毕业设计论文：矩阵分析理论求解MIMO系统信道容量

1、矩阵分析理论求解MIMO系统信道容量摘 要：MIMO系统可以显著的提升系统的容量，并较单天线系统有着更多的优点。在MIMO系统的研究中，矩阵分析论一直扮演着重要的角色。本文就是利用矩阵论相关理论对MIMO系统的容量进行理论推导，并利用牛顿迭代法对其容量进行求解。关键词：MIMO；系统容量一、 前言众所周知，多传输接收天线（MIMO）系统能够显著的提升点对点（单天线）系统的信道容量1。MIMO相比于前者有更多的优点，比如频谱利用率的调高，功率消耗的降低等。下一代（4G）无线移动通信已经考虑在移动台和基站设置多个收发天线。因此，利用信息论的观点来研究MIMO信道，特别是其所能提供的实际最高数据传输

2、率，对于研究如何才能达到这些极限容量具有重大的理论指导意义。在MIMO系统的研究中，矩阵分析理论一直扮演着重要的角色。目前关于MIMO容量方面研究工作主要集中在两个方面：一部分考虑非相关平衰落信道下，研究信道状态信息接收端一直，发送端未知或已知情况下，发送天线采用等功率或注水功率发射随机高斯数据流，得到信道容量解析公式或近似公式2,3,4；一部分考虑在相关平衰落信道下，发射端获得部分信道状态信息时，MIMO信道容量的分析问题。前者即是随机矩阵理论的研究问题，后者则是协方差矩阵的优化问题5,6。在实际应用中，各天线间的衰落存在一定的相关性。本文就针对相关衰落的情况下，利用矩阵分析理论来MIMO系

3、统的容量。二、 理论提要1. Toeplitz矩阵9在数据处理、有限元素法、概率统计以及滤波理论等广泛的科学技术领域里，常常遇到在20世纪初突出的具有个元素的如下阶矩阵（位于任一条平行于主对角线的直线上的元素全相同）称其为Toeplitz矩阵，简称T矩阵。上式也可以简记为。20世纪60年代以来，有关T矩阵的快速算法已经有相当的发展。60年代中期，Trench提出T矩阵的快速求逆算法。几年后，Zohar进一步讨论了Trench的算法，他的主要工作是对推导的简化以及把对称正定条件减弱为强非奇异。上述的快速算法把通常的复杂度从级减少为级。60年代末期以来，还出现了不通过快速求逆，而直接数值解以T矩阵

4、为系数矩阵的线性方程组的快速算法。至于求一般T矩阵特征值的快速算法还较少见。假设矩阵方程若为T矩阵，则称上式为Toeplitz系统。若为阶的T矩阵，该系统的自由度为而非。这种Toeplitz方程的求解非常简单，按照Zohar的算法，求解的复杂度为。T矩阵是广义对称矩阵，若T矩阵对称，则其为中心对称和轴对称的。T矩阵与傅立叶序列联系紧密，在有限维下，三角多项式的乘操作可以用T矩阵来表示。由此可见，T矩阵具有对称性，且运算简便等优良的性质。2. 矩阵的特征值分解特征值分解又称谱分解，是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意的是，只有对角化了矩阵才可以施以特征值分解。令是一个

5、的方阵，且有个线性无关的特征向量。这样，可以为分解为其中为正交矩阵，且其第列为的特征向量。是对角矩阵，其对角线上的元素为对应的特征值，也即是。一般来说，特征向量一般被正交单位化。未被正交单位化的特征向量组，也可作为的列向量。这一事实可以这样的理解：中向量的长度被抵消了。特征分解有很多的应用，其中可以用其方便的求解矩阵的逆。若可以被特征分解且其所有特征值部位零，则可以称其为非奇异值矩阵。的逆矩阵可以表示成如下的公式：由于为对角矩阵，其逆矩阵容易计算出：三、 信道模型考虑一的窄带MIMO系统，接受天线数为，发送天线数为。接受信号等效离散时间系统模型为为维复发射信号向量，其协方差矩阵。假设其满足发射

6、功率受限条件，即，为总发射功率。为维信道矩阵，其元素表示发射天线与接收天线间的路径增益，为零均值循环对称的复高斯随机变量。为维AWGN矢量，其均值为0，方差矩阵为，为维单位矩阵。并定义。假设信道为准静态慢变Rayleigh衰落信道，信号经空间传播，由于衰落的影响及收发天线间距的有限性，使得信号间存在一定的相关性，假定发射端与接收端天线采用均匀线阵（ULA）且统计特性可分离，信道矩阵和信道的协方差矩阵可以写为其中分别为接收端和发送端的协方差矩阵。满足，对于ULA，均为Toeplitz矩阵。各元素为独立同分布，均值为0，方差为1的复随机变量。对进行特征分解，即，为特征向量矩阵，为对角矩阵且对角元素

7、分别为和的特征值，满足。由文献6，其中，由于左乘和右乘单位矩阵其统计特性不会改变1，依然是独立同分布的元素，在左乘和右乘对角矩阵其元素依然是不相关的，其协方差矩阵具有对角结构。将(10)代入(7)得上式可以理解为发送信号向量首先在发送协方差矩阵的特征向量矩阵上进行投影，然后在等效信道上传输，最后再投影到接收协方差矩阵的特征向量矩阵上，因此将成为发送子空间，而称为接收空间，由于各元素是不相关的，在收发天线之间利用线性变换方法，可得到个不相关的并行子信道。采用以上等效模型后系统方程为式中，为复高斯随机白噪声。四、 MIMO系统的相关信道容量由信道矩阵假设条件，满足总功率受限，即，当输入信号向量为零

8、均值复高斯随机向量，且其协方差矩阵为时，MIMO系统的仙农平均信道容量1为它应该由输入协方差矩阵进行最大化，并进行信道平均化，对独立同分布的信道，在没有CSIT的情况下，最优，即发送能量在各个天线间平均分配。首先假设信道参数收端一直，而发送端可以获得信道的统计信息，即发射端的协方差矩阵和接收端的协方差矩阵，求解在这种情况下能够达到最大容量的最优。利用前面的信道模型，将(10)代入(13)中，得由，上式可以写为令，上写可进一步写为 令，为一对角矩阵，其对角线上的元素为分配到每个子信道的功率，即为有的发送子空间为，因此寻找最优的，由文献7可以转化为以下凸优化问题，将可以写为以下的形式：表示对求平均

9、。下面我们用拉格朗日乘法求以上问题，定义拉格朗日函数其中为拉格朗日乘子，令，。对上式求导，其中为的第列，为为的第个对角元素。同理有又有若，则，那么则对应于发射天线组没有发射任何信号，若，利用，则，； 若，由，可得。而由此可得最优的输入协方差矩阵必须满足以下条件：为一个常数，由(21)式，当，由，可得，由此可以得出没有解析解，由式(16)为凸函数，且是半正定的矩阵，可以使用凸优化的方法，获得最优解。下面用牛顿迭代法7求解，计算的梯度和Hessian矩阵。的梯度为 其Hessian矩阵为利用牛顿迭代法求解的梯度和Hessian矩阵后，可以有效地计算出最优的功率分配。则最优的信号协方差矩阵为。五、

10、仿真结果与分析仿真时考虑一个，收发天线均采用均匀线阵MIMO系统，假设反射信号没有主波方向，天线间隔为波长，得到空间相关函数，其收发天线间的空间相关矩阵为也采用相似的模型，用代替，且。这次仿真即采用系统遍历容量作为统计标准，在仿真中随机产生10000个样本，进行信道平均，求其平均容量。图1 平均容量对比图1中，的行况下给出采用牛顿迭代法计算的平均容量与Jensens容量对比的结果。作为对比，图中也画出在存在相关的情况下，采用等功率传输的平均容量最为对比的下界。六、 结论本文利用矩阵分析理论的相关理论，分析了发送端已知信道相关矩阵时MIMO系统的平均信道容量，采用规范化信道模型，用拉格朗日乘子法

11、得到了最优发送协方差矩阵的一阶条件，并利用牛顿迭代法，对发送子空间各特征向量的分配功率进行优化。结果表明当信噪比低时，适当增加天线间的相关程度可以提高系统容量，而高信噪比时，降低天线间的相关度可以大幅度提高系统容量。参考文献1. I. E. Telatar, “Capacity of multi-antenna Gaussian channels,” Europ.Trans. Telecommun., vol. 10, Nov. 1999, pp. 585595. Also, Tech. Rep.BL0112170-950615-07TM, AT&T Bell Labs, 1995.2. M.

12、 Alouini, J. Goldsmith, “Capacity of Rayleig fading channels under different adaptive transmission and diversity-combining techniques,” J IEEE Vech. Technol, vol.48 no.4 July 1999.3. Hyundong Shin, Jae Hong Lee, “On the Capacity of MIMO Wireless Channels,” J IEICE Trans. Commun, vol.E87-B, No.3 Marc

13、h 2004.4. Mischa Dohler, Hamid Aghva, “On the Approxmation of MIMO Capacity,” J IEEE Transactions on Wireless Communications, vol.4, NO.1, pp 30-34, January 2005.5. J.H.Kotecha and A.M.Sayeed, “Optimal signal design for estimation of correlated MIMO channels,” A International Conference on Communications, May 2003.6. Leif W. Hanlen, Alex JU. Grant, “Optimal Transmit Covariance for Ergodic MIMO Channels,” C in 6th Aust. Communication Theory Workshop AusCTW, Brisbane, Australia, pp.121-124, Feb, 2005.7. M.Vu and A. Paulraj, “