泊松分布及其在实际中的应用[共16页]

1、 泊松分布是法国数学家泊松于 1838年引入的，是概率论中的几大重 要分布之一。作为一种常见的离散 型随机变量的分布，其在实际中有 着非常广泛的应用。 张晓东、郑茂元、刘文涛、 1.1.泊松分布泊松分布的定义及基本知识的定义及基本知识 1.1定义：定义： （1）若随机变量）若随机变量X的分布列为的分布列为 则称则称X服从参数为服从参数为 的的 泊松分布，并用记号泊松分布，并用记号XP( )表示。表示。 （2）泊松流：）泊松流： 随机质点流：随机现象中源源不断出现的随机质点构随机质点流：随机现象中源源不断出现的随机质点构 成的序列。成的序列。 若质点流具有平稳性、无后效性、普通性若质点流具有平稳

2、性、无后效性、普通性, 则称该质则称该质 点流为泊松事件流点流为泊松事件流(泊松流泊松流)。 例如某电话交换台收到的电话呼叫数例如某电话交换台收到的电话呼叫数; 到某机场降落到某机场降落 的飞机数的飞机数; 一个售货员接待的顾客数等这些事件都可一个售货员接待的顾客数等这些事件都可 以看作泊松流。以看作泊松流。 1.1.泊松分布泊松分布的定义及基本知识的定义及基本知识 1.2有关泊松分布的一些性质有关泊松分布的一些性质 （1）满足分布列的两个性质）满足分布列的两个性质： P(X=k) 0(k=0,1,2,），）， 且且有有 . （2）若随机变量）若随机变量X服从参数为服从参数为 的泊松分布，则的

3、泊松分布，则X的的 期望和方差分别为：期望和方差分别为：E(X)= ;D(X)= . 1 ! )( 00 ee k e k e kXP k k kok k 1.1.泊松分布泊松分布的定义及基本知识的定义及基本知识 （3）以）以n,p为参数的二项分布，当为参数的二项分布，当n ,p 0 时，使得时，使得np= 保持保持为正常数，为正常数，则则 对于对于k=0,1,2，一致成立。一致成立。 由如上定理的条件由如上定理的条件 知知，当，当n很大时，很大时，p 很小时，有下面的近似公式很小时，有下面的近似公式 e k ppC k knkk n ! )1 ( np e k ppCkP k knkk nn

4、 ! )1 ()( 2 2泊松分布的应用泊松分布的应用 对于对于试验成功概率很小而试验次数试验成功概率很小而试验次数 很多的随机过程很多的随机过程, , 都可以很自然的应用都可以很自然的应用 于泊松分布的理论。在泊松分布中的概于泊松分布的理论。在泊松分布中的概 率表达式只含一个参数率表达式只含一个参数 ，减少了对参数，减少了对参数 的确定与修改工作量的确定与修改工作量, , 模型构建比较简模型构建比较简 单单, , 具有很重要的实际意义。具有很重要的实际意义。 2 2泊松分布的应用泊松分布的应用 （1 1）泊松分布在经济生活中的应用：）泊松分布在经济生活中的应用： 泊松分布泊松分布是经济生活中

5、的一种非常重要的分布形式，尤是经济生活中的一种非常重要的分布形式，尤 其是经常被运用在运筹学研究中的一个分布模型。如物料订其是经常被运用在运筹学研究中的一个分布模型。如物料订 单的规划，道路交通信号灯的设计，生产计划的安排，海港单的规划，道路交通信号灯的设计，生产计划的安排，海港 发货船期的调度等等都需要用到泊松分布。发货船期的调度等等都需要用到泊松分布。 例例1 1：下面讨论一个泊松分布在商场现代化管理中的应：下面讨论一个泊松分布在商场现代化管理中的应 用。用。 某某商场一天内来的顾客数、一天内顾客购买的商品数等商场一天内来的顾客数、一天内顾客购买的商品数等 均服从或近似服从泊松分布均服从或

6、近似服从泊松分布 实例实例：若商场一天内来：若商场一天内来k k 个顾客的概率服从参数为个顾客的概率服从参数为 的的 泊松分布，而且每个到达商场的顾客购买商品是独立的，其泊松分布，而且每个到达商场的顾客购买商品是独立的，其 概率为概率为p p。 讨论一天内有顾客买东西的讨论一天内有顾客买东西的概率：概率： 设设 =“商场一天内来商场一天内来k 个顾客个顾客”（0,1，r，），）， B=“商场一天内有商场一天内有r个顾客购买商品个顾客购买商品”， 则则 （k=0,1,，r，）；）； P( (k=r,） 则则 ! )( k e AP k k rkrr kk ppCBA )1 ()| rkrr k

7、k rkk kk ppC k e ABPAPBP)1 ( ! )|()()( 0 0000 ! )1 ( ! )( )!( )1 ( )( )!( )1 ()( )1 ( )!( i ir i ir rir i irr riirr ri i rl i p r ep ri PC ep ri eppC pPC ri e ! )( ! )( )1( r ep e r ep pr p r 讨论一天内买东西的顾客数的数学期望：讨论一天内买东西的顾客数的数学期望： 设商场内一天购买东西的顾客为设商场内一天购买东西的顾客为X X，则，则 ，（，（r=0,1,r=0,1,），）， 即即X X ，所以所以 ，所

8、以商场一天内所以商场一天内 购买商品的平均顾客数为购买商品的平均顾客数为： 例例2 2：接下来讨论泊松分布在事故发生预测的：接下来讨论泊松分布在事故发生预测的 应用。应用。 通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为 =0.0001,=0.0001,假设在某路段时间内有假设在某路段时间内有10001000辆汽车通辆汽车通 过此路口，则求在此时间段内发生事故次数过此路口，则求在此时间段内发生事故次数 的的概率分布。概率分布。 ! )( )( r ep rXP pr )( pPpXE)( p p X 通过路口的通过路口的1000辆汽车发生事故与否，可以辆汽车发生事故与

9、否，可以 看成看成 =1000次伯努利试验，所以次伯努利试验，所以 服从服从二项二项 分布，由于分布，由于 =1000很大，且很大，且 =0.0001很很 小，且小，且 =0.1，所以，所以X服从泊松分布服从泊松分布， 。 此此段时间内发生段时间内发生2次次以上事故以上事故的概率为：的概率为： n n X p np ), 1 , 0( ! )1 ()(nme m np ppCmXP np m mnm n m n 0045. 0 ! 1 1 . 0 ! 0 1 . 0 1)2( 1 . 01 . 0 0 eexP 2 2泊松分布的应用泊松分布的应用 （2）泊松分布在生物学中的应用：）泊松分布在生

10、物学中的应用： 在在生物学研究中生物学研究中, 服从泊松分布的随机变服从泊松分布的随机变 量是常见的，如每升饮水中大肠杆菌数量是常见的，如每升饮水中大肠杆菌数, 计数计数 器小方格中血球数器小方格中血球数, 单位空间中某些野生动物单位空间中某些野生动物 或昆虫数等都是服从泊松分布的。泊松分布或昆虫数等都是服从泊松分布的。泊松分布 在生物学领域中有着广阔的应用前景，对生在生物学领域中有着广阔的应用前景，对生 物学中所涉及到的概率研究起到了重要的指物学中所涉及到的概率研究起到了重要的指 导作用。导作用。 例：泊松分布在估计一个基因文库所需克隆数中的应例：泊松分布在估计一个基因文库所需克隆数中的应

11、用用 判断基因克隆过程的分布情况：由于基因组判断基因克隆过程的分布情况：由于基因组DNA是是 从大量细胞中提取的从大量细胞中提取的, 每个细胞中均含有全部基因组每个细胞中均含有全部基因组 DNA, 那么每一种限制性片段的数目是大量的那么每一种限制性片段的数目是大量的, 因此可因此可 以说各限制性片段的数目是相等的。在基因克隆中以说各限制性片段的数目是相等的。在基因克隆中, 基因组基因组DNA 用限制性酶切割后与载体混合反应以及用限制性酶切割后与载体混合反应以及 随后的过程均是随机的生化反应过程。一随后的过程均是随机的生化反应过程。一, 对克隆来对克隆来 说一限制性片段要么被克隆、要么不被克隆说

12、一限制性片段要么被克隆、要么不被克隆, 只有这只有这 两种结果两种结果;第二第二, 由于总体限制性片段是大量的由于总体限制性片段是大量的, 被克被克 隆的对总体影响很小隆的对总体影响很小; 第三第三, 在克隆中一片段被克隆的在克隆中一片段被克隆的 概率为概率为f( f较小较小) , 不被克隆的概率为不被克隆的概率为1- ,f 且克隆时这且克隆时这 两种概率都不变。综上所述两种概率都不变。综上所述, 基因克隆过程符合泊松基因克隆过程符合泊松 分布。分布。 设设p为基因被克隆的概率为基因被克隆的概率; N 为要求的克隆的概率为为要求的克隆的概率为p 时一个基因文库所需含有重组时一个基因文库所需含有

13、重组DNA 的克隆数的克隆数; f为限为限 制性片段的平均长度与基因组制性片段的平均长度与基因组DNA 总长度之比总长度之比, 若若 基因组基因组DNA 被限制性酶切割成被限制性酶切割成n个个DNA 片段片段,f即即 。 则在克隆数为则在克隆数为N时时，任一段被克隆一次或一次以上，任一段被克隆一次或一次以上 的概率为的概率为 ，可推出，可推出 , 一般一般要求目的基因序列出现的概率要求目的基因序列出现的概率p的期望值定为的期望值定为 99%，那么那么 。 在在分子生物学中，上述一个完整的基因文库所分子生物学中，上述一个完整的基因文库所 需克隆数的估计对基因克隆实验方案的设计具有重需克隆数的估计

14、对基因克隆实验方案的设计具有重 要意义。要意义。 n 1 Nf epp 1)0(1 f p N )1ln( nnpnN4605)99. 01ln()1ln( 2 2泊松分布的应用泊松分布的应用 （3) 3)泊松分布在物理学中的应用：泊松分布在物理学中的应用： 泊松分布泊松分布在物理学中的应用十分广泛，如热电在物理学中的应用十分广泛，如热电 子的放射，某些激光场的分布等等都服从泊松分子的放射，某些激光场的分布等等都服从泊松分 布。布。 例：例： 对某一放射性物质而言对某一放射性物质而言, , 各相邻原子群体之间各相邻原子群体之间, , 其中一个原子核的衰变其中一个原子核的衰变, , 对相邻的原子

15、核而言对相邻的原子核而言, , 可可 视为外界的变化视为外界的变化, , 而这种外界的变化而这种外界的变化, , 不会影响相不会影响相 邻原子核的衰变过程。即在某一放射性物质中邻原子核的衰变过程。即在某一放射性物质中, , 各个原子核的衰变过程各个原子核的衰变过程, , 互不影响互不影响, , 相互独立。因相互独立。因 此衰变过程满足独立性。此衰变过程满足独立性。 放射性原子核的衰变过程是一个相互彼此无关的过放射性原子核的衰变过程是一个相互彼此无关的过 程，所以放射性原子核衰变的统计计数可以看成是程，所以放射性原子核衰变的统计计数可以看成是 一种伯努利试验问题。若在一个原子核体系中，单一种伯努

16、利试验问题。若在一个原子核体系中，单 位时间原子核发生衰变的概率位时间原子核发生衰变的概率为为 ，则没则没 有发生衰变的概率为有发生衰变的概率为 。由二项分布得到，由二项分布得到， 在在t t时间内的核衰变数为时间内的核衰变数为n n的概率为的概率为 。 （1 1） 由于在放射性衰变中，原子核由于在放射性衰变中，原子核数目数目 很大，而很大，而 p p相对很小，并且满足相对很小，并且满足 ，所以上式可以近似所以上式可以近似 化为泊松分布，因为此时化为泊松分布，因为此时 ，对于对于 附近附近 的的 值值可得到：可得到： t ep 1 t epq 1 nNnN N ppCnP 0 0 )1 ()( 0 N 1t 00 NpNm m n 000 0 )()1 ( ) 1()2)(1( 00000 pNnNpnN n n N eep NnNNNNC 带入（带入（1)式中得到：式中得到： 令令 ，得到得到: ,即为泊松分布。即为泊松分布。并并 且且有有 。 综上，泊松分布作为概率论中最重要的几个分布综上，泊松分布作为概率论中最重要的几个分布 之一，具有很多特殊的性质和作用，在实际中有着之一，具有很多特殊的性质和作用