统计学--第五章参数估计与假设检验

1、第五章第五章 参数估计与假设检验参数估计与假设检验 抽样分布抽样分布 1 参数估计参数估计 2 假设检验的基本原理假设检验的基本原理 3 几种常见的假设检验几种常见的假设检验 4 利用样本统计量对总体某些性质或数量利用样本统计量对总体某些性质或数量 特征进行推断。特征进行推断。 随机原则随机原则 总体参数总体参数 统计量统计量 推断估计推断估计 参数估计参数估计 检验检验 假设检验假设检验 抽样分布抽样分布 抽样分布抽样分布 简单随机抽样和简单随机样本的性质简单随机抽样和简单随机样本的性质 不放回不放回 放放 回回 放回放回 不放不放 回回 独立性和同一性独立性和同一性 同一性同一性 当当n/

2、N5% 时，有限总时，有限总 体不放回抽体不放回抽 样等同于放样等同于放 回抽样回抽样 统计量与抽样分布统计量与抽样分布 统计量：即样本指标。统计量：即样本指标。 样本均值样本均值 样本成数样本成数 样本方差样本方差 如：如： n X X i n n P i 22 )( 1 1 XX n S i 抽样分布：抽样分布： 某一统计量所有可能的样本的取值形成某一统计量所有可能的样本的取值形成 的分布。的分布。 性性 质质 数字特征数字特征 0P（Xi） 1 P（Xi）=1 均值均值E（X） 方差方差Ex-E(x)2 样本均值的抽样分布（简称均值的分布）样本均值的抽样分布（简称均值的分布） 抽样抽样

3、均值均值 均值均值=Xi/N n x X i 样本均值是样本的函数，样本均值是样本的函数，故样本均值是一个统计量，故样本均值是一个统计量， 统计量是一个随机变量，它的概率分布称为样本均值统计量是一个随机变量，它的概率分布称为样本均值 的抽样分布。的抽样分布。 无限总体无限总体 xxE )( n x 2 2 均值：均值： 方差：方差： 有限总体放回抽样？有限总体放回抽样？ 有限总体不放回抽样有限总体不放回抽样 xxE )( 均值：均值： 方差：方差： ) 1 ( 2 2 N nN n x 1 N nN 校正系数校正系数 从正态总体中抽样得到的均值的分布也服从从正态总体中抽样得到的均值的分布也服从

4、正态分布正态分布。 从非正态总体中抽样得到的均值的分布呢？从非正态总体中抽样得到的均值的分布呢？ ) 1 (,)/,(),1 , 0 ( / 2 2 N nN n NXnNXN n X 或 中心极限定理：中心极限定理：无论总体为何种分布，只要样本无论总体为何种分布，只要样本n足够大足够大 （n30），均值标准化为（），均值标准化为（z）变量，必定服从标准正态分变量，必定服从标准正态分 布，均值则服从正态分布，即：布，均值则服从正态分布，即： 结论：结论： 1、无论是放回或不放回抽样，样本均值的数学、无论是放回或不放回抽样，样本均值的数学 期望总是等于总体的均值；期望总是等于总体的均值； 3、扩

5、大样本容量，样本均值的标准差减小；、扩大样本容量，样本均值的标准差减小； 2、样本均值的标准差即抽样误差，总是按一定、样本均值的标准差即抽样误差，总是按一定 比例小于总体标准差，而且不放回抽样的抽样误比例小于总体标准差，而且不放回抽样的抽样误 差比放回抽样误差小；差比放回抽样误差小； 4、当总体为非正态分布时，样本均值的抽样分、当总体为非正态分布时，样本均值的抽样分 布随着样本容量的扩大而趋近于正态分布。布随着样本容量的扩大而趋近于正态分布。 例：某类产品的抗拉强度服从正态分布，平均值为例：某类产品的抗拉强度服从正态分布，平均值为 99.8公斤公斤/平方厘米，标准差为平方厘米，标准差为5.48

6、公斤公斤/平方厘米，平方厘米， 从这个总体中抽出一个容量为从这个总体中抽出一个容量为12的样本，问这一样的样本，问这一样 本的平均值介于本的平均值介于98.8公斤公斤/平方厘米和平方厘米和100.9公斤公斤/平方平方 厘米之间的概率？厘米之间的概率？ ),48. 5 , 8 .99( 2 NX 解：解： )12/48. 5 , 8 .99( 2 NX 将将X变换为变换为Z变量，即标准化变量，即标准化 4937. 017357. 0758. 0 )63. 0()7 . 0( )( )9 .1008 .98( 12/48. 5 8 .999 .100 12/48. 5 8 .99 12/48. 5

7、 8 .998 .98 x P XP 于是乎于是乎 样本成数（即比例）的抽样分布（简称成数的分布）样本成数（即比例）的抽样分布（简称成数的分布） 抽样抽样 成数成数 成数成数P=Ni/N 所有可能的样本的成数（所有可能的样本的成数（ ）所形成的分）所形成的分 布，称为样本成数的抽样分布。布，称为样本成数的抽样分布。 nnP i / n PPP , , 21 无限总体无限总体 PnnEPE i )/() ( nPq P / 2 均值：均值： 方差：方差： 有限总体放回抽样？有限总体放回抽样？ 有限总体不放回抽样有限总体不放回抽样 PnnEPE i )/() ( 均值：均值： 方差：方差：) 1

8、( 2 N nN n Pq P 例：已知办公室人员所填写的表格中例：已知办公室人员所填写的表格中5%有笔误，检有笔误，检 查一个由查一个由475份表格组成的简单随机样本，问有笔误份表格组成的简单随机样本，问有笔误 的表格的成数在的表格的成数在0.03和和0.075之间的概率？之间的概率？ 解：解：近似认为近似认为 服从正态分布，均值服从正态分布，均值=0.05， 方差方差=0.0001。 p 于是乎：于是乎： 971. 019772. 09938. 0 )2()5 . 2( )( )075. 003. 0( 01. 0 05. 0075. 0 01. 0 05. 0 01. 0 05. 003

9、. 0 p P pP 一个样本方差的抽样分布一个样本方差的抽样分布 抽样抽样 从一个从一个正态总体正态总体中抽样所得到的样本方差的分布中抽样所得到的样本方差的分布 n,S2 则则 ) 1(/) 1( 222 nSn 当当 分布趋近于正态分布 2 ,30n ) 1( 2 nX若?) 1(22 2 nZ 则则 ),( 2 NX 点估计点估计 以样本指标直接估计总体参数。以样本指标直接估计总体参数。 评价准则：评价准则： 无偏性无偏性 估计量估计量 的数学期望等于总体参数，即的数学期望等于总体参数，即 该估计量称为无偏估计。该估计量称为无偏估计。 E 有效性有效性 当当 为为 的无偏估计时，的无偏估

10、计时， 方差方差 越小，越小， 无偏估计越有效。无偏估计越有效。 2 ) (E 一致性一致性 对于无限总体，如果对任意对于无限总体，如果对任意 ， 则称则称 是是 的一致估计。的一致估计。 00)| (| n n PLim 充分性充分性 一个统计量如能完全地包含未知参数信息一个统计量如能完全地包含未知参数信息 ，即为充分统计量，用该统计量估计时，称为，即为充分统计量，用该统计量估计时，称为 充分估计量。充分估计量。 定义定义 区间估计区间估计 设设是总体的未知参数，是总体的未知参数， 是两个统计量，对于给定的是两个统计量，对于给定的 （0 0 10 0 / 0 HzZ n X 时，拒绝 0 /

11、 0 HzZ n X 时，接受 （3） H0：=0 H1：0 0)1( Htt n 时，拒绝 0)1( Htt n 时，接受 （3） H0：=0 H1：0 0)1( Htt n 时，拒绝 0)1( Htt n 时，接受 非正态总体非正态总体 n X Z / 0 若方差已知若方差已知 nS X Z / 0 若方差未知若方差未知 检验方法同正态总体。检验方法同正态总体。 总体成数的检验总体成数的检验 构造统计量构造统计量)1 ,0( 00 0 NZ n qp pp (1) H0：P=P0 H1：PP0 (2) H0：P=P0 H1：PP0 (3) H0：P=P0 H1：PP0 一个正态总体方差的检

12、验一个正态总体方差的检验 构造统计量构造统计量)1( 2)1(2 2 2 n Sn （1） H0：2 2= 0 H1： ： 2 0 0 )1(1 22 )1( 22 22 Hnn时，拒绝或 0 )1( 22 )1(1 2 22 Hnn时，接受 （2） H0： 2= 0 H1： 2 0 0 )1( 22 Hn时，拒绝 0 )1( 22 Hn时，接受 （） H0： 2= 0 H1： 2 0 0 )1(1 22 Hn时，拒绝 0 )1(1 22 Hn时，接受 练习：练习： 1、用某仪器间接测量温度，重复五次，所得数据为、用某仪器间接测量温度，重复五次，所得数据为 1250、1265、1245、1260、1275，而用别的精确方法，而用别的精确方法 测的温度为测的温度为1277，假定间接测量的温度服从正态分布，假定间接测量的温度服从正态分布， 试问此仪器间接测量温度有无系统偏差？（试问此仪器间接测量温度有无系统偏差？（=0.05） 2、已知钢筋强度服从正态分布，且、已知钢筋强度服从正态分布，且EX=5