球的表面积和体积PPT课件PPT课件PPT学习教案

1、会计学1 球的表面积和体积球的表面积和体积PPT课件课件PPT课件课件 l掌握球的体积、表面积公式掌握球的体积、表面积公式 l掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思想进一步理解分割掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思想进一步理解分割近似求和近似求和精确求和的思想方法精确求和的思想方法 l会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养学生应用数学的能力会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养学生应用数学的能力 l能解决球的截面有关计算问题及球的能解决球的截面有关计算问题及球的“内接内接”与与“外切外切”的几何体问题的几何体问题 教学目标教学目标 第1页/共21页 球的体积

2、公式的推导球的体积公式的推导 球的体积公式及应用球的体积公式及应用 球的表面积公式及应用球的表面积公式及应用 球的表面积公式的推导球的表面积公式的推导 l教学重点 l教学难点 化化为为准准确确和和思思想想方方法法求求近近似似和和分分割割 重点难点重点难点 第2页/共21页 一、创设情境一、创设情境 1、在太空中存在着多颗星球，科学家为了比较各个星球的大小，需要计算它们的表面积和体积，但是星球的形状不同于柱体、椎体、台体，而是近似于球体，那么如何进行计算呢？ 2、球队大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和表面积？ 第3页/共21页 二、探究新知二、探究新知 1、球的体积 如果用一组等

3、距离的平面去切割球，当距离很小时会得到很多“小 圆片”，“小圆片”的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片” 近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于相应的圆柱的体积，因此 求球的体积可以按“分割求和化为准确和”的方法来进行 。 步骤： 第一步：分割 如图：把半球垂直于底面的半径OA作 n等分，过这些等分点，用一组平行于 底面的平面把半球切割成n个“小圆片”， “小圆片”厚度近似为 ，底面是“小圆 片”的底面。 R n A O 第4页/共21页 i r O R )1( i n R 半半径径：层层“小小圆圆片片”下下底底面面的的第第i .,2,1,)1( 22 nii n R Rri 第5页/共21页

4、 ni n i n R n R rV ii ,2, 1,) 1 (1 2 3 2 n VVVV 21半球 )1(21 2 2223 n n n n R 6 ) 12() 1(1 2 3 nnn n n n R 6 )12)(1(1 1 2 3 nn n R ) 1( 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 n n nnn R 6 )12()1( )1(21 222 nnn n 第二步：求和 第6页/共21页 6 ) 1 2)( 1 1( 1 3nn RV 半球半球 .0 1 , n n时时当当 . 3 4 3 2 3 3 RV RV 从而从而 半球半球 3 3 4 RVR 的球的体积为

5、：的球的体积为：定理：半径是定理：半径是 第三步：化为准确和 第7页/共21页 有一种空心钢球，质量为有一种空心钢球，质量为142g,测得测得 外径等于外径等于5.0cm，求它的内径（钢求它的内径（钢 的密度为的密度为7.9g/cm3,精确到精确到0.1cm). 第8页/共21页 解解:设空心钢球的内径为设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是则钢球的质量是 答答:空心钢球的内径约为空心钢球的内径约为 4.5cm. 142 3 4 ) 2 5 ( 3 4 9.7 33 x 3.11 49.7 3142 ) 2 5 ( 33 x 由计算器算得由计算器算得: 24. 2 x 5 . 42 x 第

6、9页/共21页 球面不能展开成平面图形，所以求球的球面不能展开成平面图形，所以求球的 表面积无法用展开图求出，如何求球的表面表面积无法用展开图求出，如何求球的表面 积公式呢积公式呢? ? 回忆球的体积公式的推导方法回忆球的体积公式的推导方法, , 得到启发得到启发 ，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公，可以借助极限思想方法来推导球的表面积公 式式 第10页/共21页 第第 一一 步步 ： 分分 割割 球面被分割成球面被分割成n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为： n SSSS , 321 ， 则球的表面积：则球的表面积： n SSSSS 321 则球的体积为：则球的体积为： i V

7、 设“小锥体”的体积为设“小锥体”的体积为 i V n VVVVV 321 i S O O 第11页/共21页 第第 二二 步步 ： 求求 近近 似似 和和 i h 由第一步得：由第一步得： n VVVVV 321 nn hShShShSV 3 1 3 1 3 1 3 1 332211 iii hSV 3 1 O O i S i V O O 第12页/共21页 第第 三三 步步 ： 化化 为为 准准 确确 和和 RSV ii 3 1 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: : “小锥小锥 体体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥 RSRSRSRSV ni 3 1 3 1 3 1 3 1 32

8、RSSSSSR ni 3 1 ).( 3 1 32 3 3 4 RV 又球的体积为：又球的体积为： R i S i V i h i S O O i V 23 4, 3 1 3 4 RSRSR 从而从而 Rhi的值就趋向于球的半径的值就趋向于球的半径 第13页/共21页 长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则长方体对角线与球的直径相等。分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则长方体对角线与球的直径相等。 A AB B C CD D D

9、 D1 1 C C1 1 B B1 1 A A1 1 O O A AB B C CD D D D1 1 C C1 1 B B1 1 A A1 1 O O 2 222 11 504 42+5)2( : RS 2R= 3R DDBRt 中中略解：略解： 5 2 第14页/共21页 三、典例分析 如图如图, ,圆柱的底面直径与高都等于球的直径圆柱的底面直径与高都等于球的直径, , 求证求证: : (1) (1)球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的侧面积. . (2) (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. . 第15页/共21页 四、巩固深化 1、正方

10、体的内切球和外接球队体积比为正方体的内切球和外接球队体积比为_ _ ，表面积，表面积之比为之比为1：3。 2、在球心同侧有相距在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为的两个平行截面，它们的面积分别为49 和和400 ，求球的表面积。，求球的表面积。 2 cm 2 cm 1:3 3 答案：2500 2 cm 第16页/共21页 4、若球半径变为原来的、若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原倍，则表面积变为原 来的来的_4_倍倍. 5、若两球表面积之比为、若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是，则其体积之比是_ 6 6、若两球体积之比是、若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是 _. . 3 4:1 22:1 3、若球的表面积变为原来的、若球的表面积变为原来的2倍倍,则半径变为原来的则半径变为原来的 _ 倍倍.2 第17页/共21页 1 1、了解球的体积、表面积推导的基本思路、了解球的体积、表面积推导的基本思路 ：分割：分割求近似和求近似和化为标准和的方法，化为标准和的方法， 是一种重要的数学思想方法是一种重要的数学思想方法极限思想，极限思想， 它是今后要