十五讲数列中研究型探索型开放型问题

1、十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 第十五讲 数列中的研究型、 探索型、开放型问题 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 一、引言一、引言 近几年的高考数学考试大纲在谈到对创新 意识的考查要求中明确指出，对创新意识的考 查是对高层次理性思维的考查，并且要求精心 设计研究型、探索型、开放型试题，以此 考查学生的数学素养和潜在能力纵观历年的 高考数学试卷，这类试题中以数列为背景的试 题较多，主要有归纳猜想型、自主定义型、类 比推理型、探索发现型、研究设计型等类型的 问题. 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开

2、放型问题 二、典型问题选讲 1归纳猜想型 例1 根据下面的图形及相应的点数的规律， 请写出点数构成的数列的一个通项公式. 通项公式是 ; 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 通项公式是 . 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 分析：观察图形中点的分布规律，再进行 量化归纳. 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 解：先看第一组图：每个图都有4个分支， 我们设第n个图中点的个数为 ，易知 第1个图中每个分支各有1个点， 故 ； 第2个图中每个分支各有2个点， 故 ； 1 4 1a 2 4 2a n

3、 a 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 第n个图中每个分支各有n个点， 故 . 3 4 3a 4 n an 第3个图中每个分支各有3个点， 故 ； 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 再看第二组图： 第1个四边形中每边上有1个点， 故 ； 第2个四边形中每边上有个2个点， 故 ； 1 4 1 1a 2 4 2 1a 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 第3个四边形中每边上有3个点， 故 ； 第n个四边形中每边上有n个点， 故 . 3 4 3 1a 41 n an 十五讲数列中研究型探索型开放

4、型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 归纳小结：本题着重考查文字语言、图形 语言和符号语言相互之间的转译，考查归 纳猜想的推理方式，有一定的新意.解决这 类问题的基本思路是观察图形，分析特点， 归纳猜想. 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 例2 (2008江苏) 将全体正整数排成一个 三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 按照以上排列的规律，第n(n3) 行从 左向右的第3个数为 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 分析：分析三角形数表的规律，不难发现， 数表中每一个数都等于它在正整数数列中的 项数.因

5、此只需求出第n(n3)行第3个数在 正整数数列中是第几项即可. 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 解：观察这个三角形数阵每行数的个数，易 得，第1行有1个数，第2行有2个数，第3行 有3个数， 一般地，第n-1行有n-1个数 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 因此第n(n3)行从左向右的第3个数是正整 数集合中从小到大第 个数,而 ， 第n(n3)行从左向右的第3个数是 1 2 3(1) 3n 123(1)3n 2 6 2 nn 2 6 2 nn 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 归纳小

6、结：此题求解中常常因为看不出三 角形数阵的规律，或不知道什么样的规律 对解题有用，导致求解不知从何下手本 题具有一定的创新性有意识地运用观 察试验归纳猜想的方法是求 解这类数列问题的有效途径,必须熟练掌握. 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 2自主定义型 例3 (2004北京) 定义“等和数列”：在一 个数列中，如果每一项与它的后一项的和都 为同一个常数，那么这个数列叫做等和数 列 这个常数叫做这个数列的公和 已知数列 是等和数列，且 ，公和为5， 那么 的值为 ，这个数列的前 n项和 的计算公式为 n a 1 2a 18 a n S 十五讲数列中研究型探索

7、型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 分析：根据问题中给出的等和数列的定义， 易知，满足 （p为常数, ) 的数列是等和数列 （本题中有 ) 于是，逐一迭代即可. 1nn aap * nN n a 1 5 nn aa 2 n 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 解：（第一空） （第二空） 的结果与n的奇偶性有 关当n为偶数时，前n项中共有 个奇数项， 个偶数项注意到所有的奇数项都等于2，所 有的偶数项都等于3， 18171616 55(5)aaaa 151414 55(5)aaa 21 53aa n S 2 n 2 n 十五讲数列中研究型探索型开放型

8、问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 故 当n为奇数时，n-1为偶数， 所以 5 23 222 n nnn S 1 5(1)51 22 22 nn nn SS 5 ( 2 51 ( 2 n n n S n n （n为偶数）， （n 为奇数）. 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 归纳小结：这里，“等和数列”是自主定义 的一个全新概念.要使问题得到圆满解决,必 须真正领会“等和数列”的含义.本题是用 即刻学到的“等和数列”的定义这一知识, 解决从未见过的求“等和数列”的指定项以 及前n项和的问题,体现了对自主学习能力的 有力考查. 十五讲数列中研究型探索型开放

9、型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 例例4 4 设数列 的前n项和为 ， 令 ，称 为数列 的 “理想数”，已知数列 的“理想 数”为2012，那么数列 -1， 的 “理想数”是 n a n S 12n n SSS T n 12n n SSS T n 12 , n a aa 121005 ,a aa 121005 ,a aa 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 分析：分析：题目中所说的一个数列的“理想数” 是这个数列前n项和构成的新数列 中前n 个数的算术平均值.注意到所求“理想数”的 生成数列比已知“理想数”的生成数列多了 一项 -1，因此，只要找出所

10、求“理想数”与已知 “理想数”的关系，问题即可获解. n S 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 解：设 , 则 ， 从而 所以 12nn ASSS 1210051005 1005 2012 10051005 SSSA T 1005 2012 1005A 121005 1006 1( 1)( 1)( 1) 1006 SSS T 1005 100610062012 1005 12 10052009 10061006 A 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 归纳小结：此题自主定义了一个数列的“理 想数”，着重考查了对“理想数”的认

11、识和 理解.求解中由于读不懂“理想数”的定义， 或缺乏未知和已知的沟通和联系，因此常常 使得求解一筹莫展.这里，我们根据“理想 数”的定义，利用整体思想，架设了未知和 已知之间的桥梁，为快速求解问题奠定了基 础. 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 3类比推理型 例5 （2009浙江）设等差数列 的前n项 和为 ，则s4,s8-s4,s12-s8,s16-s12成等差 数列类比以上结论有：设等比数列 的前n项积为Tn，则T4, ， _ ， 成等比数列 n a n S n b 16 12 T T 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问

12、题 解：等差数列 ，前n项和为 ，则s4,s8- s4,s12-s8,s16-s12成等差数列 n a n S 等比数列 ，前n项积为Tn，T4 ，_， _ ， 成等比数列 对照上下两行，等差数列 等比数列，前 n项和 前n项积Tn. n b 16 12 T T 类比 n S 类比 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 具体地，已知s4 T4 ，s16-s12 即差类比商， 于是s8-s4 ， s12-s8 . 类比类比16 12 T T 类比 8 4 T T 12 8 T T 类比 因此，对于等比数列 ，T4 ， ， ， 成 等比数列，故填 ， n b 16

13、12 T T 8 4 T T 12 8 T T 12 8 T T 8 4 T T 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 归纳小结：此题着意考查类比推理.它适合于 两类对象具有某些类似特征，并且已知其中一 类对象的某些特征，要求推出另一类对象与之 相应特征的问题. 类比推理是由特殊到特殊的推理.把握类比方 式，总结类比规律，是解决这类问题的关键. 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 4探索发现型 例6（2006广东）在德国不来梅举行的第48 届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓 球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中 第1堆只有

14、1层，就一个球；第2，3，4堆 最 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放， 从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层 之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以 f (n) 表示第n堆的乒乓球总数，则 f (3)=； f (n)= （答案用n表示）. 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 解：第一空：易得 下面考虑第二空 解法一：由题意知， (3)1 3610f (1)1f (2)(1)12ff (3)(2)123ff (4)(3)1234ff ， ， ， ， 十五讲数列中研究型探索型开放型问题

15、十五讲数列中研究型探索型开放型问题 注意到 ， 把这n个式子迭加得 222 11 ( )(12)(12) 22 f nnn 1 11 1 (1)(21)(1) 2 62 2 n nnn n ( )(1)f nf n12n 2 (1)11 12 222 n n nnn (1)(2) 6 n nn 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 解法二： 3 3 (1)1fC 由题意知， 2 3 2 3 (2)(1)12 2 ffC 2 4 3 4 (3)(2)123 2 ffC 2 5 4 5 (4)(3)1234 2 ffC ( )(1)f nf n 2 1 (1) 12

16、 2 n n n nC ， ， ， ， 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 把这n个式子迭加得 32223 33412 ( ) nn f nCCCCC (1)(2) 6 n nn . 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 归纳小结： 本题既是归纳猜想型试题，又是 探索发现型试题求解中容易将第n堆的最底 层（第一层）错认为第n堆的乒乓球总数，进 而误得 此外，迭加时对数据的 处理也非易事这里，我们主要运用观察、 (1) ( ) 2 n n f n 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 归纳等合情推理

17、方式，自行发现问题本身所 蕴涵的规律，探索解决问题的思路体现了 对特殊与一般思想的考查要求.迭加法以及组 合数的性质都是重要的双基,应当认真落实. 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 例7（2007湖南） 将杨辉三角中的奇数换 成1，偶数换成0，得到如图所示的01三 角数表从上往下数，第1次全行的数都为 1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3 行，第n 次全行的数都为1的是第 _行；第61行中1的个数是 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0

18、1 第5行 1 1 0 0 1 1 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 1的行数，分析它们的特点，再归纳出第n 次 全行的数都为1的行数.对于第二空，先找出 与第61行最接近的全行的数都为1的行数，由 此分析推测第61行中1的个数. 分析：对于第一空，先找出第3次全行的数都 为1的行数，并结合第1、第2次全行的数都为 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 解：从01数表的第5行知，杨辉三角中第5 行各数奇偶情况必为“奇奇偶偶奇奇”，于 是第6行必为奇偶相间，即“奇偶奇偶奇偶 奇”，第7行必全是奇数，共8个奇数故续 写01数表易得

19、， 第6行为： 1 0 1 0 1 0 1 第7行为； 1 1 1 1 1 1 1 1 第5行为： 1 1 0 0 1 1 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 下面我们来探索数字都是1的行数规律 第1次全为1的是第1行： ， 第2次全为1的是第3行： ， 第3次全为1的是第7行： ， 一般地，第n次全为1的是第 行 1 121 2 321 3 721 21 n 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 由于 ，故在上述三角数表中第63 行全为1，因此在原杨辉三角中第63行全为奇 数因为第62行第1个数是1，并且第63行从 第2个数起

20、每一个数都是其上一行上左右两肩 上的两数之和，故第62行的数必为奇偶相间， 且呈“奇偶奇偶奇偶奇偶奇”型 6 2163 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 同理，第61行的数必呈“奇奇偶偶奇奇 偶偶奇奇”型 注意到第61行共有62个数，因此第61行中共 有32个1，30个0 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 归纳小结：本题是探索发现型试题求解本 题没有现成的方法供直接套用，需要我们根 据杨辉三角的性质以及题目中01数表的生 成法则，自行发现问题本身所蕴涵的规律， 探索解决问题的思路显然，这类问题的求 解,对思维的深度和广度都

21、有着较高的要求 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 5研究设计型 例8 设 是集合 中所有的数从小到 大排列成的数列,即 将数列 各项 n a 22 0, ts sts tZ，且 123 3,5,6,aaa 456 9,10,12,aaa n a 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 按照上小下大, 左小右大的原则写成如下 的三角形数表: 3 5 6 9 10 12 (1) 写出这个三角形数表的第四行、第五 行各数； (2) 求 22 0, ts sts tZ，且 100 a 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型

22、探索型开放型问题 分析：由题意知，三角形数表中每一个数 都是数列中的项，它们必是的 形式.因此，只要把三角形数表中每一个数 都表示为的形式，便可以通过指数 规律确定第四行、第五行各数.而要求 等于多少，关键在于判断位于三角形 数表中第几行第几个数. n a22 ts 22 ts 100 a 100 a 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 解：约定用二元有序数组来表示数 (其中 ,且s，)，则题目中所给 三角形数表可表示为： （1，0） （2，0）（2，1） （3，0）（3，1）（3，2） （k,0)（k,1)（k,2)（k,3）（k, k-1） ( , )t

23、s22 ts tZ 0st 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 (1)显然第4行各数对应的有序数组依次为 （4，0）（4，1）（4，2）（4，3）， 第5行各数对应的二元有序数组依次为 （5，0）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）， 因此第4行各数依次为17，18，20，24； 第5行各数依次为33，34，36，40，48 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 三角形数表中第k（ ）行有且只有k个 数，又前13行共有 1231391 k * N 个数，故 是第14行第9个数，它对应的 二元有序数组是（14，8），因此 10

24、0 a 148 100 2216640.a （2）求 即求三角形数表中按从上到 下，从左到右第100个数是几注意到 100 a 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 归纳小结：本题是以数表的形式呈现的图 表问题是高考的一个新热点，弄清集合中元 素的表示特征以及数表中数的分布特点和 规律，对于解决问题起到了至关重要的作 用而这些特征的分析和研究及规律的揭示 和把握，都需要学生具有较强的探究能力和 发现能力，体现了对学生思维的灵活性和深 刻性的有力考查 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 例9 在数列 中，若 是正整数， 且 ,n=

25、3，4，5，则称 为“绝对差数列”. （1）举出一个前五项不为零的“绝对差数 列”（只要求写出前十项）； n a 12 ,a a 12nnn aaa n a 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 （2）若“绝对差数列” 中， ， 数列 满足 ， n=1，2，3，分别判断当 时, 与 的极限是否存在,如果存在,求出其极限值. n a 20 3a 21 0a n b 12nnnn baaa n n a n b 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 分析：对于（1），只需取定 的一组值， 代入定义式中给出的递推公式，依次算 出 ，并验证符合（1）的两项要 求即可对于（2），先研究数列 和 的构成规律，再判断极限是否存在. 12 ,a a 3410 ,a aa n a n b 十五讲数列中研究型探索型开放型问题十五讲数列中研究型探索型开放型问题 解：（1）取 ，易得 ， 显然符合要求（答