圆锥曲线的题型归类的总结

1、高考圆锥曲线的常见题型题型一：定义的应用1、圆锥曲线的定义：（1）椭圆（2）椭圆（3）椭圆2、定义的应用（1）寻找符合条件的等量关系（2）等价转换，数形结合3、定义的适用条件：典型例题例1、动圆M与圆C:（x+1） 2例2、k为何值时,方程丄y 1的曲线:9k 5k+y2=36内切,与圆Q:（x-1） 2+y2=4外切,求圆心M的轨迹方程。例2、方程亩：小:表示的曲线是题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：1、椭圆：由丄！，.丿分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。2、双曲线：由,L - J j项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上;3、抛物线：焦点在一次项的坐

2、标轴上，一次项的符号决定开口方向。典型例题2 2例1、已知方程二一+ =1表示焦点在y轴上的椭圆，贝U m的取值范围是m T 2 m是椭圆；是双曲线题型三：圆锥曲线焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题1、 椭圆焦点三角形面积S二b2tan;双曲线焦点三角形面积S二b2cot 2 22、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解3、m，n,m-n,mn,m2 n2四者的关系在圆锥曲线中的应用；典型例题2 2例1、椭圆x2= 1(a b 0)上一点P与两个焦点R, F2的张角/a bFi PF2工二，求证： FiPF的面积为b2 tan。例2、已知双曲线的离心率为 2, Fi、一

3、一， w 一 厂.求该双曲线的标准方程题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法1、a,b,c三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；2、a,b,c三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值 或范围；3、注重数形结合思想不等式解法典型例题2 2例1、已知R、F2是双曲线笃爲=1 ( a 0,b 0 )的两焦点，以线段FF2为 a b边作正三角形MF1F2，若边MFi的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是()A. 4+2码B. 、3-1C.斗1D12例2、双曲线2占=1 (a0,b 0)的两个焦点为F1、一 b为其上一点，且|PFi|=2|PF2|,则双曲线离心率

4、的取值范围为A. (1,3)B. 1,31C.(3,+ ：) D. 3,：2 2例3、椭圆G :笃与二论 b 0)的两焦点为F1(-c,0), F2CO)，椭圆上存在 a b点 M 使 F1M F2M 0.求椭圆离心率e的取值范围;2 2例4、已知双曲线 笃-笃=1(a 0,b 0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直a b线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(A) (1,2(B) (1,2)(C) 2, ：)(D) (2,：)题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断1、点与椭圆的位置关系22点在椭圆内：=XIy2: 1a b22点在椭圆上二冷爲=1 a b2 2点在

5、椭圆外二冷笃1a2b22、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题:.：0：二相交厶=0=相切（需要注意二次项系数为0的情况）匚0=相离3、弦长公式：AB = J + k2 Xr _ x2 = J + k2（ % 一 x2）=+ k2 lalAB1+和1 -小屮+右4、圆锥曲线的中点弦问题:1、伟达定理： 2、点差法:（1）带点进圆锥曲线方程，做差化简（2）得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系典型例题例1、双曲线x2-4y2=4的弦AB被点M（3,-1）平分,求直线AB的方程.例2、已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线 L:x+y=1交于A,B两点,C是AB的中点，若|AB|=2

6、2，O为坐标原点，OC的斜率为 22，求椭圆的 方程。题型六：动点轨迹方程:1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；2、求轨迹方程的常用方法：(1) 直接法：直接利用条件建立之间的关系|f ：-；例1、如已知动点P到定点F(1,0)和直线】一的距离之和等于4,求P的轨迹方 程.(2) 待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程一一先根据条件设出所求 曲线的方程，再由条件确定其待定系数。例2、如线段AB过x轴正半轴上一点M( m 0)(鴉，端点A B到x轴距离 之积为2m,以x轴为对称轴，过 A、O B三点作抛物线，则此抛物线方程 为(3) 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是

7、某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；例3、由动点P向圆I作两条切线PA PB,切点分别为A、B, / APB=60, 则动点P的轨迹方程为例4、点M与点F(4,0)的距离比它到直线：的距离小于1,则点M的轨迹 方程是2 2 2 2例5、一动圆与两圆。M X +y =1和。N:兀+y 一弘+ 12 = 都外切，则动 圆圆心的轨迹为 代入转移法：动点:依赖于另一动点的变化而变化，并且0(亦)又在某已知曲线上，则可先用人y的代数式表示心儿，再将血必代入 已知曲线得要求的轨迹方程：例6如动点P是抛物线- + 1上任一点，定点为，点M分上 所成的比为2，则M的轨迹方程为（5）参数法：当动

8、点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将I；均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普 通方程）。例7、过抛物线”T的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是题型七：（直线与圆锥曲线常规解题方法） 一、设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为 y=kx+b与x=my+n的区别）二、设交点坐标；（提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”）三、联立方程组；四、消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简 单） 五、根据条件重转化；常有以下类型: “以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在）二

9、 OA _ OB = K1 *K2 - -1 二 OA = 0 二 x1x2 y, y2 = 0 “点在圆内、圆上、圆外问题”二“向量的数量积大于、等于、小于 0问=斜率关系（K, K 0或Ki二K2）；二“直角、锐角、钝角问题”题”-x,X2 y,y20； “等角、角平分、角互补问题” “共线问题”（如：AQ屜 =数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；（如：A、0、B三点共线二 直线0A与0B斜率相等）； “点、线对称问题” =坐标与斜率关系； “弦长、面积问题”=转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；六、化简与计算；七、细节问题不忽略；判别式是否已经考虑；抛

10、物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。4、处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系 数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函 数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值 不等式的方法等再解决；

11、6转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来， 即可自然而然产生思路。典型例题：例1、已知点F 0,1 ,直线I : y = -1，P为平面上的动点，过点P作直线I的垂(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 已知圆M过定点D 0,2，圆心M在轨迹C上运动，且圆 M与x轴交于A、B两点，设DA =1,，DBJ，求比的最大值.例2、如图半圆，AB为半圆直径，0为半圆圆心，且ODLAB, Q为线段0D的中点，已知|AB=4，曲线C过Q点，动 点P在曲线C上运动且保持| PA

12、+| PB的值不变(1) 建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C的方程； 过D点的直线I与曲线C相交于不同的两点 M N,且M在D N之间, 设匹=入，求入的取值范围.DN例3、设FiF2分别是椭圆C :x y122 - 1a b(a b 0)的左右焦点(1)设椭圆C上点C.3,)到两点Fi、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和2焦点坐标；(2) 设K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段 KF1的中点B的轨迹方程;(3) 设点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点， 当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为kpM，kPN，试探究kPM -Kpn的 值是否与点P及直线L有关，并证

13、明你的结论。例4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离 的最大值为3，最小值为1 .(I)求椭圆C的标准方程；(U)若直线l : kx m与椭圆C相交于A， B两点(A B不是左右顶点)， 且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线I过定点，并求出该定点的 坐标.离心率例5、已知椭圆两焦点F1、F2在y轴上，短轴长为2、2 ,为弓，P是椭圆在第一象限弧上一点，且PF Pf2=1，过P作关于直线FiP对称的两条直线PA PB分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；典型例题：例1、(1)解设尸0丿)，则0(益-1T QPF*0 ,y

14、+l)q-耐 2)=(工一1口* 厂 2).SP2(j+l) = x2 - 2(y-1)?即 a2 = 4y f所以动点.P的轨迹C的方程/二4丿-解；设圆圆心坐标为则/ = 4占.圆M的半径为|辺| =問+ 0 -窈.圆M的方程为(界十卜疔二护+ 02)1令$ = 0,则(盂/+护二屮+少2几整理得，xa-2+4i-4 = 0.由、解得，x=a_2 .不妨设 A a -2,0 , B a 2,0 , lia-2 2 4，I2a 2 $ 4 .h I2 li2 J 2a2 16I2 liI1I2, a4 64惰+82 一 L 16a2一 a4 64 一 . a4 64，当 a 式0时，由得，

15、S +旦=21+ 16=22 .1( a?詈8当且仅当a二-2 2时，等号成立.当a =0时，由得，山丄=2 .I2 |1故当时，讥的最大值为2、2 .例2、解：(1)以AB 0D所在直线分别为x轴、y轴，0为原点，建立平面直角 坐标系， | PA+I PB|=| QA+I QB=2 (22 +12 =2禹 | AB=4.曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2 5 , a= . 5, c=2, b=1.2曲线C的方程为-+y2=i.5设直线I的方程为y=kx+2,2代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.5 =(20 k)

16、2- 4X 15(1+5k2) 0,得 k2 3.由图可知 DM5丄20kx1 x22由韦达定理得*1 +5k215X1 X221 +5k2将X1=入X2代入得22400k2(1十对X2 =幵(1 +5k2)215X221 5k2X1DN x22 2两式相除得丸 15(5k )3(5+2)k2 315120k ,. 0 ： 2 ：, 5 ： 2:，即4 :5 k23 k2 538013(庐5k163(i)2严DM Q解得1 一：3九 3DN3冒,M在D N中间，：X 1又当k不存在时，显然入喘冷（此时直线1与y轴重合）综合得：1/3 w入v 1.3、解：（1）由于点(3,在椭圆上,(3)22a

17、22) =1 得 2a=4,2 b椭圆C的方程为2x+4,焦点坐标分别为（-1,0）,（1,0）设KFi的中点为B( x,y）则点K(2x 1,2 y)把K的坐标代入椭圆2xy1432 2中得创143线段KF1的中点B的轨迹方程为（x冷）2 =14分（3）过原点的直线L与椭圆相交的两点设 M（x,y） N（-Xo,-y。）, p（x, y）,N关于坐标原点对称M, N,P在椭圆上,应满足椭圆方程,2Xo2a2 yo b2=12 x2 a10分kpM Kpn =x_x。. 22yy。_ y 一 y。丄22xxoX_ X。a213分故: kPM Kpn的值与点P的位置无关,同时与直线L无关,14分

18、2 2例4、解：（I）椭圆的标准方程为 x 1 .43(5 分)(U)设 A(x1, yj , B(x2, y2),y 二 kx m,联立 x2 y2得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2 一3) = 0,+ =143-.: = 64m k 16(3 4k )(m -3)0,即 3 4k - m8mk2，3 4k23 4kx-ix2 =、/ 2 2又 y2 二(kx1 m)(kx2 m) = k x1x2 mk(x.| x2) m因为以AB为直径的圆过椭圆的右焦点D(2,0),kADkBD = -1，即yiXi _ 2 x? - 2-1, 0,则2 23(m -4k ),3 4k2.y2 n

19、* x2)+0,込炉.十上.4 = 0,3 4k23 4k23 4k2.9m2 16mk 4k2 = 0 .解得：m - -2k , m2 -，且均满足 3 - 4k2 -m2 0 ,1、当m1 = -2k时，丨的方程为y =k(x-2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾;2、当2km2 = -石时，I的方程为yI 2 ； = kX-7，直线过定点1,0.所以,直线I过定点，定点坐标为(14 分)例5、2 2解(1) -142。F1(02),F2(0 .2)，设 P(Xo,yo)(Xo O,yo 0)PF1 PF? = x2 - (2 - y：) = 1则 PF1 =(-x, .2-y0),PF2 =(-X0，i、2-y。),2 2 丁点P(x0,y)在曲线上，则x _y =1.2 4 一 2从而宁-(2氓円，得 y0“2，则点P的坐标为(1“)(2)由(1)知PFi / x轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为k(k . 0),工y _=k(x_1)则PB的直线方程为：y-、2二k(x1)由x2y21.24(2 k2)x2 2k(2 k)x (、迈 k)2设 B(