函数不等式解法2难题汇编.

1、不等式解法2难题汇编一选择题（共5小题）1设函数f（x）的定义域是4，4，其图象如图，那么不等式的解集为（）A2，1B4，21，4C4，）2，0）1，）D4，）（1，）2已知函数，则不等式f（1x2）f（2x）的解集是（）ABCD3已知f（x）的定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）cosx0的解集是（）A（0，1）（2，3）BCD（0，1）（1，3）4已知e是自然对数的底数，函数f（x）的定义域为R，2f（x）2f（x）2，f（0）=8，则不等式1的解集为（）A（，0）B（0，+）C（1，+）D（，1）5设函数f（x）=x33x2+（8a）x5a，若存在唯一的正

2、整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是（）ABCD二填空题（共15小题）6定义：关于x的两个不等式f（x）0和g（x）0的解集分别为（a，b）和，则称这两个不等式为对偶不等式如果不等式与不等式2x2+4xsin2+10为对偶不等式，且，则=7设函数，则实数a的取值范围是8若函数的定义域用D表示，则使f（x）0对xD均成立的实数k的范围是9定义区间（c，d，c，d），（c，d），c，d的长度均为dc，其中dc则满足不等式的x构成的区间长度之和为10若函数则不等式的解集为11若对一切x0恒成立，则a的取值范围是12已知函数f（x）=ax2+xb（a，b均为正数），不等式f（x）0的解集记为P

3、，集合Q=x|2tx2+t，若对于任意正数t，PQ，则的最大值是13f（x）=x（xx），x为x的整数部分，g（x）=x1，当0x2012时，f（x）g（x）的解集为14xR，且x0不等式恒成立，则实数a的取值范围是 15已知数列an中a1=1，a2=2，当整数n1时，Sn+1+Sn1=2（Sn+S1）都成立，则S15=16已知函数，若，则实数a的取值范围是17设f（x）=x4tanx+2，x1，1，则关于a的不等式f（a21）+f（1a）4的解集为18已知则f（f（x）1的解集是19使得：Cn1+2Cn2+3Cn3+nCnn2006成立的最大正整数n的值为20已知常数a，bR，且不等式xal

4、nx+ab0解集为空集，则ab的最大值为三解答题（共6小题）21已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x2|m）（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）2的解集是R，求m的取值范围22若不等式5x7|x+1|与不等式ax2+bx20同解，而|xa|+|xb|k的解集为空集，求实数k的取值范围23已知不等式2|x3|+|x4|2a（）若a=1，求不等式的解集；（）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围24设函数f（x）=|xa|ax，其中a为大于零的常数（1）解不等式：f（x）0；（2）若0x2时，不等式f（x）2恒成立，求实数a的取值范围25（1）解不等

5、式：+2x5（2）解关于x的不等式：（aR）26设函数f（x）=e1x+lnxx2（I）若f（x）的定义域为（，+），解不等式f（x）0；（）证明：f（x）在区间（0，）上有唯一极值点不等式解法2难题汇编参考答案与试题解析一选择题（共5小题）1（2013山东模拟）设函数f（x）的定义域是4，4，其图象如图，那么不等式的解集为（）A2，1B4，21，4C4，）2，0）1，）D4，）（1，）【分析】根据函数的图象可得，f（x）小于0时，x的范围；f（x）大于0时，x的范围，；且根据正弦函数图象可知，sinx大于0时，x（4，）（0，）；当sinx小于0时，x（，0），则把所求的式子化为f（x）与s

6、inx异号，即可求出不等式的解集【解答】解：由函数图象可知：当f（x）0时，4x2，1x4，或当f（x）0时，2x1；而sinx中的x4，4，当sinx0时，x（4，）（0，）；当sinx0时，x（，0），0，转化化为：，或 ，结合图象得到x（4，）2，0）1，），所以所求不等式的解集为（4，）2，0）1，）故选C2（2011天津校级模拟）已知函数，则不等式f（1x2）f（2x）的解集是（）ABCD【分析】把原不等式化为，或，分别求出的解集和的解集，再取并集即得所求【解答】解：函数，则由不等式 f（1x2）f（2x）可得，或解得 x，解得 x1+ 或x1故原不等式的解集为，故选D3（2002北

7、京）已知f（x）的定义在（0，3）上的函数，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）cosx0的解集是（）A（0，1）（2，3）BCD（0，1）（1，3）【分析】根据函数的图象可得，f（x）小于0时，x大于0小于1；f（x）大于0时，x大于1小于3，；且根据余弦函数图象可知，cosx大于0时，x大于0小于；当cosx小于0时，x大于小于3，则把所求的式子化为f（x）与cosx异号，即可求出不等式的解集【解答】解：由函数图象可知：当f（x）0时，0x1；当f（x）0时，1x3；而cosx中的x（0，3），当cosx0时，x（0，）；当cosx0时，x（，3），则f（x）cosx0，可化为：或即

8、或，解得：x3或0x1，所以所求不等式的解集为：（0，1）（，3），故选C4已知e是自然对数的底数，函数f（x）的定义域为R，2f（x）2f（x）2，f（0）=8，则不等式1的解集为（）A（，0）B（0，+）C（1，+）D（，1）【分析】由题意可得到f（x）+f（x）1，而令g（x）=exf（x）1，从而可得到g（x）0，这便说明g（x）在R上为增函数，而可求得g（0）=7，从而便可得到g（x）g（0），这样即可得出原不等式的解集【解答】解：2f（x）2f（x）=2f（x）+f（x）2；f（x）+f（x）1；令g（x）=exf（x）1，则g（x）=exf（x）+f（x）10；g（x）在R上为增

9、函数；f（0）=8；g（0）=f（0）1=7；由得，；g（x）g（0）；x0；即原不等式的解集为（0，+）故选：B5（2016秋唐山月考）设函数f（x）=x33x2+（8a）x5a，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）0，则a的取值范围是（）ABCD【分析】设g（x）=x33x2+8x5，h（x）=a（x+1），在同一个坐标系中画出它们的图象，结合图象找出满足条件的不等式组解之即可【解答】解：设g（x）=x33x2+8x5，h（x）=a（x+1），g（x）=x26x+8=（x2）（x4），所以x4或者x2时函数递增，2x4时递减，并且g（1）=，g（2）=，g（3）=1，g（4）=，图象如图

10、，函数h（x）经过（1，0），要使存在唯一的正整数x0，使得f（x0）0，即g（x）h（x）有唯一正整数解，所以只要a0并且即解得；故选：A二填空题（共15小题）6（2014怀化三模）定义：关于x的两个不等式f（x）0和g（x）0的解集分别为（a，b）和，则称这两个不等式为对偶不等式如果不等式与不等式2x2+4xsin2+10为对偶不等式，且，则=【分析】先设出不等式的对应方程两个根为a、b，推出不等式的对应方程两个根为a、b，利用韦达定理，求得关于的三角方程，根据的范围求解即可【解答】解：不等式与不等式2x2+4xsin2+10为对偶不等式，设不等式的对应方程两个根为a、b，则不等式2x2+

11、4xsin2+10对应方程两个根为：所以即：tan2=因为，所以故答案为：7（2015海南模拟）设函数，则实数a的取值范围是3a1【分析】由于函数为分段函数，可分别讨论当a0和a0两种情况，进而求出实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）为分段函数，当a0时，1，得0a1当a0时，1，解得a3，即3a0，故答案为：3a18（2013浙江模拟）若函数的定义域用D表示，则使f（x）0对xD均成立的实数k的范围是k或k或k=1【分析】由f（x）0对xD均成立，分子分母同时大于0或者小于0，分类讨论，可得结论【解答】解：k+1=0时，f（x）=0等价于2x100，x5，不满足题意，舍去；2k1=0时，

12、f（x）=0等价于（3x2+7x14）（3x7）0，解得x（，）（，+），不满足x，舍去；k1且k时，分子分母同号，可得（k+1）（2k1）0且判别式均小于0，可得k或k当系数对应成比例时，k=1时，f（x）=20，满足题意故答案为：k或k或k=19（2013江苏模拟）定义区间（c，d，c，d），（c，d），c，d的长度均为dc，其中dc则满足不等式的x构成的区间长度之和为【分析】将原不等式转化为一端为乘积，另一端为0，利用穿根法，计算即可求得不等式中的x构成的区间长度之和【解答】解：依题意，得0，即00，由a1a2x22（a1+a2）x+3=0，得其两根为：x1，2=（其中=4（a1）2+）

13、，x3，x4=，或；不妨设a1a2，判断一下四个根的大小，得到：，所以解集为：，区间长度=（）+（）=（）+=10（2009北京）若函数则不等式的解集为3，1【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式，再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集【解答】解：由由不等式的解集为x|3x1，故答案为：3，111（2010扬州二模）若对一切x0恒成立，则a的取值范围是（，2【分析】转化为函数y=|xa|与y=，通过函数的图象，即可求出a的取值范围【解答】解：转化为函数y=|xa|与y=，由函数的图象，y=，且x=2时y=0，可知a的取值范围是（，2故答案为：（，212

14、（2016盐城模拟）已知函数f（x）=ax2+xb（a，b均为正数），不等式f（x）0的解集记为P，集合Q=x|2tx2+t，若对于任意正数t，PQ，则的最大值是【分析】根据不等式解集对应的关系，得到2P，然后利用基本不等式进行求解即可【解答】解：不等式f（x）0的解集记为P，集合Q=x|2tx2+t，若对于任意正数t，PQ，2P，即f（2）0，则4a2b0，即12a，又由题意知，的最大值必是正数，则=（）1=（）（2a）2+=2=2=，即的最大值是，故答案为：13（2013颍泉区校级二模）f（x）=x（xx），x为x的整数部分，g（x）=x1，当0x2012时，f（x）g（x）的解集为1，2

15、012【分析】根据0x2012，分两种情况考虑：当0x1时，x=0，可得出x1小于0，进而确定出f（x）=0，g（x）小于0，进而得到此时f（x）大于g（x），不合题意；当1x2012时，假设nxn+1，则x=n，表示出f（x），利用作差法判断出f（x）g（x）的符合为负，可得出不等式f（x）g（x）的解集【解答】解：当0x1时，x=0，x10，f（x）=0，g（x）=x10，即f（x）g（x），不合题意；当1x2012时，假设nxn+1，则x=n，f（x）=n（xn），又g（x）=x1，f（x）g（x）=n（xn）x+1=（n1）xn2+1（n1）（n+1）n2+1=0，不等式f（x）g（x

16、）的解集为1，2012故答案为：1，201214（2012洞口县校级模拟）xR，且x0不等式恒成立，则实数a的取值范围是 4a6【分析】不等式对于一切非零实数x均成立，可以先求出的最小值，然后利用|a5|+1小于这个最小值即可求解a的取值范围【解答】解：当x0时，；当x0时，从而恒成立，所以不等式对于一切非零实数x均成立，可转化为|a5|+12，即|a5|1即1a51所以4a6故答案为：4a615（2012五华区校级模拟）已知数列an中a1=1，a2=2，当整数n1时，Sn+1+Sn1=2（Sn+S1）都成立，则S15=211【分析】将n1时，Sn+1+Sn1=2（Sn+S1）转化为：n1时，

17、an+1an=2，利用等差数列的求和公式即可求得答案【解答】解：数列an中，当整数n1时，Sn+1+Sn1=2（Sn+S1）都成立，Sn+1Sn=SnSn1+2an+1an=2（n1）当n2时，an是以2为首项，2为公差的等差数列S15=14a2+2+a1=142+2+1=211故答案为：21116（2012盱眙县校级模拟）已知函数，若，则实数a的取值范围是【分析】根据分段函数g（x）的解析式作出其图象，如图所示再对x进行分类讨论：当x时，g（x）是增函数，若；当x时，g（x）=，若，得出关于a的不等关系，最后综上所述，即可得出实数a的取值范围【解答】解：根据函数g（x）的解析式作出其图象，如

18、图所示当x时，g（x）是增函数，若，则，解得：1a0或a1；当x时，g（x）=，若，则，解得：a；综上所述，实数a的取值范围是故答案为：17（2012铁东区校级模拟）设f（x）=x4tanx+2，x1，1，则关于a的不等式f（a21）+f（1a）4的解集为a|0a1【分析】令h（x）=x4tanx，x1，1，不等式可化为 h（a21）+h（1a）0再由由h（x）=x4tanx 是奇函数，定义域为1，1，不等式进一步化为 h（a21）h（a1）解不等式组求得a的范围，即为所求【解答】解：令h（x）=x4tanx，x1，1，则 f（x）=h（x）+2，关于a的不等式f（a21）+f（1a）4 即

19、h（a21）+2+h（1a）+24，即 h（a21）+h（1a）0再由h（x）=x4tanx 是奇函数，定义域为1，1，可得不等式即 h（a21）h（1a）=h（a1），即 h（a21）h（a1）解得 0a1，故不等式的解集为 a|0a1，故答案为 a|0a118（2011富阳市校级模拟）已知则f（f（x）1的解集是【分析】分两种情况考虑：当x大于等于0时，根据分段函数解析式可得f（x）=，化简所求不等式的左边，再根据也大于等于0，再根据f（x）=，可把所求不等式化为关于x的一元一次不等式，求出不等式的解集与x大于等于0求出交集，即为原不等式的解集；当x小于0时，根据分段函数解析式得出f（x）

20、=x2，而x2大于0，再根据f（x）=，可把所求不等式化为关于x的一元二次不等式，分解因式后，根据两数相乘积大于0，可得两因式同号，转化为两个不等式组，求出不等式组的解集，与x小于0求出交集，即为原不等式的解集，综上，求出两解集的并集即可得到所求不等式的解集【解答】解：当x0时，f（x）=，0，f（f（x）=f（）=，所求不等式化为1，解得x4，此时原不等式的解集为（4，+）；当x0时，f（x）=x2，x20，f（f（x）=f（x2）=，所求不等式可化为1，即（x+）（x）0，可化为或，解得：x或x，此时原不等式的解集为（，），综上，原不等式的解集为故答案为：19（2006杭州校级模拟）使得：

21、Cn1+2Cn2+3Cn3+nCnn2006成立的最大正整数n的值为8【分析】令不等式左边，即Cn1+2Cn2+3Cn3+nCnn=t，根据Cnm=Cnnm，得到t=Cnn1+2Cnn2+3Cnn3+（n1）Cn1+nCnn，两式相加根据组合数的公式可得2t=n2n+nCnn，进而得到此式子小于2006的2倍，验证即可得到最大正整数n的值【解答】解：由题意令t=Cn1+2Cn2+3Cn3+nCnn，则有t=Cnn1+2Cnn2+3Cnn3+（n1）Cn1+nCnn，则可得2t=n2n+nCnn，故n2n+nCnn4012，验证知，最大的n是8故答案为：820（2016秋沧州月考）已知常数a，b

22、R，且不等式xalnx+ab0解集为空集，则ab的最大值为e3【分析】由题意可得不等式xalnx+ab0解集为空集，即任意正数x，xalnx+ab0恒成立，即x+abalnx恒成立，a0是必然的，设曲线y=alnx的切线l与直线y=x+ab平行，求出切点，以及切线方程，可得x+abx+alnaa，abaa（2lna），构造函数f（x）=x2（2lnx），求出导数和单调区间，可得最大值，即可得到ab最大值【解答】解：不等式xalnx+ab0解集为空集，即任意正数x，xalnx+ab0恒成立，即x+abalnx恒成立，当题目条件成立时，a0是必然的，设曲线y=alnx的切线l与直线y=x+ab平行

23、，由=1，解得x=a，切点为（a，alna），则可以求得直线l方程为y=x+alnaa于是必有x+abx+alnaa，即b2aalna，当ab取得最大值时，必然b0，于是abaa（2lna），构造函数f（x）=x2（2lnx），导数f（x）=3x2xlnx，x0，当xe时，f（x）0，f（x）递减；当0xe时，f（x）0，f（x）递增则x=e时，取得极大值，也为最大值f（e）=e3（2lne）=（2）e=e故答案为：三解答题（共6小题）21（2016荆州模拟）已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x2|m）（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；（2）若关于x的不等式f（x）2的解集是R

24、，求m的取值范围【分析】（1）由题设知：|x+1|+|x2|7，解此绝对值不等式求得函数f（x）的定义域（2）由题意可得，不等式即|x+1|+|x2|m+4，由于xR时，恒有|x+1|+|x2|3，故m+43，由此求得m的取值范围【解答】解：（1）由题设知：|x+1|+|x2|7，不等式的解集是以下不等式组解集的并集：，或，或，解得函数f（x）的定义域为（，3）（4，+）（2）不等式f（x）2即|x+1|+|x2|m+4，xR时，恒有|x+1|+|x2|（x+1）（x2）|=3，不等式|x+1|+|x2|m+4解集是R，m+43，m的取值范围是（，122（2014甘肃二模）若不等式5x7|x+

25、1|与不等式ax2+bx20同解，而|xa|+|xb|k的解集为空集，求实数k的取值范围【分析】先将“不等式5x7|x+1|”转化为和两种情况求解，最后取并集，再由“与不等式ax2+bx20同解”，利用韦达定理求得a，b，最后由“|xa|+|xb|k的解集为空集”求得“|xa|+|xb|”最小值即可【解答】解：得或得2x1 （3分）综上不等式的解集为，又由已知与不等式ax2+bx20同解，所以解得（7分）则|xa|+|xb|xax+b|=|ba|=5，所以当|xa|+|xb|k的解为空集时，k5 （10分）23（2012商丘三模）已知不等式2|x3|+|x4|2a（）若a=1，求不等式的解集；

26、（）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围【分析】（）对于不等式 2|x3|+|x4|2，分x4、3x4、x3三种情况分别求出解集，再取并集，即得所求（）化简f（x）的解析式，求出f（x）的最小值，要使不等式的解集不是空集，2a大于f（x）的最小值，由此求得a的取值范围【解答】解：（）对于不等式 2|x3|+|x4|2，若x4，则3x102，x4，舍去若3x4，则x22，3x4若x3，则103x2，x3综上，不等式的解集为 （5分）（）设f（x）=2|x3|+|x4|，则f（x）=，f（x）1要使不等式的解集不是空集，2a大于f（x）的最小值，故 2a1，即a的取值范围（，+） （10分）

27、24（2010苏州模拟）设函数f（x）=|xa|ax，其中a为大于零的常数（1）解不等式：f（x）0；（2）若0x2时，不等式f（x）2恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）把f（x）的解析式代入到f（x）0得到一个不等式，当x小于等于0时得到不等式不成立；当x大于0时，对不等式的两边分别平方，移项后利用平方差公式分解因式，分a大于1，a等于1，a大于0小于1三种情况分别求出不等式的解集即可；（2）把f（x）的解析式代入到f（x）2得到一个不等式，当a小于1大于01时，由0x2，得到ax2小于等于0，原不等式恒成立；当a大于1时，分两种情况去掉绝对值号，然后把x等于2分别代入到化简的不等式中

28、，得到关于a的两个不等式，分别求出解集与a大于1求出交集即可得到实数a的范围，综上，把两种情况求出的a的范围求出并集即可得到所有满足题意的a的范围【解答】解：（1）不等式即为|xa|ax，若x0，则ax0，故不等式不成立；若x0，不等式化为（xa）2a2x2，即（1+a）xa（1a）xa0，当a1时，x或x（舍）；当a=1时，x；当0a1时，综上可得，当a1时，不等式解集为x|x；当a=1时，不等式的解集为x|x；当0a1时，不等式解集为x|；（2）不等式即为|xa|ax2，若0a1，则当0x2时有ax20，故不等式|xa|ax2恒成立若a1，则xaax2或xa2ax对任意x0，2恒成立，即（1a）x+2a0或（1+a）xa20对任意x0，2恒成立，所以（1a）2+2a0或（1+a）2a20，解得a或a0，1综上，实数a的取值范围为（0，25（2015秋上海校级期中）（1）解不等式：+2x5（2）解关于x的不等式：（aR）【分析】（1）