2014高考数学一轮总复习 4.2 平面向量的基本定理及其坐标表示教案 理 新人教A版

1、4.2平面向量的基本定理及其坐标表示典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例1】如图ABCD中,M,N分别是DC，BC中点.已知=a,=b,试用a，b表示，与【解析】易知，即所以(2ba)， (2ab).所以(ab).【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知D为ABC的边BC上的中点，ABC所在平面内有一点P，满足0，则等于()A.B.C.1D.2【解析】由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知2，因此结合0即得2，因此易得P，A，D三点共线且D是PA的中点，所以1，即选C.题型二向量的坐标

2、运算【例2】 已知a(1，1)，b(x，1)，ua2b，v2ab.(1)若u3v，求x；(2)若uv，求x.【解析】因为a(1，1)，b(x，1)，所以u(1，1)2(x，1)(1，1)(2x，2)(2x1，3)，v2(1，1)(x，1)(2x，1).(1)u3v(2x1，3)3(2x，1)(2x1，3)(63x，3)，所以2x163x，解得x1.(2)uv (2x1，3)(2x，1) (2x1)3(2x)0x1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.【变式训练2】已知向量an(cos，sin)(nN*)，|b|1.则函数y|a1b|2|a2b|

3、2|a3b|2|a141b|2的最大值为.【解析】设b(cos ，sin )，所以y|a1b|2|a2b|2|a3b|2|a141b|2(a1)2b22(cos，sin)(cos ，sin )(a141)2b22(cos，sin)(cos ，sin )2822cos()，所以y的最大值为284.题型三平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m(a，b)，n(sin B，sin A)，p(b2，a2).(1)若mn，求证：ABC为等腰三角形；(2)若mp，边长c2，角C，求ABC的面积.【解析】(1)证明：因为mn，所以asin Absin B.

4、由正弦定理，得a2b2，即ab.所以ABC为等腰三角形.(2)因为mp，所以mp0，即a(b2)b(a2)0，所以abab.由余弦定理，得4a2b2ab(ab)23ab，所以(ab)23ab40.所以ab4或ab1(舍去).所以SABCabsin C4.【点拨】设m(x1，y1)，n(x2，y2)，则mnx1y2x2y1；mnx1x2y1y20.【变式训练3】已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m(2cosC1，2)，n(cos C，cos C1).若mn，且ab10，则ABC周长的最小值为()A.105B.105C.102D.102【解析】由mn得2cos2C3cos C20，解得cos C或cos C2(舍去)，所以c2a2b22abcos Ca2b2ab(ab)2ab100ab，由10ab2ab25，所以c275，即c5，所以abc105，当且仅当ab5时，等号成立.故选B.总结提高1.向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来.向量方法是几何方法与代数方法的结合体，很多几何问题可转化为熟知的向量运算.2