抽象函数的单调性

1、抽象函数的单调性抽象函数的含义：没有解析式的函数，在考试中抽象函数始终作为一大难点出现在考生面前。思路：添项法。类型：一次函数型，哥函数型，指数函数型，对数函数型。类：一次函数型函数满足：f (a b) f (a) f (b) k或f(a b) f (a) f (b) k例 1、f(x)对任意 x, y r都有：f(x y) f (x) f(y),当 x0时，f (x) 0 ,判断f (x)在r上的单调性。解：x1, x2 r, x1 x2f x1f x2f (x1 x2x2) f x2f(x1 x2) f (x2) f x2f(xi x2)x1 x2 x1 x2 0, f(x1 x2) 0f

2、 x1f x2 q f(x)在r上是增函数例2、f(x)对任意实数x与y都有f (x) f (y) f (x y) 2 ,当x0时,f(x)2(1)求证:f(x)在r上是增函数；(2)若f(1)=5/2, 解不等式f(2a-3) 0 的函数，且 f(xy) = f(x) + f(y); 当 x1 时有 f(x)0上是减函数；(3)解不等式f(x) + f(2-x) 1。2、若非零函数f (x)对任意实数a,b均有f(a b) f (a) f(b),且当x 0时，f (x) 1；1c 1(1)求证：f (x) 0 ; 求证：f(x)为减函数(3)当f(4) 一时，解不等式f (x 3) f(5

3、x2)；164四类：哥函数型函数满足：i f (ago)f (a)gf (b)|或 f(a)上回 b f(b)例1、已知函数f(x)满足：对任意x, y r,都有f(xy) f (x)gf (y),f ( 1) 1,f (27) 9,且当0 x 1时，f(x) 0,1。(i)判断f(x)的奇偶性，(ii )判断f(x)在0,上的单调性，并证明。(iii )若a 0,且f(a 1) 3/9,求a的取值范围。五类：其他类数函数型例1、定义在1,1上的奇函数y f(x)有f(1) 1,且当m,n 1,1时，总有：f(m) f(n) 0,( m n),m n1 1.2(i)证明：f(x)在 1,1上为

4、增函数，(ii) 解不等式：f(x -)f (),(iii)若f(x) t 2at 1对所有2 x 11,1 , a 1,1恒成立，求实数t的取值范围例2、定义在()上的函数满足，对任意都有时，有，(1)试判断的奇偶性；(2)判断的单调性;【专练】：1、已知定义在,1 u(1,)上的奇函数满足： f 1;对任意的x 2,均有f(x) 0;对任意的 x, y r ,均有 f(x 1) f(y 1) f (xy 1)；(1)试求f(2)的值；(2)求证：f (x)在(1,)上是单调递增； (3)已知对任意的(0,)，不等式f ( x) f ( y) + 1f ( y) f ( x)f (cos2

5、a sin ) 3恒成立，求a的取值范围，2、已知函数f (x)的定义域为x| x wktt, k z,且对于定义域内的任何 x、y,有f (x y)成立，且f (a) = 1 (a为正常数)，当0 x 0 . (i)判断f (x)奇偶性；(ii )证明f (x)为周期函数；(iii )求 (*)在2 2, 3a上的最小值和最大值.3、已知f(x)是定义在-1,1上的奇函数，且 f(1) 1,若任意的a、b 1,1,总有(a b)(f (a) f (b) 0 .(1)判断函数f (x)在-1,1上的单调性，并证明你的结论；(2)解不等式：f(x 1) f (1 2x);(3)若f (x) m2