高二数学复 习：导数及其应用人教实验版（B）

1、用心 爱心 专心 高二数学高二数学复习：导数及其应用复习：导数及其应用人教实验版（人教实验版（B B） 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 高考复习：导数及其应用 二、考纲要求 1、导数概念及其几何意义 （1）通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数 概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵 （2）通过函数图象直观地理解导数的几何意义 2、导数的运算 （1）能根据导数定义求函数 23 1 ,yc yx yxyxyyx x 的导数 （2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数， 能求简单的复合函数（仅

2、限于形如()f axb）的导数 （3）会使用导数公式表 3、导数在研究函数中的应用 （1）结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研 究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 （2）结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求 不超过三次的多项式函数的极大值、极小值以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、 最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性 4、生活中的优化问题 例如通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中 的作用 三、命题趋势 导数是中学选修内容中较为重要的知识，近几年高考对导

3、数的考查每年都有选择题、 填空题、解答题都出现过，而且最近两年有加强的趋势，预测 2008 年对本模块的考查为： 1、可能会有一大一小的试题，小题主要考查导数概念及求函数的导数、导数的几何意义、 定积分的求法、定积分的简单应用大题考查运用导数研究函数的单调性、极值或最值问 题 2、仍可能以函数为背景，以导数作工具，在函数、不等式、解析几何等知识网络的交汇 点命题 四、典例探究 例 1. 用导数定义求函数1x x 1 )x(fy在处的导数 剖析：剖析：本小题考查函数在一点的导数的概念 解析：解析： x1 x11 1 1 x1 1 ) 1 (f)x1 (fy )x11 (x1 x )x11 (x1

4、 1 x y 用心 爱心 专心 2 1 )x11 (x1 1 lim x y lim 0 x0 x 点悟：点悟：利用导数定义求函数的导数应分三步： （1）求函数增量y；（2）求平均变化率 x y ；（3）求极限 x y lim 0 x ，本题的关键是 对 x y 的变形 例 2. 求下列函数的导数： （1）1x7x3 x 1 y 23 3 ；（2）|x|lny ； （3） 2 xx1 x y ；（4）e2e3y xxx ； （5） 1x xln y 2 ；（6）xsinxcosxy 剖析：剖析：本小题考查导数的运算法则及复合函数求导法则 解析：解析：（1） 1)x7()x3() x 1 ( y

5、 23 3 x14x9x 3 1 0)x(7)x(3)x( 2 3 4 23 3 1 （2）当0 x 时， x 1 y, xlny； 当)xln(y,0 x 时 x 1 y x 1 ) 1() x 1 ( y （3） 22 22 )xx1 ( )xx1 (x)xx1 ( x y 22 2 )xx1 ( )x210(xxx1 22 2 )xx1 ( x1 （4） e)2()e3( y xxx 用心 爱心 专心 2ln2e3ln) e3(2ln2e3e3ln3 0)2()e (3e)3( xxxxxxx xxxxx （5） 22 22 ) 1x( )1x(xln) 1x()x(ln y 22 22

6、 22 2 ) 1x(x xlnx21x ) 1x( xlnx2) 1x( x 1 （6）xsinxxcosxsinxxcos)x(sin)xcosx( y 点悟：点悟：熟练运用导数的运算法则及复合函数的求导法则，并进行简单的求导数运算， 注意运算中公式使用的合理性及准确性 例 3. 已知曲线 C：4x9x2x3y 234 （1）求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程； （2）第（1）小题中切线与曲线 C 是否还有其他公共点？ 剖析：剖析：本小题考查导数的几何意义及利用导数求切线的方法 解析：解析：（1）把1x 代入 C 的方程，求得4y， 切点为（1，-4） ，x18x6x12 y 23

7、 ， 切线的斜率1218612k 切线方程为) 1x(124y 即8x12y （2）由 8x12y 4x9x2x3y 234 得04x12x9x2x3 234 即0)2x3)(2x() 1x( 2 4x9x2x3y 3 2 21x 234 ，代入、， 求得0324y、即公共点为（1，-4） （切点） ， （-2，32） ， （ 3 2 ，0） 除切点外，还有两个交点（-2，32） ， （ 3 2 ，0） 用心 爱心 专心 点悟：点悟：曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，直线与曲 线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确 例 4. 已知函数 bx 6ax

8、)x(f 2 的图象在点 M（-1，) 1(f ）处的切线方程 为05y2x求： （1）函数)x(fy 的解析式； （2）函数)x(fy 的单调区间 剖析：剖析：本小题考查利用导数求曲线的切线及确定函数的单调区间 解析：解析：（1）由函数)x(f的图象在点 M（-1，f（-1） ）处的切线方程为05y2x， 知05) 1(f21，即 2 1 ) 1( f , 2) 1(f 22 2 )bx( )6ax(x2)bx(a )x( f 2 1 )b1 ( )6a(2)b1 (a 2 b1 6a 2 即 2 1 )b1 ( )6a (2)b1 (a 4b2a 2 解得)1b, 01b(3b, 2a舍去

9、 所求的函数解析式是 3x 6x2 )x(f 2 （2） 22 2 )3x( 6x12x2 )x( f 令06x12x2 2 ，解得323x, 323x 21 当0)x( f ,323x323x时或； 当0)x( f ,323x323时 )323 ,( 3x 6x2 )x(f 2 在内是减函数，在)323 , 323(内是增函数；在 ), 323(内是减函数 用心 爱心 专心 点悟：点悟：设函数)x(fy 在某个区间内可导，若0)x( f，则)x(f为增函数；若 0)x( f，则)x(f为减函数 例 5. 已知函数1xx3ax)x(f 23 在 R 上是减函数，求 a 的取值范围 剖析：剖析：

10、本小题考查已知函数的单调性，利用导数及不等式求参数的范围 解析：解析：求函数)x(f的导数；1x6ax3)x( f 2 （1）当)x(f ,)Rx(0)x( f时是减函数 3a0a1236, 0a)Rx(01x6ax3 2 且 所以，当)Rx)(x(f, 0)x( f,3a知由时是减函数 （2）当 9 8 ) 3 1 x( 31xx3x3)x(f ,3a 323 时 由函数 3 xy 在 R 上的单调性，可知当3a时，)x(f（Rx）是减函数 （3）当3a时，在 R 上存在一个区间，其上有0)x( f 所以，当3a时，函数)Rx)(x(f不是减函数 综上，所求 a 的取值范围是3,( 点悟：点

11、悟：因为 f（x）在 R 上为减函数，即0)x( f在 R 上恒成立，再解不等式即可得 解 本题另一解法：由 2 x3 x61 a, 0)x( f 得，原问题转化为 2 x3 x61 a 在 R 上恒成立，只 需 min 2 ) x3 x61 (a 即可，现在转化为求函数的最小值本题易忽视讨论3a时，)x(f也为 减函数 例 6. 已知函数5bxaxx4)x(f 23 的图象在1x 处的切线方程为x12y （1）求函数)x(f的解析式； （2）求函数 1 , 3)x(f在上的最值 剖析：剖析：本小题考查利用导数求函数的最值 解析：解析：（1）bax2x12)x( f 2 ，而)x(fy 在1x

12、 处的切线方程为x12y 用心 爱心 专心 18b, 3a 125ba4 12ba212 12) 1 (f ) 1 ( f12k 故5x18x3x4)x(f 23 （2）)3x2)(1x(618x6x12)x( f 2 ，令0)x( f，解得1x1， 2 3 x2那么)x(f的增减性及极值如下： x )x( f的符号)x(f增减性 ) 1,( +递增 1+极大值 16 )2/3 , 1( 递减 3/20极小值4/61 驻点12) 1 (f ,76)3(f,16) 1(f 1 , 31x1又且 1 , 3)x(f在上的最小值为76，最大值为 16 点悟：点悟：闭区间上的连续函数的最值可能是该区间

13、上的极值，也可能是端点值 五. 知识要点点拨 （一）导数及其运算 1. 根据导数的定义，求函数)x(fy 在点 0 x处导数的方法： （1）求函数的增量)x(f)xx(ff 00 ； （2）求平均变化率 x )x(f)xx(f x f 00 （3）取极限，得导数 x f lim)x( f 0 x 0 2. “函数)x(f在点 0 x处的导数” 、 “导函数” 、 “导数”三者之间的区别与联系 （1） “函数在一点处的导数” ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的极 限，它是一个数值，不是变数 （2） “导函数”：如果函数)x(f在开区间（a,b）内每一点都可导，就说)x(f在开区 间

14、（b, a）内可导，这时对于区间（a,b）内每一个确定的值 0 x，都对应着一个导数)x( f 0 ， 这样就在开区间)b, a (内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做)x(f在开区间（a,b） 内的导函数，记作)x( f或 y，即 x )x(f)xx(f lim x f lim y)x( f 0 x0 x （3）函数)x(fy 在点 0 x处的导数)x( f 0 就是导函数)x( f在点 0 xx 处的函数值 用心 爱心 专心 0 xx0 | )x( f)x( f 所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值 3. 复合函数的导数 （1）一般地，对于两个函数)

15、u(fy 和)x(gu ，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数)x(gu)u(fy和的复合函数，记作)x(g(fy （2）复合函数)x(g(fy 的导数和函数)x(gu),u(fy的导数间的关系为 xux u y y，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积 （二）导数的应用 1. 若在某区间上有有限个点使0)x( f，在其余点恒有0)x( f，则)x(f仍为增函数 （减函数的情形完全类似） ，也就是说在区间内0)x( f是)x(f在此区间上为增函数的充 分而不必要条件 2. 极值点与导数为 0 的点的关系 （1）导数为 0 的点

16、不一定是极值点 如函数 3 x)x(f，在0 x 处的导数是 0，但它不是极值点 对于可导函数，极值点的导数必为 0 因此对于可导函数，导数为 0 是点为极值点的必要而不充分条件 （2）函数的导数不存在的点也可能是极值点 如：函数|x|)x(f，在0 x 处，左侧（0 x 时）01)x( f，右侧)0 x(时 01)x( f，当0 x 时0)x(f是)x(f的极小值点，但)0( f不存在 3. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 （1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变 量之间的函数关系)x(fy ； （2）求函数的导数)x( f，解方程0)x( f；

17、（3）比较函数在区间端点和使0)x( f的点的数值的大小，最大（小）者为最大（小） 值 4. 解决生活中的优化问题应当注意的问题 （1）在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义 的值应舍去 （2）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使0)x( f的情形，如果函 数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值 用心 爱心 专心 （3）在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示， 还应确定出函数关系式中自变量的定义区间 六. 体验高考 例 1. （2005 湖南，6）设)x( f)x(f ,),x( f)x

18、(f),x( f)x(f , xsin)x(f n1n12010 ， Nn，则)x(f2005（ ） A. xsinB. xsin C. xcosD. xcos 剖析：剖析：本题考查函数的求导及函数的周期性的基础知识 答案：答案：C 解析：解析：xcos)x( f)x(f , xsin)x(f 010 ， , xsin)x( f)x(f xcos)x( f)x(f , xsin)x( f)x(f 34 2312 周期为 4，故xcos)x(f)x(f 12005 故选 C 例 2. （2005 江苏，14）曲线1xxy 3 在点（1，3）处的切线方程是_ 剖析：剖析：通过求导得到切线的斜率即可

19、 答案：答案：01yx4 解析：解析：1x, 1x3 y 2 时，4| y 1x ， 切线方程为) 1x(43y，即01yx4 例 3. （2005 全国 II，22） （14 分）已知0a ，函数 x2 e )ax2x()x(f （1）当 x 为何值时，)x(f取得最小值？证明你的结论； （2）设 1 , 1)x(f在上是单调函数，求 a 的取值范围 剖析：剖析：本题考查函数求导，函数的单调性及函数的最值问题 解析：解析：（1）对函数)x(f求导数，得 x2 xx2 e a2x)a1 (2x e )a2x2(e )ax2x()x( f 令0)x( f，得0e a2x)a1 (2x x2 用心

20、 爱心 专心 从而0a2x)a1 (2x 2 解得 2 2 2 1 a11ax,a11ax 其中 21 xx 当 x 变化时，)x(f)x( f、的变化如下表： x)x,( 1 1 x)x,x( 212 x),x( 2 )x( f +00+ )x(f 极大值极小值 即 1 xx)x(f在处取到极大值，在 2 xx 处取到极小值 当)x,x()x(f , 0 x, 1x,0a 2121 在时为减函数，在),x( 2 上为增函数 而当0 x 时，0e )a2x(x)x(f x ；当0 x 时，0)x(f 所以当 2 a11ax时，)x(f取得最小值 （2）当0a 时， 1 , 1)x(f在上为单调

21、函数的充要条件是1x2，即 1a11a 2 ，解得 4 3 a 综上，)x(f在 1 , 1上为单调函数的充分必要条件为 4 3 a ，即 a 的取值范围是 ), 4 3 例 4. （2005 全国 III，22） （14 分）已知函数 1 , 0 x, x2 7x4 )x(f 2 （1）求)x(f的单调区间和值域； （2）设1a ，函数 1 , 0 x, a2xa3x)x(g 23 若对于任意 1 , 0 x1，总存在 1 , 0 x0，使得)x(f)x(g 10 成立，求 a 的取值范围 剖析：剖析：本题考查运用导数知识研究函数的单调性、极值及不等式问题；考查分析和解 决问题的能力 解析：

22、解析：（1）对函数)x(f求导，得 22 2 )x2( )7x2)(1x2( )x2( 7x16x4 )x( f 用心 爱心 专心 令0)x( f，解得 2 7 x 2 1 x或 当 x 变化时，)x(f)x( f、的变化情况如下表： x0) 2 1 , 0( 2 1 ) 1 , 2 1 (1 )x( f 0 )x(f 2 7 43 所以，当) 2 1 , 0(x时，)x(f是减函数；当) 1 , 2 1 (x时，)x(f是增函数 当 1 , 0 x时，)x(f的值域为3, 4 （2）对函数)x(g求导，得)ax(3)x( g 22 因为1a ，当 1 , 0 x时，0)a1 (3)x( g

23、2 所以当 1 , 0 x时，)x(g为减函数，从而当 1 , 0 x时，有)0(g),1 (g)x(g 又a2)0(g,a3a21) 1 (g 2 ，即当 1 , 0 x时有 a2,a3a21 )x(g 2 任给 1 , 0 x1，3, 4)x(f 1 ，存在 1 , 0 x0使得)x(f)x(g 10 ，则 3, 4a2,a3a21 2 即 3a2 4a3a21 2 解式得 3 5 a1a 或；解式得 2 3 a 又1a ，故 a 的取值范围为 2 3 a1 例 5. （2005 湖北，17） （12 分）已知向量) t , x1 (b),1x,x(a 2 若函数 ba)x(f在区间) 1

24、 , 1(上是增函数，求 t 的取值范围 剖析：剖析：本题考查向量以及用导数研究函数的单调性的基础知识 解法一：解法一：依定义ttxxx) 1x( t)x1 (x)x(f 232 ，则 tx2x3)x( f 2 若)x(f在（-1，1）上是增函数， 用心 爱心 专心 则在) 1 , 1(上可设0)x( f ) 1 , 1(x2x3t0)x( f 2 在区间上恒成立 设函数x2x3)x(g 2 由于)x(g的图象是对称轴为 3 1 x ，开口向上的抛物线，故要 使x2x3t 2 在区间) 1 , 1(上恒成立) 1(gt，即5t 而当5t 时，) 1 , 1()x( f在上满足0)x( f，即)

25、 1 , 1()x(f在上是增函数 故 t 的取值范围是5t 解法二：解法二：依定义tx2x3)x( f , ttxxx) 1x( t)x1 (x)x(f 2232 若) 1 , 1()x(f在上是增函数 则在) 1 , 1(上可设0)x( f， )x( f的图象是开口向下的抛物线， 当且仅当05t) 1( f , 01t) 1 ( f时，)x( f在) 1 , 1(上满足0)x( f， 即)x(f在) 1 , 1(上是增函数，故 t 的取值范围是5t 例 6. （2004 天津）已知函数x3bxax)x(f 23 在1x处取得极值 （1）讨论) 1 (f和) 1(f 是函数)x(f的极大值还

26、是极小值； （2）过点 A（0，16）作曲线)x(fy 的切线，求此切线方程 剖析：剖析：本小题考查函数的极值及不过切点的曲线的切线 解析：解析：（1）3bx2ax3)x( f 2 ，依题意， 03b2a3 03b2a3 , 0) 1( f) 1 ( f即 解得0b, 1a 1x, 1x, 0)x( f ) 1x)(1x( 33x3)x( f x3x)x(f 21 2 3 得令 若), 1 () 1,(x，则0)x( f，故 ) 1,()x(f在上是增函数，)x(f在), 1 ( 上是增函数 用心 爱心 专心 若) 1 , 1(x，则0)x( f，故)x(f在（-1，1）上是减函数 2) 1(

27、f是极大值；2) 1 (f是极小值 （2）曲线方程为x3xy 3 点 A（0，16）不在曲线上 设切点为 M（ 00 y,x） ，则点 M 的坐标满足 0 3 00 x3xy ) 1x(3)x( f 2 00 ，故切线的方程为)xx)(1x(3yy 0 2 00 注意到点 A（0，16）在切线上，有)x0)(1x(3)x3x(16 0 2 00 3 0 化简得8x 3 0 ，解得2x0 切点为 M（-2，-2） ，切线方程为016yx9 点悟：点悟：借助导数知识研究极值、切线问题是导数的重要应用，是近年来考查重点 【模拟试题模拟试题】 一. 选择题 1. （2005 广东湛江）函数)x(fy

28、的图象过原点且它的导函数)x( fy 的图象是如图所 示的一条直线，)x(fy 图象的顶点在（ ） A. 第 I 象限B. 第 II 象限 C. 第 III 象限D. 第 IV 象限 2. （2006 山东济宁）在函数x8xy 3 的图象上，其切线的倾斜角小于 4 的点中，坐 标为整数的点的个数是（ ） A. 3B. 2C. 1D. 0 3. （2007 广东汕头）若函数) 1a, 0a)(axx(log)x(f 3 a 在区间（ 2 1 ，0）内单调 递增，则 a 的取值范围是（ ） A. ) 1 , 4 1 B. ) 1 , 4 3 C. ), 4 9 (D. ) 4 9 , 1 ( 4.

29、 （2007 山东泰安）若 p,q 为实数，则函数rqxpxx)x(f 23 （ ） A. ),(在上是减函数 B. 在),(上是增函数 C. 当q3p2时，在),(上是增函数 用心 爱心 专心 D. 当q3p2时，在),(上是增函数 5. （2007 荆州）函数3 , 1x2x8xy 24 在上的最大值为（ ） A. 11B. 2C. 12D. 10 6. （2007 北京东城）函数bx)2a (48x) 1a (ax)x(f 23 的图象关于原点中心对 称，则)x(f在-4，4上（ ） A. 单调增B. 单调减 C. 0 , 4上增，0，4上减D. 4，0上减，0，4上增 7. （2007

30、 山东枣庄）曲线 3 x2y 在1x 处的切线的斜率是（ ） A. 2B. 4C. 6D. 8 8. （2007 山东烟台）对于 R 上的可导任意函数)x(f，或满足0)x( f) 1x(，则必有 （ ） A. ) 1 (f2)2(f)0(fB. ) 1 (f2)2(f)0(f C. ) 1 (f2)2(f)0(fD. ) 1 (f2)2(f)0(f 二. 填空题 9. （2005 广东广州）函数10 x3x2)x(f 23 的单调递减区间为_ 10. （2006 山东临沂）已知 32 x)x(g,x)x(f，若2)x( g)x( f，则x_ 11. （2007 山东枣庄）将长为 52cm 的

31、铁丝剪成 2 段，各围成一个长与宽之比为 2：1 及 3：2 的矩形，那么面积之和的最小值为_ 三. 解答题 12. （2007 广东江门）已知函数 1 , 0 x, x2 7x4 )x(f 2 （1）求)x(f的单调区间和值域； （2）设1a ，函数 1 , 0 x, a2xa3x)x(g 23 ，若对于任意 1 , 0 x1总存在 1 , 0 x0，使得)x(f)x(g 10 成立，求 a 的取值范围 13. （2007 北京朝阳）已知：定义域为 R 的函数 3 xax)x(f在区间) 2 2 , 0(内是增函 数 （1）求实数 a 的取值范围； （2）若)x(f的极小值为2，求实数 a

32、的值 14. （2007 北京东城）已知函数ax3x)x(f 3 用心 爱心 专心 （1）求函数)x(f的单调区间； （2）当1a 时，求证：直线0myx4不可能是函数)x(f图象的切线 【试题答案试题答案】 1. A因为)x( fy 的图象是一次函数，所以)x(fy 的图象是二次函数 又)x(f的图象过原点，所以可设： bax2)x( f bxax)x(f 2 结合)x( f的图象可知，0b, 0a 0 a4 b a4 bac4 , 0 a2 b 22 ，即顶点) a4 bac4 , a2 b ( 2 在第一象限， 故选 A 2. D8x3 y 2 ，由题意知1 y0，即3|x| 3 62

33、18x30 2 ， x 不可能为整数，整点个数为 0，故选 D 3. B设axx)x(g 3 ，则ax3)x( g 3 ， 当1a0时，)x(f在区间) 0 , 2 1 (内单调增，则)x(g在) 0 , 2 1 (上单调减，即当 0 x 2 1 时恒有) 1 , 4 3 (a, 4 3 ax3a0)x( g 2 ； 当1a 时，)x(f在区间) 0 , 2 1 (上单调增，则)x(g在) 0 , 2 1 (上单调增，即当 0 x 2 1 时恒有1a, 0ax3a0)x( g 2 与矛盾； 当 4 3 a 时，符合题意，) 1 , 4 3 a，故选 B 4. C0q34p4, qpx2x3)x

34、( f 22 时，0)x( f，此时)x(f为增函数， 故选 C 5. Ax16x4 y 3 令0 y ，即0 x16x4 3 ，解得2x2x0 x或或而 2)0(f，14)2(f，)x(f, 5) 1(f ,11)3(f最大值为 11，故选 A 6. B)x(f为奇函数，则0)0(f0b ， 又1a),x(f)x(f 故48x3)x( f , x48x)x(f 23 4 , 4x，故48x30 ,16x0 22 ， 故048x3 2 ，故)x(f为减函数，故选 B 用心 爱心 专心 7. C6|x6 y 1x 2 ，故选 C 8. C若0)x( f恒成立，则)x(f为常函数，即) 1 (f2)2(f)0(f；若0)x( f不恒成 立时，有1x 时，1x; 0)x( f时，) 1 ,()x(f , 0)x( f在上单调递减，在), 1 ( 单调递 增，故1x 时，)x(f取得极小值，从而) 1 (f2)2(f)0(f故选 C 9. 答案：（0，1） （也可答0，1） 解析：由0 x6x6)x( f 2 解得1x0，故)x(f的单调递减区间为（0，1） 10. 答案： 3 71 解析： 2 x3)x( g, x2)x( f 2x3x2)x( g)x( f 2 整理得02x2x3 2 3 71 x 11