44用待定系数法确定一次函数表达式

1、 温故知新：温故知新： 1、在函数、在函数y=2x中，函数中，函数y随自变量随自变量x的增大的增大 而而_。 2、已知一次函数、已知一次函数y=kx+5过点过点P（1，2），则），则k=_。 3、已知一次函数、已知一次函数y=2x+4的图像经过点（的图像经过点（m，8），则），则m _。 4、一次函数、一次函数y=2x+1的图象经过第的图象经过第 象限，象限，y随着随着 x的增大而的增大而 ; y=2x 1图象经过第图象经过第 象限，象限，y 随着随着x的增大而的增大而。 5、若一次函数、若一次函数y=x+b的图象过点的图象过点A（1，-1），则），则 b=_ 增大增大 3 2 一、二、四一、

2、二、四 减小减小 一、三、四一、三、四 增大增大 -2 在y=kx+b（k0）中有两个系数k、b,要确定一条 直线，需要两个点，那么已知两点坐标，能否求 出一次函数表达式呢？ 如图如图4-14，已知一次函数的图象经过，已知一次函数的图象经过P（0，- -1）， Q（1，1）两点两点. 怎样确定这个一次函数的表达式呢？怎样确定这个一次函数的表达式呢？ 探究探究 图图4-14 因为一次函数的一般形式是因为一次函数的一般形式是y=kx+b（k，b为常数，为常数， k0），要求出一次函数的表达式，关键是要确定要求出一次函数的表达式，关键是要确定k和和b 的值的值（即待定的系数即待定的系数）. 因为因为

3、P（0，- -1） 和和Q（1，1）都在该函数图象上，都在该函数图象上， 因因 此它们的坐标应满足此它们的坐标应满足y=kx+b ， 将这两点坐标代入该式中，将这两点坐标代入该式中， 得到一个关于得到一个关于k，b的二元一次方程组：的二元一次方程组： k0 + b = - -1， k + b = 1. 解得解得 k=2， b=- -1. 所以，这个一次函数的表达式为所以，这个一次函数的表达式为y = 2x- - 1. 像这样，通过像这样，通过先设定先设定函数函数表达式表达式（确定函数模型），（确定函数模型）， 再再根据条件根据条件确定确定表达式中的表达式中的未知系数未知系数，从而，从而求出求出

4、函数函数 的的表达式表达式的方法，称为的方法，称为待定系数法待定系数法. 解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b。因为 y=kx+b的图象经过点(3,5)与(-4,-9)， 所以 1 2 b k 例例1. 1. 已知一次函数的图象经过点已知一次函数的图象经过点(3(3，5)5) 与与(-4,-9),(-4,-9),求这个一次函数的表达式。求这个一次函数的表达式。 解得 这个一次函数的表达式为y=2x-1. 先设出函数表达式, 再根据条件确定解 析式中未知数,从而 具体写出这个式子 的方法,叫做待定系 数法. 94 53 bk bk 应应 用用 举举 例例 用待定系数法确定一次函数表达式的一般

5、步骤 函数解 析 y=kx+b 满足条 件的两 定点 (x1,y1)与 (x2,y2) 一次 函数 的图 象 选取 解出 画出 选取 归归 纳纳 1、设设设函数表达式为设函数表达式为y=kx+b 2、代代将点的坐标代入将点的坐标代入y=kx+b中，中， 列出关于列出关于k、b的方程（或方程组）的方程（或方程组） 3、求求解方程（或方程组），求解方程（或方程组），求k、b 4、写写把求出的把求出的k、b的值代回到表达的值代回到表达 式中即可式中即可. 练习：练习：已知一次函数的图象经过点已知一次函数的图象经过点(3,5)(3,5)与与 （4 4，9 9）. .求这个一次函数的表达式求这个一次函数

6、的表达式 解：设这个一次函数的表达式为解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b. y=kx+b的图象过点（的图象过点（3，5）与（）与（-4，-9）. 3k+b=5 -4k+b=-9 解得解得 k=2 b=-1 这个一次函数的表达式为这个一次函数的表达式为y=2x-1 变式训练：变式训练：已知一次函数已知一次函数y=kx+by=kx+b，当，当x=1x=1 时，时，y=1y=1；当；当x=2x=2时，时，y=3.y=3.求这个一次函数求这个一次函数 的表达式的表达式 解：解： k+b=1 2k+b=3 解得解得 k=2 b=-1 这个一次函数的表达式为这个一次函数的表达式为y=2x-1 当当x

7、=1x=1时，时，y=1y=1；当；当x=2x=2时，时，y=3.y=3. 例例2.已知一次函数已知一次函数y=kx+b的图象如图的图象如图 所示，求函数表达式所示，求函数表达式 , 3-0 , 0 b bk 解得解得： . 3 , 3 b k 这个函数的表达式为这个函数的表达式为y=-3x-3. 解：由图象可知，图象经过点（-1，0）和（0，-3） 两点，代入到y=kx+b中，得 拓 展 举 例 分析 从图象上可以看出，它与x轴交于点（-1，0）， 与y轴交于点（0，-3），代入关系式中，求出k、b即可 练习 ：求下图中直线的函数表达式 3 1 o y=kx+b的图象过点（的图象过点（0，3

8、）与（）与（1，0）. b=3 k+b=0 解得解得 k=-3 b=3 这个一次函数的表达式为这个一次函数的表达式为y=-3x+3 y x 解：解：设这个一设这个一 次函数的表达式为次函数的表达式为 y=kx+b. 练习：小明将练习：小明将父母给的零用钱按每月相等的数额父母给的零用钱按每月相等的数额 存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内钱数存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内钱数 y(元元)与存钱月数与存钱月数x(月月)之间的关系如图所示，之间的关系如图所示， 根据下图回答下列问题：根据下图回答下列问题： (1)求出求出y关于关于x的函数表达式。的函数表达式。 (2)根据关系式计算，小明根

9、据关系式计算，小明 经过几个月才能存够经过几个月才能存够200元？元？ 例3.判断三点A（3，1），B（0，-2），C （4，2）是否在同一条直线上 解得： .2 , 1 b k 过A，B两点的直线的表达式为y=x-2 当x=4时，y=4-2=2 点C（4，2）在直线y=x-2上 三点A（3，1）， B（0，-2），C（4，2）在同一条直线上 , 20 , 13 b bk 解：设过A，B两点的直线的表达式为y=kx+b 由题意可知， 分析分析 由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两由于两点确定一条直线，故选取其中两点，求经过这两 点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立

10、，点的函数表达式，再把第三个点的坐标代入表达式中，若成立， 说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上说明在此直线上；若不成立，说明不在此直线上 变式训练：变式训练：小明根据某个一次函数关系式小明根据某个一次函数关系式 填写了下表填写了下表: x-101 y24 其中有一格不慎被墨汁遮住了其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看，该想想看，该 空格里原来填的数是多少？解释你的理由。空格里原来填的数是多少？解释你的理由。 b=2 k+b=4 y=2x+2x=-1时时y=0 当当x=x=0 0时，时，y=y=1 1，当，当x=x=1 1时，时，y=y=0 0. . k=2 b=2 解：设这个一次函数的解

11、析式为解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 设正比例函数表达式是设正比例函数表达式是 y=kx,y=kx, 把把 x =x =- -4, y =2 4, y =2 代入代入 2 = -4k 所求的函数表达式是所求的函数表达式是 y= y= - - 2 x 解得解得 k= - 2 1 例：例：已知正比例函数当自变量已知正比例函数当自变量x等于等于 - 4时，时， 函数函数y的值等于的值等于2。求正比例函数的表达式。求正比例函数的表达式 设设 代代 求求 写写 待定系数法待定系数法 议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议议 要确定正比例函数的表达式需要几件？要确定正比

12、例函数的表达式需要几件？. 练习：正比例函数的图象练习：正比例函数的图象 经过点经过点(4,2)，求，求 函数的表达式函数的表达式. o y x A B B 综合训练：综合训练：已知一次函数已知一次函数y=kx+b 的图的图 象过象过点点A A( (3,0).).与与y y轴交于点轴交于点B B，若，若 AOBAOB的面积为的面积为6 6，求这个一次函数的，求这个一次函数的 解析式解析式 y=kx+b的图象过点的图象过点A（3，0）. OA=3，S= OAOB= 3OB=6 2 1 2 1 OB=4， B点的坐标为点的坐标为（0,4） （0,-4）. 当当B点的坐标为点的坐标为（0,4）时，则

13、时，则 y=kx+4 当当B点的坐标为点的坐标为（0,-4）时，则时，则 y=kx-4 0=3k+4， k= - y= - x+4 3 4 3 4 0=3k+4， k= y= x-4 3 4 3 4 一次函数一次函数解析式解析式 y= - x+4 或或 y= x-4 3 4 3 4 用用C, ,F分别表示摄氏温度与华氏温度，由于摄分别表示摄氏温度与华氏温度，由于摄 氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关 系，因此可以设系，因此可以设 C = kF + b， 解解 由已知条件，得由已知条件，得 212k + b =100， 32k + b = 0 . 解

14、得解得k,b. 5160 99 因此摄氏温度与华氏温度的函数关系式为因此摄氏温度与华氏温度的函数关系式为 CF 5160 99 例例1 1. .温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度温度的度量有两种：摄氏温度和华氏温度.水的水的 沸点温度是沸点温度是100，用华氏温度度量为，用华氏温度度量为212 ；水的；水的 冰点温度是冰点温度是0，用华氏温度度量为，用华氏温度度量为32 .已知摄氏已知摄氏 温度与华氏温度的关近似地为一次函数关系，你能温度与华氏温度的关近似地为一次函数关系，你能 不能想出一个办法方便地把华氏温度换算成摄度？不能想出一个办法方便地把华氏温度换算成摄度？ 求出了摄氏温度与华氏温度

15、的函数关系式后，可以方便地把求出了摄氏温度与华氏温度的函数关系式后，可以方便地把 任何一个华氏温度换算成摄氏温度任何一个华氏温度换算成摄氏温度. 某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开 始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与工 作时间x（h） 之间为一次函数关系，函数 图象如图4-15所示. （1）求）求y关于关于x的函数表达式；的函数表达式； （2）一箱油可供拖拉机工作几小时？）一箱油可供拖拉机工作几小时？ 例例2 图图4-15 解得解得k,b. 540 所以所以 y = - -5x + 40. （1）求y关于x的函数表达式； （1） 解解 设一次函数的表达式为设一次函数的表达式为y = k

16、x + b ，由于，由于 点点P （2，30）， Q（6，10）都在一次都在一次 函数图象上，将这两点坐标代入表达式，得函数图象上，将这两点坐标代入表达式，得 2k + b =30， 6k + b =10. （2）一箱油可供拖拉机工作几小时？）一箱油可供拖拉机工作几小时？ （2）解解 当剩余油量为当剩余油量为0时，时， 即即y=0 时，时， 有有 - -5x + 40 = 0， 解得解得 x = 8. 所以一箱油可供拖拉机工作所以一箱油可供拖拉机工作8 h 思考思考: : 1. y与与x的关系式形式是的关系式形式是_,关键关键 是确定是确定_和和_ 2.y与与 x的对应关系有的对应关系有_对（

17、填数字）对（填数字） 分别是当分别是当x=_ 时时y=_ 当当x=_ 时时y=_ y=kx+b k b 2 0 6 47.2 设设所求函数的表达式为所求函数的表达式为 _, 解解： y=kx+b 解解得得： k0.3 b6 4.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携 带一定重量的行李，如果超过规定，则需要带一定重量的行李，如果超过规定，则需要 购买行李票，行李票费用购买行李票，行李票费用y（元）是行李重量（元）是行李重量 x(公斤）的一次函数，图象如图所示公斤）的一次函数，图象如图所示 求求：（：（1）从图中可以获取哪些信息）从图中可以获取哪些信息 （2）旅客

18、最多可免费携带行李的公斤）旅客最多可免费携带行李的公斤 数数. x (公斤) Y(元) 10 8060 6 A 解：解：设一次函数关系式是设一次函数关系式是y=kx+b 因为因为 当当x=60时，时，y=6; 当当x=80时，时，y=10 所以所以 10=80k+b 6=60k+b 解得解得: k=1/5 b=-6 故所求一次函数关系式是故所求一次函数关系式是y=1/5x-6 当当 y=0 时，时，1/5x-6=0, 故故x=30 所以旅客最多可免费携带所以旅客最多可免费携带30公斤的行李公斤的行李 x (公斤) Y(元) 10 8060 6 A 练习练习 1. 把温度把温度84华氏度换算成摄

19、氏温度华氏度换算成摄氏温度. 解解由摄氏温度与华氏温度的函数关系得由摄氏温度与华氏温度的函数关系得 5160 84 99 C 解得解得 C28.9( () ) 因此，把温度因此，把温度84华氏度换算成摄氏温华氏度换算成摄氏温 度约为度约为28.9度度. 2. 已知一次函数的图象经过两点A(-1，3)， B(2，-5)，求这个函数的解析式. 解解设设y=kx+b，图象经过两点图象经过两点A(-1，3)，B(2， -5) 因此因此 - -k + b = 3， 2k + b = - -5. 因此所求一次函数的解析式为因此所求一次函数的解析式为 解得解得 k= ，b= . 1 3 8 3 - - y

20、= x + . 8 3 - - 1 3 3. 酒精的体积随温度的升高而增大，体积与温度 之间 在一定范围内近似于一次函数关系，现测得 一定量的酒精在0 时的体积为5.250 L，在40 时的体积为5.481 L，求这些酒精在10 和30 时的体积各是多少？ 因此所求一次函数的表达式为因此所求一次函数的表达式为 y=0.005775x+5.250. 解得解得 k=0.005775，b= 5.250 . 解解设体积与温度之间的函数关系为设体积与温度之间的函数关系为y=kx+b，由已知得：，由已知得： k0 + b = 5.250 ， k40 + b = 5.481. 在在10 ，即，即x=10时，

21、时， 体积体积y=0.00577510 +5.250=5.30775( (L).). 在在30 ，即，即x=30时，时， 体积体积y=0.00577530 +5.250=5.42325( (L).). 答：答：这些酒精在这些酒精在10 和和30 时的体积各是时的体积各是5.30775L 和和5.42325L. 中考中考 试题试题 例例 百舸竞渡，激情飞扬，端午节期间，某地举行龙舟比赛.甲、乙两 支龙舟队在比赛时路程y(米)与时间x(分)之间的函数图象如图.根据图象 回答下列问题： （1）1.8分钟时，哪支龙舟队处于领先位置？ （2）在这次龙舟赛中，哪支龙舟队先到达终点？提前多少时间到达？ （3

22、）求乙队加速后，路程y(米)与时间x(分)之间的函数关系式. 300 O 1234 600 1050 150 54.5 乙乙 甲甲 y( (米米) ) x( (分分) ) （1）（）（2）观察图象可得）观察图象可得.（3）用待定系数法解）用待定系数法解. 分析分析 解解 由图象可知，由图象可知， （1）1.8分钟时甲龙舟队处于领先位置分钟时甲龙舟队处于领先位置. . （2）在这次龙舟赛中，）在这次龙舟赛中， 乙龙舟队先到达终点，比甲提前乙龙舟队先到达终点，比甲提前0.5分钟分钟. . （3）设乙队加速后，）设乙队加速后， y与与x的关系式为：的关系式为：y=kx+b. 将将( (2，300) )、( (4.5，1050）分别代入上式，）分别代入上式， 解得解得 y = 300 x- -300( (2x4.5) ) 2 + =300 4.5 + =1050 . k b k b , , =300 = 300 . k b- - , , 、正比例函数、正比例函数 y=kx 的图象过点（，），的图象过点（，）， 则则 k= ， 该函数解析式为该函数解析式为 . 、如图，是、如图，是函数图象，函数图象， 它的解析式是它的解析式是。 2 y=2x y x 正比例正比例 x 2 1 y 3 -1 x y 3