高三数学 黄金考点汇编10 导数的应用（单调性、最值、极值） 理（含解析）

1、考点10 导数的应用（单调性、最值、极值）【考点分类】热点1 利用导数研究函数的单调性1.【2014全国1高考理第11题】已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）a b c d 2. 【2014高考安徽卷第18题】设函数,其中.（1） 讨论在其定义域上的单调性；（2） 当时，求取得最大值和最小值时的的值.【解析】考点：1.含参函数的单调性；2.含参函数的最值求解.3. 【2014高考北京理第18题】已知函数.（1）求证：；（2）若对恒成立，求的最大值与的最小值. 、在区间上的情况如下表： 4. 【2014高考辽宁理第21题】已知函数，.证明：（）存在唯一，使；()存在唯一，使，且对

2、（1）中的. ，所以，即命题得证. 5. 【2014高考全国1第21题】设函数，曲线在点处的切线方程为（i）求（ii）证明：【答案】（i）；（ii）详见解析.【解析】试题分析：（i）由切点在切线上，代入得由导数的几何意义得，联立求；（ii）证明成立，可转化为求函数的最小值，只要最小值大于1即可该题不易求函数的最小值，故可考虑将不等式结构变形为，分别求函数和的最值，发现在的最小值为，在的最大值为且不同时取最值，故成立，即注意该种方法有局限性只是不等式的充分不必要条件，意即当成立，最值之间不一定有上述关系 6. 【2014高考全国2第21题】已知函数=.（）讨论的单调性；（）设，当时，,求的最大值

3、；（）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）【答案】（）函数在r上是增函数；（）2；（）【解析】试题分析：本题第（）问，判断函数的单调，关键是判断导数的正数；对第（）问，可构造函数，对（）问，可根据的取值讨论.试题解析：（）因为，当且仅当时等号成立，所以函数在r上是增函数；【方法规律】求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域(2)求f(x)，令f(x)0，求出它们在定义域内的一切实数根(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间(4)确定f(x)在各个开区

4、间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性【解题技巧】讨论函数的单调区间的关键是讨论导数大于0或小于0的不等式的解集，一般就是归结为一个一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解得到导数等于0的根的情况下，根的大小是分类的标准【易错点睛】（1）注意函数定义域的确定（2）解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点例1：已知ar，函数f(x)(x2ax)ex(xr，e为自然对数的底数)(1)当a2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若函数f(x)在 (1,1)上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)能

5、否为r上的单调函数，若能，求出a的取值范围；若不能，请说明理由 (2)函数f(x)在(1,1)上单调递增，f(x)0对x(1,1)都成立f(x)x2(a2)xaexx2(a2)xaex0对x(1,1)都成立ex0，x2(a2)xa0对x(1,1)都成立，即x2(a2)xa0对x(1,1)恒成立设h(x)x2(a2)xa只须满足，解得a.(3)若函数f(x)在r上单调递减，则f(x)0对xr都成立，即x2(a2)xaex0对xr都成立ex0，x2(a2)xa0对xr都成立(a2)24a0，即a240，这是不可能的故函数f(x)不可能在r上单调递减若函数f(x)在r上单调递增，则f(x)0对xr都

6、成立，即x2(a2)xaex0对xr都成立ex0，x2(a2)xa0对xr都成立而x2(a2)xa0不可能恒成立，故函数f(x)不可能在r上单调递增综上可知函数f(x)不可能是r上的单调函数【易错点】导数与0的等号是否能选取选取例2：(2009辽宁)已知函数f(x)x2ax(a1)ln x，a1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：若a1.热点2 利用导数研究函数的最值极值 1.【2014辽宁高考理第11题】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）a b c d 2. 【2014高考江西理第18题】已知函数.（1）当时，求的极值；（2）若在区间上单调递增，求b的取值范围. 对恒成

7、立，即，即 3. 【2014高考山东卷第20题】设函数（为常数，是自然对数的底数）.（）当时，求函数的单调区间；（）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.（ii）分，时，讨论导函数值的正负，根据函数的单调性，明确极值点的有无、多少.试题解析：（i）函数的定义域为，由可得，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.当且仅当，解得，综上所述，函数在内存在两个极值点时，k的取值范围为.考点：应用导数研究函数的单调性、极值，分类讨论思想，不等式组的解法.4. 【2014高考四川第21题】已知函数，其中，为自然对数的底数.（）设是函数的导函数，求函数在区间上的最

8、小值；（）若，函数在区间内有零点，求的取值范围 5.【2014高考重庆理科第20题】已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.（）确定的值； （）若，判断的单调性；（）若有极值，求的取值范围. 当时，令，注意到方程有两根，即有两个根或.当时，；又当时，从而在处取得极小值.综上，若有极值，则的取值范围为.考点：1、导数的几何意义及导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.【方法规律】1.求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格(4)由f(x)0的根左右的符号以及f

9、(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.2.函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展从函数图象上可以直观地看出：如果在闭区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数yf(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较，就可以求出函数的最大(小)值.【解题技巧】1.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较2.对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件3.可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x

10、0一定满足f(x0)0，但当f(x1)0时，x1不一定是极值点如f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点(2)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同4函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值5求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 【易错点睛

11、】(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念(2)f(x0)0是yf(x)在xx0取极值的既不充分也不必要条件如y|x|在x0处取得极小值，但在x0处不可导；f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点(3)若yf(x)可导，则f(x0)0是f(x)在xx0处取极值的必要条件例1：若函数f(x)ax3bx4，当x2时，函数f(x)有极值.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x)k有三个零点，求实数k的取值范围【解析】本题研究函数的极值问题利用待定系数法，由极值点的导数值为

12、0，以及极大值、极小值，建立方程组求解解(1)由题意可知f(x)3ax2b.于是，解得故所求的函数解析式为f(x)x34x4.(2)由(1)可知f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0得x2或x2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增因此，当x2时，f(x)有极大值，当x2时，f(x)有极小值，所以函数的大致图象如图，故实数k的取值范围为(，)【易错点】判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极

13、小值例2：(2010安徽)设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xr.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.【解析】(1)解由f(x)ex2x2a，xr，知f(x)ex2，xr.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)极小值故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xr.于是g(x)ex

14、2x2a，xr.由(1)知当aln 21时，g(x)最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xr，都有g(x)0，所以g(x)在r内单调递增，于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0，即exx22ax10，故exx22ax1.【易错点】盲目用变量分离法进行解答热点3 利用导数研究综合问题 1. 【2014全国2高考理第12题】设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ） a. b. c. d. 2. 【2014高考大纲理第22题】函数.（i）讨论的单调性；（ii）设，证明：. 3. 【2014高考福建理第

15、20题】已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.（i）求的值及函数的极值；（ii）证明：当时，；（iii）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有. .即存在,当时，恒有.综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.考点：1.函数的极值.2.构建新函数证明不等式.3.开放性题.4.导数的综合应用.5.运算能力.6.分类讨论的数学思想.有不同的方式，只要正确，均相应给分.注:对c的分类不同4. 【2014高考广东理第21题】设函数，其中.（1）求函数的定义域（用区间表示）；（2）讨论函数在上的单调性；（3）若，求上满足条件的的集合（用区间表示）. （2），由得，即，

16、或，结合定义域知或，所以函数的单调递增区间为，同理递减区间为，； 5. 【2014高考湖北理第22题】为圆周率，为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间；（2）求，这6个数中的最大数与最小数；（3）将，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）最大数为，最小数为；（3），.【解析】试题分析：（1）先求函数的定义域，用导数法求函数的单调区间；（2）利用（1）的结论结合函（3）由（2）知，又由（2）知，故只需比较与和与的大小，由（1）知，当时，即，在上式中，令，又，则，即得由得，即，亦即，所以，又由得，即，所以，综上所述，即6个数从小到大的顺序为

17、，.考点：导数法求函数的单调性、单调区间，对数函数的性质，比较大小.6. 【2014高考湖南理第22题】已知常数,函数.(1)讨论在区间上的单调性;(2)若存在两个极值点,且,求的取值范围. 【考点定位】导数 含参二次不等式 对数 单调性7. 【2014高考江苏第23题】已知函数，设为的导数，（1）求的值；（2）证明：对任意，等式都成立. （1）时命题已经成立，（2）假设时，命题成立，即，对此式两边求导可得，即，因此时命题也成立.综合（1）（2）等式对一切都成立.令，得，所以.【考点】复合函数的导数，数学归纳法.8. 【2014高考陕西第21题】设函数，其中是的导函数.（1） ，求的表达式；（

18、2） 若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，比较与的大小，并加以证明. 9. 【2014高考天津第20题】已知函数，已知函数有两个零点，且（）求的取值范围；（）证明随着的减小而增大；（）证明随着的减小而增大试题解析：（）由，可得下面分两种情况讨论：（1）时，在上恒成立，可得在上单调递增，不合题意（2）时，由，得当变化时，的变化情况如下表：0 随着的增大而增大，而由（），随着的减小而增大，随着的减小而增大考点：1函数的零点；2导数的运算；3.利用导数研究函数的性质10.【2014高考浙江理第22题】已知函数（1） 若在上的最大值和最小值分别记为，求；（2） 设若对恒成立，求的取值范围.试题解析：

19、（i）因为，所以，由于，（i）当时，有，故，此时在上是增函数，因此，（ii）当时，若，在上是增函数，若，在上是减函数，所以，由于，因此，当时，当时， （iii）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，解得，（iv）当时，在上的最大值是，最小值是，所以，解得，综上的取值范围.试题点评：本题主要考查函数最大（最小）值的概念，利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证，分类讨论，分析问题和解决问题的综合解题能力【方法规律】利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题比如要证明对任意xa，b都有f(x)g(x)，可设h(x)f(x)g(x)只要利用导数说明

20、h(x)在a，b上的最小值为0即可解题技巧总结如下：（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.【

21、解题技巧】1利用导数解决含有参数的单调性问题是将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用2在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较【易错点睛】1函数f(x)在某个区间内单调递增，则f(x)0而不是f(x)0 (f(x)0在有限个点处取到)2利用导数解决实际生活中的优化问题，要注意问题的实际意义.例1：(2010湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用c(单位：万元)

22、与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：c(x) (0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为c(x)，(2分)再由c(0)8，得k40，因此c(x)，(4分)而建造费用为c1(x)6x.(5分)最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20c(x)c1(x)206x6x (0x10)(6分)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)(8分)当0x5时，f

23、(x)0，当5x0，(10分)故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元(12分)【易错点】容易忽略实际条件而讨论x的情况。【考点剖析】1.最新考试说明：1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)4.会利用导数解决某些实际问题.2.命题方向预测：1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点2.

24、选择题、填空题侧重于利1用导数确定函数的单调性和极值解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题.3.利用导数研究函数的最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的考点且每年必考！4.选择题、填空题主要考查函数的最值，而解答题则考查函数综合问题，一般难度较大.1. 课本结论总结：1函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；检查f(x)在

25、方程f(x)0的根的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的

26、一个是最小值4利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答5不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题4.名师二级结论：1.f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件2.函数在某区间上或定义域内极大值不是唯一的3.函数的

27、极大值不一定比极小值大4.对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的既不充分也不必要条件5.函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值6.可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x0一定满足f(x0)0，但当f(x1)0时，x1不一定是极值点如f(x)x3，f(0)0，但x0不是极值点(2)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同7函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得

28、，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值8求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 5.课本经典习题：（1）选修21第77页抛物线上到直线的距离最小点的坐标是（ ）a b c d解 设则 设距离最小点的坐标为，所以。得到，选b【经典理由】在解析几何中，一些最值问题（如弦长、面积、距离等）常可用导数工具轻松的解决。（2） 必修4第114页例7证明：证明 设则所以（c为常数） 因为，所以。故上式成立【经典理由】证明三角恒等问题，即证明对任意x等式恒成立，可将等式中各项全移到一边，只要证

29、明这一边的导数为零即可。（3） 选修2-2第12页第6题证明：当时，证明令，则因为所以得到即，故上式成立【经典理由】在证明不等式时，可根据不等式特点构造函数，用导数判断单调性，利用函数单调性证明不等式，求出函数的最值，由该函数在取得最值时该不等式成立，可得该不等式成立。（4）必修5第39页求和：解：设由等比数列前n项和公式得因为所以而所以【经典理由】要借助导数解决数列问题，关键是构建合理的函数，借助函数的性质考查数列的性质，数列是特殊的函数。故对数列中如求数列的最值项，前n项和的最值，恒成立问题，若用函数思想来解决，往往会收到意想不到的效果。6.考点交汇展示：(1)导数与三角函数交汇例1.【2

30、014年浙江省嘉兴市2014届高三3月教学测试（一）】已知函数的导函数如图所示,若为锐角三角形,则下列不等式一定成立的是( )a. b. c. d. 例2.【湖北省黄冈市重点中学2014学年第二学期高三三月月考】已知函数则的值为 .例3.【浙江省“六市六校”联盟2014届高考模拟考试】若对任意的都成立，则的最小值为 【答案】【解析】 (2)导数与数列交汇例1【湖南省永州市2013届高三第一次模拟考试】 已知函数 (1) 若函数在定义域内为减函数，求实数的取值范围；(2) 如果数列满足，试证明：当时，(本题满分13分)解：(1) 函数的定义域为.，.，将这n2个式子相加得 ，将代入得故当时， 例

31、2【湖北省八校2013届高三第二次联考】已知函数，且在处的切线方程为（1）求的解析式； （2）证明：当时，恒有（3）证明：若且则时，;时，. . (3)导数与圆锥曲线交汇例1.已知抛物线y=x2+2，过其上一点p引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求l的方程解：设切点p（x0，x02+2）（x00），由y=x2+2得y=2x，k1=2x0l的方程为y（x02+2）=2x0（xx0），令y=0，得x=令x=0，得y=x02+2，三角形的面积为s=（x02+2）=s=令s=0，得x0= （x00）当0x0时，s0;当x0时，s0x0=时，s取极小值只有一个极值，x=时s最小，此时k1=，切点为（，）l的方程为y= （x），即2x+3y8=0.【考点特训】1.【2014届高三原创预测卷理科数学试卷（安徽版）】定义在上的函数是它的导数，且恒有成立，则（ ）a b c d2.【2014届山东高三数学预测卷（理科）】函数为自然对数的底数）的值域是实数集r，则实数的取值范围是（ )a b c d0，1 3. 【2014年高考原创预测卷（新课标）理】已知函数 ，如果当时，不等式恒成立，则实数的取值范围( )a b c