二项式定理的练习及答案

1、项式定理的练习及答案基础知识训练(一)选择题1 (x x) 6 展开式中常数项是()A.第 4 项 B. 24C64 C. C46 D.22 （x 1） 11展开式中 x 的偶次项系数之和是（）A.-2048 B.-1023 C.-1024 D.10243 （12）7 展开式中有理项的项数是（）A.4 B.5 C.6 D.74若 C17 与 Cn 同时有最大值，则 m等于（）A.4 或 5 B.5 或 6 C.3 或 4 D.55设 （2x-3） 4=a0 a1x a2x 2 a3x3 a4x 4，则 a0+a1+a2+a3的值为（A.1 B.16 C.-15 D.153 1 116 (x3)

2、11展开式中的中间两项为( )xA. C151x12,C151x12B.C161x9, C15110x C.C151x13C151xD.C151x17C151x13二)填空题177在 (2xy)7 展开式中， x5y2的系数是38C0n3C1n2232C2n3nCnn9. （3 520)20 的展开式中的有理项是展开式的第10(2x-1) 5 展开式中各项系数绝对值之和是2 3 1011 (1 3x 3x2 x 3 )10展开式中系数最大的项是5120.991 5 精确到 0.01 的近似值是(三)解答题13求 (1+x+x 2)(1-x) 10 展开式中 x4 的系数14求 (1+x)+(1

3、+x) 2+ +(1+x) 10展开式中 x3 的系数x2的系数最小？15已知 (1-2x) 5展开式中第 2项大于第 1项而不小于第 3，求 x 的取值范围16若f (x) (1 x)m (1 x)n(m n N )展开式中， x的系数为 21，问 m、n 为何值时，17自然数 n 为偶数时，求证：18求 8011被 9 除的余数14；3，求展开式的常数项19已知 ( x22 ) n的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为x2520在 (x 2+3x+2) 5的展开式中，求 x 的系数21求 (2x+1) 12展开式中系数最大的项参考解答：1通项 Tr 1Cr6x6 r( 2x)r Cr

4、6x3r2 2r ，由 6 3r24 ，常数项是 T544C46 24 ，选( B)2设 f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是f(1)f ( 1) (22)11 /21024 ，选( C)3通项Tr 1rC7r( 2)r Cr722 ，当r=0，2，4，6 时，均为有理项，故有理项的项数为4 个，选( A)4要使C1n7最大，因为 17 为奇数，则m=8 =4，2若 n=9，要使 C9m最大，则 m17 1或21或m217 1 n 8 或 n=9，若 n=8，要使 C8m 最大，则m 4 或 m=5，综上知， m=4或 m=5，故选( A)5.C10224; 8.43(2x-1) 5

5、展开式中各项系数系数绝对值之和实为 (2x+1) 5展开式系数之和，故令 x=1 ，则所求和为 356.C 7.9.3,9,15,2111(1+3x+3x 2+x3) 10=(1+x) 30,此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是T16= C1350x 15 .5=(1-0.009) 5=C05 C15 0.0090.9613(1 x x2)(1 x)10 (1 x3)(1 x)9 ,要得到含 x4的项，必须第一个因式中的1 与(1-x) 9展开式中的项C49(x )4作积，第一个因式中的x3与(1-x)9展开式中的项C19(x) 作积，故x4的系数是C19C4913510 1114 (1

6、 x) (1 x)2(1 x)10 (1 x)1 (1 x) =(x 1) (x 1) ，原式中 x3实为这分子中1 (1 x) x的 x4，则所求系数为 C17115由C51( 2x)1C51( 2x)C50C52 ( 2x) 21x10x011x4 1016由条件得 m+n=21，x2的项为 C2mx2 Cn2x2，则 C2m Cn2 (n 21)2 22 时上式有最小值，也就是 m=11和 n=10，或 m=10和 n=11时， x 的系数最小3994. 因 n N，故当 n=10 或 1117原式 =(C0n C1n C2nCnn1Cnn) (C1n35C3n C5nCnn 1)2n2

7、n13.2nC111081 1 81k 1(k Z),18. 8011 (81 1)11 C1018111 C1118110kZ,9k-1 Z， 8111被 9除余 819依题意 C4n : Cn2 14: 3 3Cn4 14C2n 3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=1010 5 r 设第 r+1 项为常数项，又 Tr 1 C1r0( x)10 r( 22)r ( 2) r C1r0 x 2 x210 5r 2 2令 0 r 2 ， T2 1 C120 ( 2) 2 180. 此所求常数项为 180 22 5 5 520 (x2 3x 2)5 (x 1)5(x

8、2)5在 (x+1) 5展开式中，常数项为1，含 x的项为 C15 5x ，在(2+x) 5展开式中，常数项为 25=32，含 x 的项为14C51 24 x 80x展开式中含 x 的项为 1 (80x) 5x(32) 240x ，此展开式中 x 的系数为 24021设 Tr+1的系数最大，则 Tr+1的系数不小于 Tr与 Tr+2 的系数，即有展开式中系数最大项为第5 项， T5=16C142 x 4 7920x 4三.拓展性例题分析1n例 1 在二项式 x 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项24 x分析： 本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓

9、通项公式解决解： 二项式的展开式的通项公式为：前三项的 r 0,1,2.得系数为：t11 1 11, t2 C1nn, t322Cn2 141 n( n 1) ，8由已知：2t21t1 t 3 n 1n(n1 3 81)， n 8 通项公式为16 3r r1Tr 1 C8r r x 4 r 0,1,2 8,Tr 1为有理项，故 16 3r 是 4 的倍数， 2r r 0,4,8 .1 35依次得到有理项为 T1 x4,T5 C84 14 x 35 x,T91 5 8 24 8 9C88 218 x12x256说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项类似地， (

10、 2100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 17 页系数和为 3n 例 2 (1)求 (1 x)3(1 x)10展开式中 x5的系数；(2)求 (x 1 2)6 展开式中的常数项x分析： 本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题， ( 1)可以视为两个二项展开 式相乘；(2)可以经过代数式变形转化为二项式解：(1) (1 x)3(1 x)10展开式中的 x 5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：3 105 5 5 3用 (1 x) 3展开式中的常数项乘以 (1 x)10 展开式中的 x5 项，可以得到 C150 x5 ；用 (1 x) 3

11、展开式中的一 次项乘以 (1 x)10展开式中的 x 4项可得到 ( 3x )( C140 x 4 )3C140 x5 ；用 (1 x)3中的 x2乘以 (1 x)10 展开式中的 x3 可得到 3x2 C130x33 5 3 103C130 x 5 ；用 (1 x)3中的 x3项乘以 (1 x)10 展开式中的 x 2项可得到3 2 2 3x C10 xC10x5，合并同类项得 x5 项为：(C10 C103C1302 5 5C120 ) x563x5 2) x1 (xx2)5121x12由xr 展开式的通项公式 Tr 1 C12 ( 2 )C1r2x6 r ，可得展开式的常数项为6C162

12、 924 说明： 问题( 2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决这时我们还可以通过合并项转化为二项 式展开的问题来解决例 3 求 (1 x x2)6展开式中 x5的系数分析： (1 x x2 )6不是二项式， 我们可以通过 1 x x2 (1 x) x2或1 (x x2) 把它看成二项式 展开解： 方法一： (1x26x ) (126x) x其中含 x5 的项为C56x5 6C 35x515C14x5 6x5 含 x5 项的系数为6方法二： (1 xx2)6 1 ( x26 x)其中含 x 5 的项为20(3)x 5 15(4) x5 6x5 6x55 x5 项的系数为 6方法 3：本题

13、还可通过把 (12 6 2x x2)6看成 6 个1 x x 2相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项， x5 项可由下列几种可能得到555 个因式中取 x，一个取 1 得到 C65x53 个因式中取x，一个取2x 2 ，两个取1 得到1 个因式中取x，两个取2x2 ，三个取1 得到合并同类项为(C65 C63C13C16C52)x56x5x5 项的系数为 6C36 C13x3 ( x2) 1 2 2 2C16 C52x ( x2)2 例4求证：1)12C1n 2C2nnCnn2n1；0 1 1C0nC1n2 二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数

14、的等 式或者求一些组合数式子的值2)3Cnn11Cnn1 (2n 1 1) n1分析：解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质C0nC1n C2nC nn2n解：( 1) kCknn!kk!(nn!k)! (k1)! (n k)!(n 1)! nCk 1(k 1)!(n k)! nCn 1左边 nC 0n 1nC n 1nCnn 11n(C0nC1n 1Cnn 11)n1n 2n 1 右边2)k1 CknCn1n!n!k 1 k!(n k)!(k 1)! (nk)!1n1(n1)!(k 1)! (nk)!Ckn111n1Cn1Cn11 C1n

15、 1 C n 1 n1 1 (C 1n n1说明： 本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解此外，有些 组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式， 可以看下面的例子：左边C2nC 2n 1例 5：求 29C1100 28 C190 27 C180仔细观察可以发现该组合数的式与从而可以得到：210 2C120C nn 11)(1n 1(2n 11) 右边但这需要逆用二项式定理才能完成， 所以需仔细观察，2C120 10 的结果102)10的展开式接近，但要注意：28C190 29C1100 12 (310 1)我们例6 利用二项式定理证明： 32n2 8n 9是

16、64的倍数分析： 64 是 8 的平方，问题相当于证明 32n 28n 9 是 82的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形32n 2 9n 1 (8 1)n 1 ，将其展开后各项含有 8k，与 8 2的倍数联系起来解： 32n 2 8n 9(8n 1 C1n 1 8n 2n1Cnn11) 64是 64的倍数说明： 利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以 一个数的余数53例7展开 2x 22x2分析1：用二项式定理展开式5解法1： 2x 322x2分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开解法2： 2x322x2(4x3 3)532x1032

17、x5 120x2180135 405x4 8x724332x10 说明： 记准、记熟二项式(ab) n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便例 8 若将(xy z)10 展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为()A11B33C55D 66分析： (xz)10 看作二项式(xy) z10 展开解： 我们把y z 看成 (xy)z ，按二项式展开，共有 11“项”，即1010(x y z)( x y)z10C10(xk010 k ky) z这时，由于“和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式 (x y)10 k展开，不同的乘积 C1k0 ( x y)10kkk zk ( k0,1,10 )展开后，都不会出现同类项k面，再分别考虑每一个乘积C1k0 ( x10y)kkk zk ( k 0 ,1, ,10)其中每一个乘积展开后的项数由 (x10 ky)10 k 决定，的指数都不相同，也不会出现同类项66，而且各项中 x 和 y 故原式展开后的总项数为 11 10 9 应选 D例9若