随机变量方差的概念及性质

1、随机变量方差的概念及性质 第二节 方差一、随机变量方差的概念及性质 二、重要概率分布的方差 三、例题讲解 四、小结一、随机变量方差的概念及性质1. 概念的引入方差是一个常用来体现随机变量取值分散程 度的量. 实例 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000小时.OO1000 1000x x2. 方差的定义设 X 是一个随机变量 , 若E X E ( X )2 存在, 则称 E X E ( X ) 为 X 的方差, 记为 D( X ) 或 Var( X ) , 即2D( X ) = Var( X ) = E X E ( X ) .2称 D( X ) 为标准差或均方差 , 记为 ( X ).3

2、. 方差的意义方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分 散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散 程度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值小, 则 表示X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变量 的代表性好.4. 随机变量方差的计算(1) 利用定义计算离散型随机变量的方差D( X ) = xk E ( X )2 pk ,k =1 +其中 P X = xk = pk , k = 1,2, 是 X 的分布律 .连续型随机变量的方差D( X ) = x E ( X )2 f ( x ) d x , +其中 f ( x ) 为X的概率密度 .(2) 利用公式计算D(

3、 X ) = E ( X 2 ) E ( X )2 .证明D( X ) = E X E ( X )2 = E X 2 2 XE ( X ) + E ( X )2 = E ( X 2 ) 2 E ( X ) E ( X ) + E ( X )2 = E ( X 2 ) E ( X )2 = E ( X 2 ) E 2 ( X ).5. 方差的性质(1) 设 C 是常数, 则有 D(C ) = 0.证明 D(C ) = E (C 2 ) E (C )2 = C 2 C 2 = 0.(2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有D(CX ) = C 2 D( X ).证明 D(CX ) = E

4、 CX E (CX )2 = C E X E ( X ) 2 2= C 2 D( X ).(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则D( X Y ) = D( X ) + D(Y ).证明D( X Y ) = E ( X Y ) E ( X Y )2 = E X E ( X ) Y E (Y )2= E X E ( X )2 + EY E (Y )2 2 E X E ( X )Y E (Y )= D( X ) + D(Y ).推广 若 X 1 , X 2 ,D( X1 X 2 , X n 相互独立 , 则有 + D( X n ). X n ) = D( X1 ) + D

5、( X 2 ) +(4) D( X ) = 0 的充要条件是 X 以概率 1 取常数 C ,即 P X = C = 1.二、重要概率分布的方差1. 两点分布已知随机变量 X 的分布律为X10p则有p1 pE( X ) = 1 p + 0 q = p,D( X ) = E ( X 2 ) E ( X )2= 12 p + 02 (1 p ) p 2 = pq .2. 二项分布设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为 n k P X = k = p (1 p )n k , ( k = 0,1,2, , n), k 则有 0E ( X ) = k P X = k k =0nnn

6、k = k p (1 p )n k k =0 kkn! k n k = p (1 p ) k = 0 k !( n k )! np( n 1)! k 1 ( n 1 ) ( k 1 ) = p (1 p ) k =1 ( k 1)!( n 1) ( k 1)!nn( n 1)! k 1 ( n 1 ) ( k 1 ) = np p (1 p ) k =1 ( k 1)!( n 1) ( k 1)!n= np p + (1 p )n1= np.E ( X 2 ) = E X ( X 1) + X = E X ( X 1) + E ( X ) k k = k ( k 1) p (1 p )n k

7、+ np n k =0nk ( k 1)n! k = p (1 p )n k + np k= 0 k !( n k )!n( n 2)! p k 2 (1 p)( n 2 )( k 2 ) = n( n 1) p k = 2 ( n k )!( k 2)!2 n+ np= n( n 1) p 2 p + (1 p )n2 + np= ( n 2 n) p 2 + np.D( X ) = E ( X 2 ) E ( X )2= ( n 2 n) p 2 + np ( np )2= np(1 p ) ).3. 泊松分布设 X ( ), 且分布律为P X = k =kk!e , k = 0,1,2,

8、 0.则有E( X ) = kk =0 kk!e = e k =1 k 1( k 1)!= e e = .E ( X 2 ) = E X ( X 1) + X = E X ( X 1) + E ( X ) = k ( k 1)k =0 +kk!e + + = 2e e + = 2 + .= 2e k =2+k 2( k 2)!所以 D( X ) = E ( X 2 ) E ( X )2= 2 + 2 = .泊松分布的期望和方差 都等于参数 .4. 均匀分布设 X U (a , b ) , 其概率密度为1 , f ( x) = b a 0,a其他 .b1 xd x 则有 E ( X ) = xf

9、 ( x ) d x = a ba 1 = (a + b ). 2结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点.D( X ) = E ( X 2 ) E ( X )2 1 a + b = x dx a ba 2b22(b a )2 = . 125. 指数分布设随机变量 X 服从指数分布 , 其概率密度为1 x e , f ( x ) = 0, x 0, x 0.+其中 0.则有E ( X ) = xf ( x ) d x = +01 x x e dx = xex +0+ e0+x d x = .D( X ) = E ( X 2 ) E ( X )2=+ 01 x x e d x 2 2= 2 2 2

10、= 2 .指数分布的期望和方差 分别为 和 2 .6. 正态分布设 X N ( , 2 ), 其概率密度为1 f ( x) = e 2 ( x )2 2 2, 0, 则有E ( X ) = xf ( x ) d x+1 = x e 2 +( x )2 2 2d x.x 令 = t x = + t, 所以1 E( X ) = x e 2+( x )2 2 2dx1 + = ( + t)e 2 1 = e 2= .t2 + 2 t2 2dtt2 2 + dt + te 2dtD( X ) = ( x ) 2 f ( x ) d x+1 = ( x ) e 2 x 令 = t,得 t2 2 + 2

11、D( X ) = t e 2 dt 2 + 2 t2 2 = te 2 2 +( x )2 2 2d x.+ et2 + 2 dt2 = 0+ 2 = 2 . 2正态分布的期望和方差 分别为两个参数 和 2 .分布参数0数学期望方差p(1 p )两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 正态分布p np00 anp(1 p )2(a + b ) 2 (b a )2 12 20, 0三、例题讲解例1 设随机变量 X 具有概率密度1 + x , 1 x10 0 1解= 0,E ( X ) = x (1 + x ) d x + x 2 (1 x ) d x2 201101 = , 6于是D(

12、 X ) = E ( X 2 ) E ( X )21 1 2 = 0 = . 6 6例2 设活塞的直径 (以 cm 计 ) X N ( 22.40,0.032 ),气缸的直径 Y N ( 22.50, 0.042 ), X , Y相互独立 . 任取一只活塞 , 任取一只气缸 , 求活塞能装入气缸 的概率 .解 因为 X N ( 22.40,0.032 ), Y N ( 22.50, 0.042 ),所以 X Y N ( 0.10,0.0025), 故有 P X( X Y ) ( 0.10) 0 (0.10) = P例3 设连续型随机变量 X 的概率密度为 cos x , 0 x f ( x)

13、= 2, 0, 其他 . 求随机变量 Y = X 2 的方差 D(Y ). E( X ) = x2 f ( x)d x 解 2+= E( X 4 ) = 2 02 2 x cos x d x = 2, 4 x 4 f ( x ) d x = x 4 cos x d x 2 0+4 2 = 3 + 24, 16因为 D( X ) = E ( X 2 ) E ( X )2 , 所以 D( X 2 ) = E ( X 4 ) E ( X 2 )2 2 = 3 + 24 2 4 164 22= 20 2 2 .2 0 例4 设 X 1 1 3 21 3 , 求 D( 2 X 3 + 5). 1 1 1

14、2 12解D( 2 X 3 + 5) = D( 2 X 3 ) + D( 5)= 4 D( X )3= 4 E ( X 6 ) ( E ( X 3 )2 1 493 1 6 1 1 6 6 E ( X ) = ( 2) + 0 + 1 + 3 = , 12 6 12 2 36 61 1 3 1 3 1 3 2 3 3 E ( X ) = ( 2) + 0 + 1 + 3 2 12 12 321 = , 9故 D( 2 X 3 + 5) = 4 E ( X 6 ) ( E ( X 3 )2 2954 . = 9契比雪夫不等式契比雪夫定理 设随机变量 X 具有数学期望 E ( X ) = , 方差

15、 D( X ) = 2 , 则对于任意正数 , 不等式 P X 2 成立.2切比雪夫不等式证明取连续型随机变量的情况来证明.设 X 的概率密度为 f ( x ), 则有P X = x f ( x)d xx x f ( x)d x 2 21 + 1 2 2 2 ( x ) f ( x ) d x = 2 . 2 P X 2 . 得 2 2 P X 2 P X 1. 方差是一个常用来体现随机变量 X 取值分散 程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程 度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值小, 则 表示 X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变 量的代表性好. 2. 方差的计算公式 D