刚体转动程守洙第五版

1、刚体转动程守洙第五版1 第四章第四章 刚体转动刚体转动 本章将介绍一种特殊的本章将介绍一种特殊的 质点系质点系刚体刚体所遵从的力所遵从的力 学规律。它实际上就是质点学规律。它实际上就是质点 系的基本原理在刚体上的应系的基本原理在刚体上的应 用。用。 重点是定轴转动，重要的重点是定轴转动，重要的 概念是转动惯量。概念是转动惯量。 4-1 4-1 刚体的平动、转刚体的平动、转 动和定轴转动动和定轴转动 1. 1. 刚体刚体特殊的质点系，特殊的质点系， 理想化模型理想化模型 形状和体积不变化形状和体积不变化 在力作用下，组成物体的所有质在力作用下，组成物体的所有质 点间的距离始终保持不变点间的距离始

2、终保持不变 质点系 质点 刚 体 刚体转动程守洙第五版2 1 1 刚体的平动、转动刚体的平动、转动 和定轴转动和定轴转动 1. 1. 刚体刚体特殊的质点系，特殊的质点系， 理想化模型理想化模型 形状和体积不变化形状和体积不变化 在力作用下，组成物体的所有质在力作用下，组成物体的所有质 点间的距离始终保持不变点间的距离始终保持不变 质点系 质点 刚 体 * * 自由度自由度 确定物体的位置所需要的独立确定物体的位置所需要的独立 坐标数坐标数 物体的自由度数物体的自由度数 s O i = 1 x y z O ( x , y , z ) i = 3 i = 2 x y z O i = 3+2+1=

3、6 当刚体受到某些限制当刚体受到某些限制 自自 由度减少由度减少 刚体转动程守洙第五版3 * * 自由度自由度 确定物体的位置所需要的独立确定物体的位置所需要的独立 坐标数坐标数 物体的自由度数物体的自由度数 s O i = 1 x y z O ( x , y , z ) i = 3 i = 2 x y z O i = 3+2+1= 6 当刚体受到某些限制当刚体受到某些限制 自自 由度减少由度减少 2.2.运动形式运动形式: :二种二种 (1) (1) 平动平动 刚体运动时，若在刚体内所刚体运动时，若在刚体内所 作的任一条直线都始终保持和自作的任一条直线都始终保持和自 身平行身平行 刚体平动刚

4、体平动 A B A B A B 刚体转动程守洙第五版4 2.2.运动形式运动形式: :二种二种 (1) (1) 平动平动 刚体运动时，若在刚体内所刚体运动时，若在刚体内所 作的任一条直线都始终保持和自作的任一条直线都始终保持和自 身平行身平行 刚体平动刚体平动 A B A B A B 平动的特点平动的特点 1) 1) 刚体中各质点的刚体中各质点的 运动情况相同运动情况相同 AB vv AB aa 2) 2) 刚体的平动可归结为刚体的平动可归结为 质点运动质点运动 刚体转动程守洙第五版5 (2) 转动转动 刚体上的各点都绕同一直线做圆刚体上的各点都绕同一直线做圆 周运动周运动 称作转动。称作转动

5、。 这一直线称为转轴。这一直线称为转轴。 转轴的位置不变，称作定轴转动转轴的位置不变，称作定轴转动 平动平动 + 转动转动 例如：车轮的滚动例如：车轮的滚动 (3) 一般的刚体运动一般的刚体运动 刚体的平面运动刚体的平面运动 . 平动的特点平动的特点 1) 1) 刚体中各质点的刚体中各质点的 运动情况相同运动情况相同 AB vv AB aa 2) 2) 刚体的平动可归结为刚体的平动可归结为 质点运动质点运动 刚体转动程守洙第五版6 3.3.定轴转动的描述定轴转动的描述 z P 过过P P点点 垂直于轴垂直于轴 取一平面取一平面N N 称为称为P P点的转动平面点的转动平面 N O P x (1

6、) (1) 在过在过P P点的转动平面内点的转动平面内 O O点：转轴与转动面的交点点：转轴与转动面的交点 过过O O点点 引入一坐标轴引入一坐标轴o ox (2) (2) 刚体转动刚体转动 P P点随点随 之转动之转动 从从O O点引向点引向P P点矢径点矢径r r 与与o ox轴的夹角为轴的夹角为 称为角坐标称为角坐标 (2) 转动转动 刚体上的各点都绕同一直线做圆刚体上的各点都绕同一直线做圆 周运动周运动 称作转动。称作转动。 这一直线称为转轴。这一直线称为转轴。 转轴的位置不变，称作定轴转动转轴的位置不变，称作定轴转动 平动平动 + 转动转动 例如：车轮的滚动例如：车轮的滚动 (3)

7、一般的刚体运动一般的刚体运动 刚体的平面运动刚体的平面运动 . 刚体转动程守洙第五版7 (3) t(3) t时刻时刻 刚体上刚体上P P点角坐标点角坐标 1= t+t+ t t时刻角坐标时刻角坐标 2= + t时间内时间内 转过的角度转过的角度 称为角位移称为角位移 规定：选一转轴的正方向，规定：选一转轴的正方向， 右手定则：拇指指向转轴方向右手定则：拇指指向转轴方向 为正为正 (4) (4) 刚体角速度刚体角速度 d dt 有正负，有正负， 右手定则右手定则: :所定方向与转轴正向所定方向与转轴正向 一致为正，反之为负一致为正，反之为负 (5) (5) 刚体加角速度刚体加角速度 d dt 同

8、向时，加速转动同向时，加速转动 反向时，减速转动反向时，减速转动 3.3.定轴转动的描述定轴转动的描述 z P 过过P P点点 垂直于轴垂直于轴 取一平面取一平面N N 称为称为P P点的转动平面点的转动平面 N O P x (1) (1) 在过在过P P点的转动平面内点的转动平面内 O O点：转轴与转动面的交点点：转轴与转动面的交点 过过O O点点 引入一坐标轴引入一坐标轴o ox (2) (2) 刚体转动刚体转动 P P点随点随 之转动之转动 从从O O点引向点引向P P点矢径点矢径r r 与与o ox轴的夹角为轴的夹角为 称为角坐标称为角坐标 刚体转动程守洙第五版8 (6) (6) 角量

9、与线量的关系角量与线量的关系 角量角量 线量线量 at an = r at = r t+t+ t t时刻角坐标时刻角坐标 2= + t时间内时间内 转过的角度转过的角度 称为角位移称为角位移 规定：选一转轴的正方向，规定：选一转轴的正方向， 右手定则：拇指指向转轴方向右手定则：拇指指向转轴方向 为正为正 (4) (4) 刚体角速度刚体角速度 d dt 有正负，有正负， 右手定则右手定则: :所定方向与转轴正向所定方向与转轴正向 一致为正，反之为负一致为正，反之为负 (5) (5) 刚体加角速度刚体加角速度 d dt 同向时，加速转动同向时，加速转动 反向时，减速转动反向时，减速转动 (3) t

10、(3) t时刻时刻 刚体上刚体上P P点角坐标点角坐标 1= t er v r t e v 2 n t ra ra t a n a n 2 t erera a 注：注：刚体上任意一点，在转动过刚体上任意一点，在转动过 程中程中 角量角量 是相同的是相同的 an = 2 r 刚体转动程守洙第五版9 (6) (6) 角量与线量的关系角量与线量的关系 角量角量 线量线量 at an = r at = r t er v r t e v 2 n t ra ra t a n a n 2 t erera a 注：注：刚体上任意一点，在转动过刚体上任意一点，在转动过 程中程中 角量角量 是相同的是相同的 an

11、 = 2 r z P 4.角速度是矢量角速度是矢量 方向沿轴用右手螺旋法则确定方向沿轴用右手螺旋法则确定 四指沿转动方向，拇指指向为角四指沿转动方向，拇指指向为角 速度的方向。速度的方向。 刚体定轴转动，角速度的方向只刚体定轴转动，角速度的方向只 有两个，规定逆时针方向为正，有两个，规定逆时针方向为正， 角速度方向可用正负号表示。角速度方向可用正负号表示。 vr 刚体转动程守洙第五版10 z P 4.角速度是矢量角速度是矢量 方向沿轴用右手螺旋法则确定方向沿轴用右手螺旋法则确定 四指沿转动方向，拇指指向为角四指沿转动方向，拇指指向为角 速度的方向。速度的方向。 刚体定轴转动，角速度的方向只刚体

12、定轴转动，角速度的方向只 有两个，规定逆时针方向为正，有两个，规定逆时针方向为正， 角速度方向可用正负号表示。角速度方向可用正负号表示。 vr 两类基本问题两类基本问题 (1) 已知运动方程求角速度和角已知运动方程求角速度和角 加速度加速度-求导数求导数 (2) 已知已知求求和和 求积分求积分 0 2 00 22 00 1 2 2 t tt () 刚体转动程守洙第五版11 两类基本问题两类基本问题 (1) 已知运动方程求角速度和角已知运动方程求角速度和角 加速度加速度-求导数求导数 (2) 已知已知求求和和 求积分求积分 0 2 00 22 00 1 2 2 t tt () 【例题例题1】一飞

13、轮半径为一飞轮半径为 0.2m、 转速为转速为150rmin-1， 因受制动而均因受制动而均 匀减速，经匀减速，经 30 s 停止转动停止转动 . 试求：试求： （1）角加速度和在此时间内飞轮）角加速度和在此时间内飞轮 所转的圈数；所转的圈数； （2）制动开始后）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的时飞轮的 角速度；角速度； （3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的时飞轮边缘上一点的 线速度、切向加速度法向加速度线速度、切向加速度法向加速度 解解（ （1）,srad5 1 0 . 0 t = 30 s 时，时， 飞轮做匀减速运动飞轮做匀减速运动 设设 0 0时，时， t = 0 s 21 0

14、srad 6 srad 30 50 t 刚体转动程守洙第五版12 飞轮飞轮 30 s 内转过的角度内转过的角度 rad75 )6(2 )5( 2 22 0 2 【例题例题1】一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m、 转速为转速为150rmin-1， 因受制动而均因受制动而均 匀减速，经匀减速，经 30 s 停止转动停止转动 . 试求：试求： （1）角加速度和在此时间内飞轮）角加速度和在此时间内飞轮 所转的圈数；所转的圈数； （2）制动开始后）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的时飞轮的 角速度；角速度； （3）t = 6 s 时飞轮边缘上一点的时飞轮边缘上一点的 线速度、切向加速度法向加速度线速度

15、、切向加速度法向加速度 转过的圈数转过的圈数r5 .37 2 75 2 N 解解（ （1）,srad5 1 0 . 0 t = 30 s 时，时， 飞轮做匀减速运动飞轮做匀减速运动 设设 0 0时，时， t = 0 s 21 0 srad 6 srad 30 50 t （2）s6t时，飞轮的角速度时，飞轮的角速度 1 0 (56)4rad s 6 t （3） s6t 时，飞轮边缘上时，飞轮边缘上 一点的线速度大小一点的线速度大小 2 0.2 42.5m sr v 该点的切向加速度和法向加速度该点的切向加速度和法向加速度 2 t 0.2 ()0.105m s 6 ar 222 n 0.2 (4

16、)31.6 m sar 刚体转动程守洙第五版13 【例题例题2】一飞轮在时间一飞轮在时间t内转过内转过 的角度的角度 34 atbtct求求角加速度角加速度 解解 d dt 23 34abtct d dt 2 612btct 刚体转动程守洙第五版14 4-2 刚体的角动量刚体的角动量 转动动转动动 能能 转动惯量转动惯量 质点的角动量质点的角动量 质点的质量为质点的质量为m 位矢为位矢为r v vmp 速度为速度为 动量则为动量则为 角动量为角动量为 Lrprmv 质点系质点系 11 () nn iiii ii LLrmv 1. 刚体的角动量刚体的角动量 设刚体的角速度设刚体的角速度 m1 m

17、2 m3 mn O r1 r2 r3 rn 刚体由刚体由n个质元个质元 组成组成 到转轴到转轴oz的距离为的距离为: r1 , r2 , ri , rn 质元质元: m1, m2, mi , mn 速度速度 r1 , r2 , ri , rn mi 对转轴的角动量对转轴的角动量 iii i Lmvr 整个刚体对转轴的角动量整个刚体对转轴的角动量 ii i Lm v r 2 i i mr J 定义：定义： 2 i i Jmr 刚体的转动惯量刚体的转动惯量 （与刚体的形状、质量分布及转轴的（与刚体的形状、质量分布及转轴的 位置有关）位置有关） 刚体转动程守洙第五版15 到转轴到转轴oz的距离为的距

18、离为: r1 , r2 , ri , rn 质元质元: m1, m2, mi , mn 速度速度 r1 , r2 , ri , rn mi 对转轴的角动量对转轴的角动量 iii i Lmvr 整个刚体对转轴的角动量整个刚体对转轴的角动量 ii i Lm v r 2 i i mr J 定义：定义： 2 i i Jmr 刚体的转动惯量刚体的转动惯量 （与刚体的形状、质量分布及转轴的（与刚体的形状、质量分布及转轴的 位置有关）位置有关） 2、转动惯量的计算、转动惯量的计算 刚体的转动惯量刚体的转动惯量J与质点的质与质点的质 量量m相对应，相对应， 刚体转动惯性的量度刚体转动惯性的量度 n i iir

19、 mJ 1 2 质量离散分布质量离散分布 222 1 12 2i i i Jmrmrm r 质量连续分布质量连续分布 22 d i i i Jm rrm ：质量元质量元md 2 质量线分布质量线分布lmdd 2 质量面分布质量面分布Smdd 2 质量体分布质量体分布Vmdd 刚体转动程守洙第五版16 2、转动惯量的计算、转动惯量的计算 刚体的转动惯量刚体的转动惯量J与质点的质与质点的质 量量m相对应，相对应， 刚体转动惯性的量度刚体转动惯性的量度 n i iir mJ 1 2 质量离散分布质量离散分布 222 1 12 2i i i Jmrmrm r 质量连续分布质量连续分布 22 d i i

20、 i Jm rrm ：质量元质量元md 2 质量线分布质量线分布lmdd 2 质量面分布质量面分布Smdd 2 质量体分布质量体分布Vmdd （1）质点、圆环、圆筒绕中心）质点、圆环、圆筒绕中心 轴转动轴转动 R o z m z o m R m R 2 o JmR 转动惯量转动惯量 匀质圆环和薄圆筒，因各质元到匀质圆环和薄圆筒，因各质元到 轴的垂直距离都相同，则有轴的垂直距离都相同，则有 2 o JmR （2）质点系统）质点系统 1 m 2 m 3 m 1 r 2 r 3 r 3 1 2 i i iir mJ 2 33 2 22 2 11 rmrmrm 刚体转动程守洙第五版17 （1）质点、圆

21、环、圆筒绕中心）质点、圆环、圆筒绕中心 轴转动轴转动 R o z m z o m R m R 2 o JmR 转动惯量转动惯量 匀质圆环和薄圆筒，因各质元到匀质圆环和薄圆筒，因各质元到 轴的垂直距离都相同，则有轴的垂直距离都相同，则有 2 o JmR （2）质点系统）质点系统 1 m 2 m 3 m 1 r 2 r 3 r 3 1 2 i i iir mJ 2 33 2 22 2 11 rmrmrm （3）质量线分布）质量线分布 例求长为例求长为l 质量为质量为m 的均匀细的均匀细 棒绕垂直轴的转动惯量。棒绕垂直轴的转动惯量。 解解 轴位于端点A： 2 2 2 2 1 12 l lC ml m

22、 Jxdx l 2 0 2 1 3 l A m Jxmldx l 取一小段 可视为质点 dx 轴位于中心C： A B dx l x A B C dx 2l2l x 刚体转动程守洙第五版18 （3）质量线分布）质量线分布 例求长为例求长为l 质量为质量为m 的均匀细的均匀细 棒绕垂直轴的转动惯量。棒绕垂直轴的转动惯量。 解解 轴位于端点A： 2 2 2 2 1 12 l lC ml m Jxdx l 2 0 2 1 3 l A m Jxmldx l 取一小段 可视为质点 dx 轴位于中心C： A B dx l x A B C dx 2l2l x 例题：例题： 质量为质量为m半径为半径为 R 的均

23、的均 匀圆盘匀圆盘, 对过点对过点o与盘面垂直轴的与盘面垂直轴的 转动惯量。转动惯量。 解：取半径为解：取半径为 r 的圆环的圆环 r O R O R r d r 厚为厚为dr 2 dJr dm 2 m r 面密度面密度 2dmr dr 3 2dJr dr 342 0 1 2 22 R Jr drRmR （4）质量面分布）质量面分布 刚体转动程守洙第五版19 例题：例题： 质量为质量为m半径为半径为 R 的均的均 匀圆盘匀圆盘, 对过点对过点o与盘面垂直轴的与盘面垂直轴的 转动惯量。转动惯量。 解：取半径为解：取半径为 r 的圆环的圆环 r O R O R r d r 厚为厚为dr 2 dJr

24、 dm 2 m r 面密度面密度 2dmr dr 3 2dJr dr 342 0 1 2 22 R Jr drRmR （4）质量面分布）质量面分布 （5）质量体分布）质量体分布 2dmrdr l 23 2dJr dmlr dr 34 0 1 2 2 R JdJlr drR l 例：质量为m 、半径为R、厚为 l 的均匀圆盘取半径为r 宽为dr 的薄圆环，则有 2 1 2 Jm R则有 2 m R l 由于 O Z r dr R l 刚体转动程守洙第五版20 可见，转动惯量与厚度可见，转动惯量与厚度l 无关。无关。 所以，实心圆柱对其轴的转动惯所以，实心圆柱对其轴的转动惯 量与圆盘的相同。量与圆

25、盘的相同。 （5）质量体分布）质量体分布 2dmrdr l 23 2dJr dmlr dr 34 0 1 2 2 R JdJlr drR l 例：质量为m 、半径为R、厚为 l 的均匀圆盘取半径为r 宽为dr 的薄圆环，则有 2 1 2 Jm R则有 2 m R l 由于 O Z r dr R l 例题：例题： 球体绕其直径的转动球体绕其直径的转动 将均质球体分割成一系列彼此平行将均质球体分割成一系列彼此平行 且都与对称轴垂直得圆盘，则有且都与对称轴垂直得圆盘，则有 2 22 222 22 1 2 1 2 1 2 82 155 O R R Jdm r r dz r ( Rz) dz RmR 即

26、 2 2 5 O JmR R z o r dz z m 刚体转动程守洙第五版21 2 mhJJ CO 平行轴定理平行轴定理 P 质量为质量为m 的刚体的刚体，如果对其质如果对其质 心轴的转动惯量为心轴的转动惯量为 ， ，则对任 则对任 一与该轴平行一与该轴平行，相距为相距为 的转的转 轴的转动惯量轴的转动惯量 C J h h C O m 22 2 1 mRmRJ P 对对P 轴的转轴的转 动惯量动惯量 Rm O 可见，转动惯量与厚度可见，转动惯量与厚度l 无关。无关。 所以，实心圆柱对其轴的转动惯所以，实心圆柱对其轴的转动惯 量与圆盘的相同。量与圆盘的相同。 例题：例题： 球体绕其直径的转动球

27、体绕其直径的转动 将均质球体分割成一系列彼此平行将均质球体分割成一系列彼此平行 且都与对称轴垂直得圆盘，则有且都与对称轴垂直得圆盘，则有 2 22 222 22 1 2 1 2 1 2 82 155 O R R Jdm r r dz r ( Rz) dz RmR 即 2 2 5 O JmR R z o r dz z m 刚体转动程守洙第五版22 垂直轴定理垂直轴定理 o z y x zxy JJJ 对于薄板刚体，绕垂直于板对于薄板刚体，绕垂直于板 面的轴面的轴Oz的转动惯量，等于位于的转动惯量，等于位于 板面内与板面内与Oz轴交于一点的两相互轴交于一点的两相互 正交轴正交轴Ox和和Oy的转动惯

28、量之和。的转动惯量之和。 例如：薄盘绕直径的转动惯量例如：薄盘绕直径的转动惯量 2 1 2 zxy JJJmR 2 1 4 xy JJmR 2 mhJJ CO 平行轴定理平行轴定理 P 质量为质量为m 的刚体的刚体，如果对其质如果对其质 心轴的转动惯量为心轴的转动惯量为 ， ，则对任 则对任 一与该轴平行一与该轴平行，相距为相距为 的转的转 轴的转动惯量轴的转动惯量 C J h h C O m 22 2 1 mRmRJ P 对对P 轴的转轴的转 动惯量动惯量 Rm O 刚体转动程守洙第五版23 若力学体系有几个部分组 成，整体绕定轴转动的转动惯 量,等与各部分对该轴的转动惯 量之和。即 组合定

29、理组合定理 i JJ 1 ml 2 mR z z JJJ 杆球 2 22 122 12 35 m lm RmlR 例如：例如：有质量为 ,长为 的均 质细杆和质量为 ，半径为 的匀质球体组成的刚体，对Z轴 的转动惯量为 2 m 1 m l R 垂直轴定理垂直轴定理 o z y x zxy JJJ 对于薄板刚体，绕垂直于板对于薄板刚体，绕垂直于板 面的轴面的轴Oz的转动惯量，等于位于的转动惯量，等于位于 板面内与板面内与Oz轴交于一点的两相互轴交于一点的两相互 正交轴正交轴Ox和和Oy的转动惯量之和。的转动惯量之和。 例如：薄盘绕直径的转动惯量例如：薄盘绕直径的转动惯量 2 1 2 zxy JJ

30、JmR 2 1 4 xy JJmR 刚体转动程守洙第五版24 3.刚体的转动动能刚体的转动动能 设刚体绕固定轴设刚体绕固定轴oz转动转动 角速度角速度 刚体由刚体由n个质元组成个质元组成 质元质元 m1, m2, mi , mn m1 m2 m3 mn O r1 r2 r3 rn 速度速度 r1 , r2 , ri , rn 整个刚体的转动动能：整个刚体的转动动能： 222 11 22 kiii i i Emmr 2 1 2 k EJ 若力学体系有几个部分组 成，整体绕定轴转动的转动惯 量,等与各部分对该轴的转动惯 量之和。即 组合定理组合定理 i JJ 1 ml 2 mR z z JJJ 杆

31、球 2 22 122 12 35 m lm RmlR 例如：例如：有质量为 ,长为 的均 质细杆和质量为 ，半径为 的匀质球体组成的刚体，对Z轴 的转动惯量为 2 m 1 m l R 刚体转动程守洙第五版25 4-3 力矩力矩 刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律 P z * OFdFrMsin M F r d : 力臂力臂 d 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且在转动且在转动 平面内平面内, 为由点为由点O 到力的到力的 作用点作用点 P 的径矢的径矢 . F r FrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 F 0,0 ii MF 0,0 ii M

32、F F F F F 1. 力矩力矩 M 刚体转动程守洙第五版26 z O k F r 讨论讨论 FFF z z F F 1）若力）若力 不在转动平面内，可分不在转动平面内，可分 解为平行和垂直于转轴方向的分量解为平行和垂直于转轴方向的分量 F 故故 对转轴的力矩对转轴的力矩 F z F 对转轴的力矩为零对转轴的力矩为零 FrkM z sin rFM z 2）合力矩等于各分力矩的矢量和）合力矩等于各分力矩的矢量和 321 MMMM 3）刚体内作用力和反作用力的刚体内作用力和反作用力的 力矩互相抵消力矩互相抵消 jiij MM j r i r i j ij F ji F d O ij M ji M

33、 刚体转动程守洙第五版27 O r m z 2. 定轴转动定律定轴转动定律 F t F n F sinrFM mrmaF tt 2 iii i MMmr 2）刚体）刚体 质量元质量元 mi 受外力受外力 ，内力，内力 i F i f M 1）单个质点）单个质点m 与转轴刚性连接与转轴刚性连接 外力矩外力矩内力矩内力矩 2 t mrrFM O z i m i r i F i f 2 iii i iii MMm r 0 ijjiij i MMM 刚体转动程守洙第五版28 刚体定轴转动的角加速度与刚体定轴转动的角加速度与 它所受的合外力矩成正比它所受的合外力矩成正比 ，与，与 刚体的转动惯量成反比刚

34、体的转动惯量成反比 . 2 ( ii i ii Mm r) 转动定律转动定律 z MJ 2 i i i Jm r 其中，转动惯量其中，转动惯量 2 iii i MMmr 2）刚体）刚体 质量元质量元 mi 受外力受外力 ，内力，内力 i F i f 外力矩外力矩内力矩内力矩 O z i m i r i F i f 2 iii i iii MMm r 0 ijjiij i MMM 与牛二定律比较与牛二定律比较 Fm a MJ () z dd J MJJ dtdt 刚体对转轴的角动量刚体对转轴的角动量 z LJ z z dL M dt 刚体转动程守洙第五版29 例例1 1 已知已知: :定滑轮定滑

35、轮 轻绳轻绳 不伸不伸 长长 无相对滑动无相对滑动 解解: :受力图受力图 R M 求：求：1）物体加速度）物体加速度a 2）绳子的张力）绳子的张力T 3 ) 滑轮转动的角加速度滑轮转动的角加速度 1 T gm 1 2 T a 21 (2)T RT RJ 222 (3)m gTm a 1 m 2 m 12 mm设设 2 T gm 2 a 111 (1)Tm gm a 1 T Ra 得解得解 2 2 1 MRJ 刚体转动程守洙第五版30 mg o m,l c 例例2 自由摆下的杆自由摆下的杆 有匀质细有匀质细 杆长为杆长为 l，质量为，质量为m，可以绕过，可以绕过 端点的水平轴在竖直平面内自端点

36、的水平轴在竖直平面内自 由摆动。今使杆自水平位置由由摆动。今使杆自水平位置由 静止释放，求：静止释放，求： 2）杆摆到竖直位置时，轴与杆 的相互作用力。 1）杆摆到 位置时的角速度 和角加速度； 解：解： （1）方法一，利用转动定）方法一，利用转动定 理求理求 ，积分，积分 由由 得：得：MJ 2 11 23 mglcosml 3 2 g cos l 因为因为 dddd dtddtd 分离变量并积分得：分离变量并积分得： 00 3 3 2 g dcos d l g sin l 刚体转动程守洙第五版31 （2）当杆摆到竖直位置，）当杆摆到竖直位置， 2 mg o m,l c x N y N 由质

37、心运动定理得由质心运动定理得 3 0 g l 2 2 2 xcx ycy l Nmam l Nmgmam 由上两式解得由上两式解得 5 0 2 xy NNmg 解：解： （1）方法一，利用转动定）方法一，利用转动定 理求理求 ，积分，积分 由由 得：得：MJ 2 11 23 mglcosml 3 2 g cos l 因为因为 dddd dtddtd 分离变量并积分得：分离变量并积分得： 00 3 3 2 g dcos d l g sin l 刚体转动程守洙第五版32 例例3 粗糙桌面上绕定抽转动的圆盘粗糙桌面上绕定抽转动的圆盘 o R m 1）从开始到停止所经历的时间； 一半径为R 的匀质圆盘

38、，以 初角速度0在摩擦系数为 的水 平桌面上,绕光滑质心轴转动。若 转动过程中盘面与桌面始终紧密 接触，求： dr r 解：解： （1 1）以圆盘为研究对象，）以圆盘为研究对象， 将圆盘分割成无限多个圆环。每 个圆环的质量为： 22 2 2 mm dmdSrdrrdr RR 每个圆环产生的摩擦力矩为，每个圆环产生的摩擦力矩为， 2 2 2 mg dMdmg rr dr R 阻 整个圆盘产生的摩擦力矩为整个圆盘产生的摩擦力矩为 2 2 0 2 R MdM mg r dr R 阻阻 2 3 mgR 刚体转动程守洙第五版33 o R m dr r 根据转动定律： d MJJ dt 其中M为常量，将上

39、式分离变 量并积分，则 0 0 0 t MdtJd 2 0 00 12 2 3 3 4 mR J M m R R t g g 解：解： （1 1）以圆盘为研究对象，）以圆盘为研究对象， 将圆盘分割成无限多个圆环。每 个圆环的质量为： 22 2 2 mm dmdSrdrrdr RR 每个圆环产生的摩擦力矩为，每个圆环产生的摩擦力矩为， 2 2 2 mg dMdmg rr dr R 阻 整个圆盘产生的摩擦力矩为整个圆盘产生的摩擦力矩为 2 2 0 2 R MdM mg r dr R 阻阻 2 3 mgR 刚体转动程守洙第五版34 作业作业 ：2,3,4 作业作业 ： 2; 3;4 为学应须毕生力，

40、为学应须毕生力， 攀高贵在少年时。攀高贵在少年时。 苏步青苏步青 刚体转动程守洙第五版35 4-44-4定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理 1.1.力矩的功力矩的功 在力矩作用下，刚体转动在力矩作用下，刚体转动 v F o x r d r d t F 角位移角位移d cosdAF drFdr cos sin Fr d Fr dMd 0 AMd 设设t=0初时刻：角位置初时刻：角位置 0 t时刻：角位置时刻：角位置 2. 2. 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理 由由 转动定律转动定律 dt d JJM 在在dt时间内转动时间内转动 时，时， 外力矩所作元功为：外力矩所作元功为： 角位移角位

41、移d dJ dt d JdMddA 外力对刚体做的功外力对刚体做的功 2 1 AM d 2 1 22 21 11 22 MdJJ 转动的动能定理转动的动能定理 刚体转动程守洙第五版36 合外力矩对转动刚体所做的功合外力矩对转动刚体所做的功 等于刚体转动动能的增量等于刚体转动动能的增量 转动的动能定理转动的动能定理 0 AMd 设设t=0初时刻：角位置初时刻：角位置 0 t时刻：角位置时刻：角位置 2. 2. 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理 由由 转动定律转动定律 dt d JJM 在在dt时间内转动时间内转动 时，时， 外力矩所作元功为：外力矩所作元功为： 角位移角位移d dJ dt d

42、 JdMddA 外力对刚体做的功外力对刚体做的功 2 1 AM d 2 1 22 21 11 22 MdJJ 转动的动能定理转动的动能定理 例例1 一质量为一质量为m 、半径为、半径为 R 的的 圆盘，可绕一垂直通过盘心的水圆盘，可绕一垂直通过盘心的水 平轴无摩擦的转动平轴无摩擦的转动 . 圆盘上绕有圆盘上绕有 轻绳，一端挂质量为轻绳，一端挂质量为m 的物体的物体 . 问物体在静止问物体在静止 下落高度下落高度 h 时，时， 其速度的大小其速度的大小 为多少为多少? （设绳的质量（设绳的质量 忽略不计忽略不计 ） o R h m m m 刚体转动程守洙第五版37 2 0 2 2 1 2 1 J

43、J 和和 、 分分 别为圆盘终了和起别为圆盘终了和起 始时的角坐标和角始时的角坐标和角 速度速度 0 , 0 dd 00 TT FRRF 解解 拉力拉力 对圆盘做功，由刚体对圆盘做功，由刚体 绕定轴转动的动能定理可得，拉绕定轴转动的动能定理可得，拉 力力 的力矩所作的功为的力矩所作的功为 T F T F o T F N F P T F P m 合外力矩对转动刚体所做的功合外力矩对转动刚体所做的功 等于刚体转动动能的增量等于刚体转动动能的增量 转动的动能定理转动的动能定理 例例1 一质量为一质量为m 、半径为、半径为 R 的的 圆盘，可绕一垂直通过盘心的水圆盘，可绕一垂直通过盘心的水 平轴无摩擦

44、的转动平轴无摩擦的转动 . 圆盘上绕有圆盘上绕有 轻绳，一端挂质量为轻绳，一端挂质量为m 的物体的物体 . 问物体在静止问物体在静止 下落高度下落高度 h 时，时， 其速度的大小其速度的大小 为多少为多少? （设绳的质量（设绳的质量 忽略不计忽略不计 ） o R h m m m 刚体转动程守洙第五版38 2 0 2 TT 2 1 2 1 dd 00 JJFRRF 物体由静止开始下落物体由静止开始下落0, 0 00 v 解得解得 gh m 2 )2(m m 2mm mgh 2v 并考虑到圆盘的转动惯量并考虑到圆盘的转动惯量 2 2 1 RmJ 2 0 2 T 2 1 2 1 d 0 vvmmFR

45、mgh 由质点动能定理由质点动能定理 TT FF Rv 2 0 2 2 1 2 1 JJ 和和 、 分分 别为圆盘终了和起别为圆盘终了和起 始时的角坐标和角始时的角坐标和角 速度速度 0 , 0 dd 00 TT FRRF 解解 拉力拉力 对圆盘做功，由刚体对圆盘做功，由刚体 绕定轴转动的动能定理可得，拉绕定轴转动的动能定理可得，拉 力力 的力矩所作的功为的力矩所作的功为 T F T F o T F N F P T F P m 刚体转动程守洙第五版39 3 3、刚体的重力势能、刚体的重力势能 刚体受到保守力的作用，也刚体受到保守力的作用，也 可以引入势能可以引入势能 i ii i iip hm

46、gghmE 根据质心的定义，刚体的质心根据质心的定义，刚体的质心 的高度的高度 m hm h i ii c cp mghE 所以所以 注意：包括有刚体的系统，如注意：包括有刚体的系统，如 果在运动过程中，只有保守内果在运动过程中，只有保守内 力做功，则该系统的机械能也力做功，则该系统的机械能也 应该守恒。应该守恒。 定义：刚体的重力势能是组成刚定义：刚体的重力势能是组成刚 体的各个质元的重力势能之和体的各个质元的重力势能之和 mg o m,l c 【例例4-8】 自由摆下的杆自由摆下的杆 有匀有匀 质细杆长为质细杆长为 l，质量为，质量为m，可以绕，可以绕 过端点的水平轴在竖直平面内自过端点的

47、水平轴在竖直平面内自 由摆动。今使杆自水平位置由静由摆动。今使杆自水平位置由静 止释放，求：止释放，求： 2）杆摆到竖直位置时，轴与杆）杆摆到竖直位置时，轴与杆 的相互作用力。的相互作用力。 1）杆摆到）杆摆到 位置时的角速度和位置时的角速度和 角加速度；角加速度； 刚体转动程守洙第五版40 方法二，利用动能定理求方法二，利用动能定理求 ， 求导数得求导数得 重力矩作功：重力矩作功： 0 AMd 0 2 l mgcos d 1 2 mgl sin 由动能定理：由动能定理： 2 22 11 0 22 11 23 mgl sinJ ml 3g sin l mg o m,l c 【例例4-8】 自由

48、摆下的杆自由摆下的杆 有匀有匀 质细杆长为质细杆长为 l，质量为，质量为m，可以绕，可以绕 过端点的水平轴在竖直平面内自过端点的水平轴在竖直平面内自 由摆动。今使杆自水平位置由静由摆动。今使杆自水平位置由静 止释放，求：止释放，求： 2）杆摆到竖直位置时，轴与杆）杆摆到竖直位置时，轴与杆 的相互作用力。的相互作用力。 1）杆摆到）杆摆到 位置时的角速度和位置时的角速度和 角加速度；角加速度； 本题也可用机械能守恒定律计算本题也可用机械能守恒定律计算 刚体转动程守洙第五版41 22 111 223 mgl sinml 将方程将方程 两边对时间求导数得两边对时间求导数得 2 3 dd g cosl

49、 dtdt 3 2 dg cos dtl （2）当杆摆到竖直位置时）当杆摆到竖直位置时 2 3 0 g l mg o m,l c x N y N 方法二，利用动能定理求方法二，利用动能定理求 ， 求导数得求导数得 重力矩作功：重力矩作功： 0 AMd 0 2 l mgcos d 1 2 mgl sin 由动能定理：由动能定理： 2 22 11 0 22 11 23 mgl sinJ ml 3g sin l 刚体转动程守洙第五版42 由质心运动定理得由质心运动定理得 2 2 2 xcx ycy l Nmam l Nmgmam 由上两式解得由上两式解得 5 0 2 xy NNmg 22 111 2

50、23 mgl sinml 将方程将方程 两边对时间求导数得两边对时间求导数得 2 3 dd g cosl dtdt 3 2 dg cos dtl （2）当杆摆到竖直位置时）当杆摆到竖直位置时 2 3 0 g l mg o m,l c x N y N 刚体转动程守洙第五版43 例例2 粗糙桌面上定抽转动圆盘粗糙桌面上定抽转动圆盘 o R m 2 2）圆盘转动几圈后停止。）圆盘转动几圈后停止。 1 1）从开始到停止所经历的时间）从开始到停止所经历的时间 一半径为一半径为R R 的匀质圆盘，以的匀质圆盘，以 初角速度初角速度 0 0在摩擦系数为在摩擦系数为 的水的水 平桌面上平桌面上, ,绕光滑质心

51、轴转动。若绕光滑质心轴转动。若 转动过程中盘面与桌面始终紧密转动过程中盘面与桌面始终紧密 接触，求：接触，求： 2 0 0 1 0 2 M dJ 阻 22 0 21 1 32 2 mgRmR （2 2）根据动能定理：）根据动能定理： 2 0 3 8 R g 则转过的角度：则转过的角度： 则转过的圈数：则转过的圈数： 2 n 2 0 3 16 R g 刚体转动程守洙第五版44 x N F C O x y N A bd 如图所示，已如图所示，已 知刚体的质量知刚体的质量 为为 m 、对轴转、对轴转 动惯量为动惯量为 J0 ，b 表示质心到表示质心到O点点 的距离。求打的距离。求打 击中心到转轴击中

52、心到转轴 的距离的距离d。 例例3 打击中心打击中心 一刚体竖直悬挂一刚体竖直悬挂 于支点于支点O且可以绕点且可以绕点O在竖直平面在竖直平面 内自由转动。以水平力打击刚体内自由转动。以水平力打击刚体 的的A点，若打击点选择合适，则打点，若打击点选择合适，则打 击过程中轴对刚体的水平力为零，击过程中轴对刚体的水平力为零， 该点该点A称为打击中心。称为打击中心。 根据质心运动定理根据质心运动定理 xcx FNma 根据对支点根据对支点O的转动定律的转动定律 o FdJ 又因又因 cx ab A点为打击中心点为打击中心0 x N 则解得则解得 0 J d mb 对于匀质细棒：对于匀质细棒： 2 12

53、 323 o l Jmlb,dl . 解：解： 刚体转动程守洙第五版45 作业作业1,5,6 1, 51, 5，6 6 学而不思学而不思 则罔，思则罔，思 而不学则而不学则 殆。殆。 刚体转动程守洙第五版46 4-54-5刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动: : 刚体运刚体运 动时，动时，刚体内刚体内每个点的轨迹都是每个点的轨迹都是 一条平面曲线，各曲线所在平面一条平面曲线，各曲线所在平面 都某一固定平面平行都某一固定平面平行。 运动的特点：运动的特点： 1 1）刚体的质心始终位于同一个）刚体的质心始终位于同一个 平面上。平面上。 2 2）刚体内垂直于固

54、定平面的直）刚体内垂直于固定平面的直 线上各点具有完全相同运动状线上各点具有完全相同运动状 态。态。 3 3）刚体内平行于固定平面的各）刚体内平行于固定平面的各 平面有相同的运动特征。平面有相同的运动特征。 只须研究质心所在平面的运动只须研究质心所在平面的运动: : 质心运动质心运动+ +绕质心转动绕质心转动 三个自由度三个自由度 两个两个平动平动自由度自由度 一个一个转动转动自由度自由度 刚体转动程守洙第五版47 1、运动学方程、运动学方程 如图所示，取质心所在的平 面为研究对象，任取一点A为基 点（一般取质心）。则P点的运 动方程为 A r P y x A y x O r P r AA x

55、x t ,yy.t ,t 2、 运动叠加原理运动叠加原理 P P点点运运 动动 随基点随基点A 平动平动 绕基点的绕基点的 转动转动 基点基点A可以任意取可以任意取 基点基点A的平动量的平动量 因基点而异；绕基点因基点而异；绕基点A的转动的的转动的 角量角量 都相同。都相同。 AAA r ,v ,a , , 3、刚体上任一点、刚体上任一点P的速度加速度的速度加速度 根据伽利略变换式：根据伽利略变换式： PA rr r （ 为定长旋转矢量）为定长旋转矢量） r 刚体转动程守洙第五版48 2、 运动叠加原理运动叠加原理 P P点点运运 动动 随基点随基点A 平动平动 绕基点的绕基点的 转动转动 基

56、点基点A可以任意取可以任意取 基点基点A的平动量的平动量 因基点而异；绕基点因基点而异；绕基点A的转动的的转动的 角量角量 都相同。都相同。 AAA r ,v ,a , , 3、刚体上任一点、刚体上任一点P的速度加速度的速度加速度 根据伽利略变换式：根据伽利略变换式： PA rr r （ 为定长旋转矢量）为定长旋转矢量） r A r P y x A y x O r P r 刚体上任一点刚体上任一点P的速度的速度 PAA vvvvr 刚体上任一点刚体上任一点P的加速度的加速度 AP ddr ar dtd a t dr vr dt 刚体转动程守洙第五版49 A r P y x A y x O r

57、P r 2 PA An aarr aaa 刚体上任一点刚体上任一点P的速度的速度 PAA vvvvr 刚体上任一点刚体上任一点P的加速度的加速度 AP ddr ar dtd a t dr vr dt 4、运动学特例、运动学特例圆柱体的纯滚动圆柱体的纯滚动 滑滚运动：摩擦力不够大，刚滑滚运动：摩擦力不够大，刚 体既滚动又滑动体既滚动又滑动 纯滚动：摩擦力足够大，接触纯滚动：摩擦力足够大，接触 点间无相对滑动点间无相对滑动 1）纯滚动的运动学判据：）纯滚动的运动学判据： A A cc 刚体转动程守洙第五版50 质心质心C的位移为：的位移为： 质心质心C的速度为：的速度为： c vR 质心质心C的加

58、速度为：的加速度为： c aR Rxc 2 PA An aarr aaa 4、运动学特例、运动学特例圆柱体的纯滚动圆柱体的纯滚动 滑滚运动：摩擦力不够大，刚滑滚运动：摩擦力不够大，刚 体既滚动又滑动体既滚动又滑动 纯滚动：摩擦力足够大，接触纯滚动：摩擦力足够大，接触 点间无相对滑动点间无相对滑动 1）纯滚动的运动学判据：）纯滚动的运动学判据： A A cc 2）纯滚运动的速度分布：）纯滚运动的速度分布： FE D C A D v E v 0 A v F v cA r c v c v 刚体转动程守洙第五版51 以质心以质心C为基点：为基点： 最高点最高点D的速度为的速度为 2 CDDCC vrv

59、v 质心质心C的位移为：的位移为： 质心质心C的速度为：的速度为： c vR 质心质心C的加速度为：的加速度为： c aR Rxc 2）纯滚运动的速度分布：）纯滚运动的速度分布： FE D C A D v E v 0 A v F v cA r c v c v 接触点接触点A的速度为的速度为 0 CACACC vrvvv 任一点任一点E的速度为的速度为 ECCE vvr 可见，可见， 代表刚体整体的速度，代表刚体整体的速度， 刚体上的每一点都具有这个平刚体上的每一点都具有这个平 动速度动速度 C v 刚体转动程守洙第五版52 FE D C A D v E v 0 A v F v c v 以接触点

60、以接触点A为基点：为基点： DAD vr 任一点任一点 P 的速度为的速度为 AAP A P P vvr r CAC vr 因此有因此有 0 A v 可见，对于纯滚动，若取接触点可见，对于纯滚动，若取接触点A A 为基点，在某瞬时刚体的平为基点，在某瞬时刚体的平 面平行运动，可视为面平行运动，可视为A A点的单纯转动。点的单纯转动。 以质心以质心C为基点：为基点： 最高点最高点D的速度为的速度为 2 CDDCC vrvv 接触点接触点A的速度为的速度为 0 CACACC vrvvv 任一点任一点E的速度为的速度为 ECCE vvr 可见，可见， 代表刚体整体的速度，代表刚体整体的速度， 刚体上