22 Dll C Dyy C ux )(A 0 2 0 2 Dll C E 将边界条件将边界条件 代入上式代入上式 A式式 得得 0 2 0 2 22 Dll C Dyy C ux 0, 0 x uly 整理得：整理得： 0 D代入通式，得代入通式，得 )( 2 2 0 2 ly C ux 2 0 2 0 )(1 2l y l C ux 整理得：整理得： 式中式中 2 0max 2 l C u 速度分布为一抛物线速度分布为一抛物线 或或 2 0 max )(1 l y uux （4-9） 0 2 00 2 0 2 )()(

7、2 0Dll C lDl C 2 0 max )(1 l y uux 6 6）下界面固定，上界面为自由界面）下界面固定，上界面为自由界面 - 具有自由界面的稳态明渠流动具有自由界面的稳态明渠流动 解得解得： 0 ClD 2 00 2 2 3 2 ClyCly C ux 整理整理 0)()( 0 0 0 DClDCy dy du ly ly x 再代回再代回A式，得稳态明渠流动的速度分布：式，得稳态明渠流动的速度分布： 将边界条件将边界条件代入代入A式，式， 令令： 则则 代入上式得代入上式得： )4( 2 0 2 YlY C ux 此时此时， 整理得整理得： )2( 2 sin 2 YHY v

8、 g ux 稳态明渠流动的速度分布稳态明渠流动的速度分布 )2( 2 2 HYY C v g gC x sin )0( 1 0 lYy 2 00 2 2 3 2 ClyCly C ux 将坐标平移将坐标平移 0 lyY 在自由表面处在自由表面处（Y=2l0）速度达到最大，其值为速度达到最大，其值为： 2 0 2 000max sin2 )4222( 2 sin l v g lll v g u 问：在何处速度达到最大？其值为？问：在何处速度达到最大？其值为？ )2( 2 sin 2 YHY v g ux 7 7）速度、平均速度、流量关系）速度、平均速度、流量关系 3 0 3 2 1 0 0 Cl

9、dyuQ l l x 仍以上下两平板均为固定板为例仍以上下两平板均为固定板为例： 流过两板间的流量为流过两板间的流量为 平均速度为：平均速度为： 2 0 0 3 1 2 Cl l Q um 3 2 2 1 3 1 2 0 2 0 max Cl Cl u um平均速度与最大速度关系平均速度与最大速度关系： ： （4-10） )( 1 x g dx dp C 8 8）剪切应力分布）剪切应力分布 yC dy dux yx )( 2 2 0 2 ly C ux v已知速度分布为：已知速度分布为： v所以，应力分布为：所以，应力分布为： 剪应力分布剪应力分布 2.套管环隙与圆管中的一维稳定层流套管环隙与

10、圆管中的一维稳定层流 本节讨论不可压缩流体在水平圆套管和圆直管内流动。讨论在远本节讨论不可压缩流体在水平圆套管和圆直管内流动。讨论在远 离进、出口截面处的离进、出口截面处的速度分布速度分布和考察管内外壁的和考察管内外壁的受力情况受力情况。 套管环中流体沿轴向流动时的流速侧型套管环中流体沿轴向流动时的流速侧型 1 1）所论情况）所论情况 恒密度流体恒密度流体 远离入口端（即，充分发展的一维运动）远离入口端（即，充分发展的一维运动） 内、外管壁何处受力大内、外管壁何处受力大？ ? max r u )(ruu zz 一维（仅为轴向一维（仅为轴向uz）、稳态）、稳态 思考题思考题： 管径何处速度最大，

11、即管径何处速度最大，即 2 2）动量传递方程组的简化）动量传递方程组的简化 根据所讨论的对象，选柱坐标系方程根据所讨论的对象，选柱坐标系方程 0 )()(1)( z uu rr u r u t zrr 连续性方程的简化连续性方程的简化 0 00 0 简化为满足一维稳态流动的连续性方程简化为满足一维稳态流动的连续性方程： 0 z uz 稳态稳态 ur = 0u = 0 )( z u u u r u r u u t u z z zz r z 2 2 2 2 2 1 )( 1 z uu rr u r rrz P g zzz z 0 0 0 0 0 0 0 N-S简化简化, , 且只考虑且只考虑z向向

12、 稳态 ur = 0u = 0 连续性方程 水平 绕轴流 简化得简化得： C z P r u r rr z 1 )( 1 连续性方程 3 3）边界条件）边界条件 圆环隙圆环隙 0, 1 z urr 圆管圆管 0, 2 z urr （外半径） （管中心管中心） （外半径） （内半径内半径） 0, 2 z urr 0 0 0 max 1 r z z dr du uu orrr 上式改写为上式改写为： C z P r u r rr z 1 )( 1 一次积分得一次积分得： D Cr dr du r z 2 2 r 移项后，再积分得移项后，再积分得： 通解通解 可用于求解套管和圆管内的速度分布可用于求

13、解套管和圆管内的速度分布 Cr dr du r dr d z )( ErDr C uz ln 4 2 4 4）通解）通解 q由由B.C. 得得： ErDr C 1 2 1 ln 4 0 0, 1 z urr q由由B.C. 得得： 0, 2 z urr q联立求解，解得联立求解，解得： 1 21 2 1 2 2 2 1 ln )ln(4 r rr rr r C E ErDr C uz ln 4 2 将将D， E 代入通解，得特解代入通解，得特解： ErDr C 2 2 2 ln 4 0 , )(ln )( 4 21 2 1 2 2 rr rrC D 5 5）特解）特解 圆管圆管环隙环隙内速度分

14、布内速度分布 ( (内内) ) ( (外外) ) 将将D， E 代入通解，得特解代入通解，得特解： 环隙内速度分布环隙内速度分布 抛物线抛物线 对数分布对数分布 z u 112 2 1 2 2 2 1 2 ln )ln( )( 4r r rr rr rr C 由由 0 max rr z dr du 整理得对应速度最大时的半径位置整理得对应速度最大时的半径位置 rmax ： 进一步求取对应速度最大时的半径位置进一步求取对应速度最大时的半径位置， )ln(2 12 2 1 2 2 max rr rr r 代入环隙内速度分布式得代入环隙内速度分布式得： max 1112 2 1 2 2 1 )( 1

15、 )ln( 2 4 0 rr rrrrr rr r C 将将 rmax 代入环隙内速度分布得代入环隙内速度分布得： 求：平均速度、流量、单位管长压降、剪切应力的表达式求：平均速度、流量、单位管长压降、剪切应力的表达式。 环隙内速度分布环隙内速度分布 1 2 max 2 1 2 ln 22 1 r r r rr dz dP uz ) 2 1 (8 2 max 2 1 2 2 rrr u dz dP m )2( 8 1 2 max 2 1 2 2 rrr dz dP 2 2）流量）流量 4 4）剪切应力）剪切应力 1 1）平均速度）平均速度 r rr dz dp1 2 1 2 max )( 2 2

16、 1 2 2 2 1 rr rdru u r r z m )(2 2 1 2 2 2 1 rrurdruQ m r r z 3 3）单位管长压降）单位管长压降 dr duz rz 【思考题】【思考题】： v若圆隙内外表面积之为若圆隙内外表面积之为1：5， v问内外管壁所受的剪切力也是否为问内外管壁所受的剪切力也是否为1：5？ v若不等说明什么问题若不等说明什么问题。 5:1: 21 rr AA5:1: 21 rr FF 5 1 368. 0 2 1 r r F F 说明内管壁受力更大更易损坏说明内管壁受力更大更易损坏。 答答： 6) 6) 圆管内速度分布圆管内速度分布 2 2 2 2 2 2

17、2 1 44r r r C rr C uz 整理得整理得： 管内管内抛物线速度分布抛物线速度分布 (层流层流) 式中: 2 2 4 , 0r C ED 从通式出发，用从通式出发，用 B.C. 和和 B.C. ，得得 ErDr C uz ln 4 2 2 2 max 1 r r uuz （3-48） 2 2 2 2max 4 1 4 r dz dP r C u 由速度分布可进一步求得由速度分布可进一步求得 截面平均速度截面平均速度 单位管长压降单位管长压降 上式称为上式称为哈根哈根- -泊稷叶方程泊稷叶方程（Hagen-Poiseuille Equation） 是管内层流计算的基本方程是管内层流

18、计算的基本方程。 流量流量 2 2 ruQ b 剪应力分布剪应力分布 max 2 2 2 2 0 2 11 8 1 2 2 ur dz dP r drru u r b 2 2 8 r u dz dP b r dz dP r r u dr duz rz 2 1 )2( 2 2 max (3-49) (3-51) dz dp r 1 8 1 2 2 q 以上无论是沿平板流动，还是沿圆管流动的速度分布以上无论是沿平板流动，还是沿圆管流动的速度分布 方程的建立都是从方程的建立都是从方程组简化方程组简化获得获得。 q 我们也可以对所求情况我们也可以对所求情况直接衡算直接衡算求得速度分布方程求得速度分布方

19、程。 q 以环隙内流动为例，导出管内流动的速度分布以环隙内流动为例，导出管内流动的速度分布通式通式 q 取圆环柱体为控制体，见取圆环柱体为控制体，见图图 ErDr C uz ln 4 2 v 绕控制体作动量衡算绕控制体作动量衡算： v 因为只有因为只有Z向向的动量变化，的动量变化， 在稳态情况下不变，故在稳态情况下不变，故 圆环面积圆环面积圆侧面积圆侧面积 压应力压应力 剪应力剪应力 v方程两边除以方程两边除以 主要是这一步衡算主要是这一步衡算 0 Dt uD Fz 02222 21 zr rz r rzz zrzrrPrrPrF r rr r z PP zr rz r rz 21 zr 2 r rr r z PP zr rz r rz 21 当当 r, , z 0 时，上式可写为微分形式时，上式可写为微分形式： 一次积分得一次积分得: dr du z rz 移项移项： 二二次积分得次积分得: dr rd r dz dP rz )( rz rD r dz d