《勾股定理逆定理》

1、勾股定理逆定理 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 1 17 7.2 .2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 （第（第1 1课时）课时） 八年级八年级 下册下册 勾股定理逆定理 课件说明课件说明 课题内容课题内容 勾股定理的逆定理证明及简单应用；原命题、逆勾股定理的逆定理证明及简单应用；原命题、逆 命题的概念及相互关系命题的概念及相互关系. 学习目标学习目标 n理解勾股定理的逆定理理解勾股定理的逆定理. 了解互逆命题、互逆定理了解互逆命题、互逆定理. 勾股定理逆定理 创设情境，提出问题创设情境，提出问题 问题问题1： 你能说出勾股定理吗？并指出定理的题设和结论你能说出勾股定理吗？并指出定理的题设

2、和结论. 追问追问1： 你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命你能把勾股定理的题设与结论交换得到一个新的命 题吗？题吗？ 追问追问2： “如果三角形三边长如果三角形三边长a、b、c满足，满足， 那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.”能否把它作为判定直角三角能否把它作为判定直角三角 形的依据呢？本节课我们一起来研究这个问题形的依据呢？本节课我们一起来研究这个问题. 222 abc 222 , cbac ba ，结论：边长为 ，斜别为三角形的两直角边长分勾股定理的题设：直角 勾股定理逆定理 古埃及人曾用下面的方法得到直角古埃及人曾用下面的方法得到直角 实验观察实验观察 勾股

3、定理逆定理 问题问题2 2：按照这种做法真能得：按照这种做法真能得 到一个直角三角形吗？到一个直角三角形吗？ 用用13个等距的结个等距的结,把一根绳子分把一根绳子分 成等长的成等长的12段段,然后以然后以3个结，个结，4 个结，个结，5个结的长度为边长，用个结的长度为边长，用 木桩钉成一个三角形，其中一木桩钉成一个三角形，其中一 个角便是直角。个角便是直角。 实验观察实验观察 勾股定理逆定理 3 4 5 追问：追问：这个三角形的三条边有什么关系吗这个三角形的三条边有什么关系吗? ? 3 2 4 2 5 2 += 实验观察实验观察 勾股定理逆定理 （1）下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平

4、）下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平 方，分别以这些数为边长（单位：方，分别以这些数为边长（单位：cm）画三角形：）画三角形： 2.5，6，6.5；4，7.5，8.5. 动手画一画动手画一画 （2 2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的 最大角的度数最大角的度数. . （3 3）想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想）想一想：判断这些三角形的形状，提出猜想. . 实验操作实验操作 提出猜想提出猜想 勾股定理逆定理 问题问题2 由上面几个例子你发现了什么吗由上面几个例子你发现了什么吗?请以命题的请以命题的 形式说出你的观点形式说出你的观点! 命

5、题命题2 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足 那么这个三角形是直角三角形。那么这个三角形是直角三角形。 a a2 2 + b + b2 2 = c = c2 2 实验操作实验操作 提出猜想提出猜想 勾股定理逆定理 归纳概念归纳概念 两个命题的题设和结论正好相反，象这样的两个命题叫两个命题的题设和结论正好相反，象这样的两个命题叫 做互逆命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个就叫做互逆命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个就叫 做它的逆命题做它的逆命题. 问题问题3 3：把勾股定理记着命题：把勾股定理记着命题1 1，上面的结论作为命题，上面的结论作为命题2.2. 命题命题1 1

6、和命题和命题2 2的题设和结论分别是什么？的题设和结论分别是什么？ 问题问题4 4：命题：命题1 1和命题和命题2 2的题设和结论有着的题设和结论有着什么什么的关系？的关系？ 勾股定理逆定理 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b， 斜边为斜边为c，那么有，那么有a a2 2 + b + b2 2 = c = c2 2 勾股定理勾股定理 如果三角形的三边长如果三角形的三边长a、b、c满足满足 那么这个三角形是直角三角形。那么这个三角形是直角三角形。 a a2 2 + b + b2 2 = c = c2 2 互逆命题 归纳概念归纳概念 勾股定理逆定理 问题问题5 :请同学

7、们举出一些互逆命题，并思考：是否原命题请同学们举出一些互逆命题，并思考：是否原命题 正确，它的逆命题也正确呢？举例说明正确，它的逆命题也正确呢？举例说明 追问追问1： 在我们大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成吗？在我们大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成吗？ 问题问题6 : 原命题正确，它的逆命题不一定正确原命题正确，它的逆命题不一定正确.那么勾股定理的那么勾股定理的 逆命题正确吗？如果你认为是真确的，你能证明这个命题逆命题正确吗？如果你认为是真确的，你能证明这个命题 “如果三角形的三边长、如果三角形的三边长、b、c满足，那么这个三角形是直角满足，那么这个三角形是直角 三角形三角形”吗？

8、吗？ 勾股定理逆定理 勾股定理逆定理的证明 已知已知:在在ABC中，中，AB=c BC=a CA=b 且且a2+b2=c2 求证求证: ABC是直角三角形是直角三角形. A BC a b c B b C A a 证明证明:画一个画一个ABC,使使 C=90,BC=a, CA=b AB =c 边长取正值边长取正值 AB 2=c2 a2+b2=c2 C/=900 AB2= a2+b2 勾股定理逆定理 勾股定理逆定理的证明 在在 ABC和和 ABC中中 BC=a=BC CA=b=CA AB=c=AB ABC ABC（SSS） C= C/=90 则则 ABC是直角三角形是直角三角形 （直角三角形的定义

9、）（直角三角形的定义） 勾股定理逆定理 定理与逆定理定理与逆定理 我们已经学习了一些互逆的定理我们已经学习了一些互逆的定理,如如: (1)勾股定理及其逆定理；勾股定理及其逆定理；(2)两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等; (3) 内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行. (4)角的平分线的性质与判定；角的平分线的性质与判定； (5)线段的垂直平分线的性质与判定线段的垂直平分线的性质与判定. 如果一个如果一个定理定理的逆命题经过证明是真命题的逆命题经过证明是真命题,那么那么 它是一个它是一个定理定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆定理互逆定理,其中一其中一 个定理称另一个定理的个定

10、理称另一个定理的逆定理逆定理. 勾股定理逆定理 (1) a15 , b 8 , c17 (2) a13 , b 14 , c15 分析：分析：根据勾股定理的逆定理，一个三角形中两条较小边长的平方根据勾股定理的逆定理，一个三角形中两条较小边长的平方 和等于最大边长的平方，那么这个三角形是直角三角形和等于最大边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 例例1 判断由判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：组成的三角形是不是直角三角形： 3, 2, 1)3(cba 定理应用定理应用 勾股定理逆定理 解解（1）1528222564289 172289 15282172 这个三角形是直角三角形这个三角

11、形是直角三角形 （2）132+142=169+196=365 152=225 因为因为132+142152， 根据勾股定理，这个三角形不是三角形 根据勾股定理，这个三角形不是三角形. 定理应用定理应用 勾股数 能 够成为直角 三角形三条 边长的三个 正整数，称 为勾股数 勾股定理逆定理 定理应用定理应用 , bca解：因为 42, 4)3(1 222222 bca , 222 cab所以 所以这个三角形是直角三角形所以这个三角形是直角三角形. 勾股定理逆定理 练习练习：同学们还知道哪些勾股数？请完成以下未完成的：同学们还知道哪些勾股数？请完成以下未完成的 勾股数勾股数. （1）3, 4， ，

12、（2）6, 8， ， （3）7, 24, ， （4）5, 12， ， （5）9, 12， . 勾股定理逆定理 基础过关题：基础过关题： (1)直角三角形一条直角边与斜边分别为直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和和10cm.则斜则斜 边上的高等于边上的高等于cm. (2)已知两条线段的长为已知两条线段的长为3cm和和4cm,当第三条线段的长当第三条线段的长 为为cm时时,这三条线段能组成一个直角三角形这三条线段能组成一个直角三角形. (3)ABC中中,AB=AC,BAC=120,AB=12cm,则则BC边上边上 的高的高AD=cm；AB边上的高边上的高CE=cm （4）下列命题中是假命题的是

13、）下列命题中是假命题的是() (A)ABC中中,若若B=CA,则则ABC是直角三角形是直角三角形. (B)ABC中中,若若a2=(b+c)(bc),则则ABC是直角三角形是直角三角形. (C)ABC中中,若若A B C=3 4 5则则ABC是直角三角形是直角三角形. (D)ABC中中,若若a b c=5 4 3则则ABC是直角三角形是直角三角形. 勾股定理逆定理 1、请完成以下未完成的勾股数：、请完成以下未完成的勾股数： （1）8、15、； （2）10、26、。 2、三角形三边长分别为、三角形三边长分别为 、 、 则这个三角形是则这个三角形是。 22 ba ab2 22 ba 勾股定理逆定理

14、3、如图，、如图，ABC中，中，CD是是AB边上的高，边上的高， 且且 ,求证：求证：ABC是是 直角三角形。直角三角形。 BDADCD 2 A B C D 勾股定理逆定理 4、在正方形、在正方形ABCD中，中，F为为DC的中点，的中点， E为为BC上的一点，且上的一点，且 , 求证：求证：EFA=90. BEEC 3 1 A B C D F E 勾股定理逆定理 5、如图，在等边、如图，在等边ABC中，中，D为三角形内一为三角形内一 点，且点，且BD=3，DA=4，DC=5.将将BDA沿顺时沿顺时 针旋转针旋转60使点使点D到到D,求求BDC的度数。的度数。 A BC D D 勾股定理逆定理

15、8：如图，设：如图，设A城气象台测得台风中心在城气象台测得台风中心在A城正西方向城正西方向6OOkm 的的B处，以每小时处，以每小时2OOkm的速度向北偏东的速度向北偏东6O的的BF方向移动，方向移动， 距台风中心距台风中心5OOkm的范围内是受台风影响的区域的范围内是受台风影响的区域. (1)A城是否受到这次台风的影响城是否受到这次台风的影响?为什么为什么? (2)若若A城受到这次台风影响，那么城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多城遭受这次台风影响有多 长时间长时间? 勾股定理逆定理 课堂练习课堂练习 1 判断由判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：组成的三角形是不是直角

16、三角形： (1) a6.5 , b 7.5 , c4 (2) a11 , b 60 , c61 3 10 , 2, 3 8 3cba 4 1 4, 2, 4 3 34cba 勾股定理逆定理 016926125 2 2 ccba 2、 已知已知a，b，c为为ABC的三边的三边,且且 满足满足 试判断试判断ABC的形状的形状. 勾股定理逆定理 课堂小结课堂小结 （1）勾股定理的逆定理的内容是什么？）勾股定理的逆定理的内容是什么？ （2）原命题、逆命题之间的关系）原命题、逆命题之间的关系. （3 3）用什么方法证明勾股定理的逆定理）用什么方法证明勾股定理的逆定理? ? 勾股定理逆定理 目标检测设计目

17、标检测设计 1.以长度分别为下列各组数的线段为边，能构成直以长度分别为下列各组数的线段为边，能构成直 角三角形的有哪些？角三角形的有哪些？ (1) 1 , 2 , 3 (2) 6 , 8 , 14 (3) 2, 1.5 , 2.5 3,2,24 勾股定理逆定理 2.说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题是真说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题是真 命题吗？命题吗？ （1）两条直线平行，内错角相等）两条直线平行，内错角相等 （2）对顶角相等）对顶角相等 （3）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 目标检测设计目标检测设计 勾股定理逆定理 3.已

18、知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD中，中，B900， AB3，BC4，CD12，AD13,求四边形求四边形 ABCD的面积的面积? A B C D 目标检测设计目标检测设计 勾股定理逆定理 第十七章勾股定理第十七章勾股定理 1 17 7.2 .2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 （第（第2 2课时）课时） 八年级八年级 下册下册 勾股定理逆定理 课件说明课件说明 1.内容内容 应用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题应用勾股定理及勾股定理的逆定理解决实际问题. 2.学习目标学习目标 （1）灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题）灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题. （2）进一步加深

19、性质定理与判定定理之间关系的认识）进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识. 3.教学重难点教学重难点 灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题灵活运用勾股定理的逆定理解决实际问题. 勾股定理逆定理 复习反思，引出课题复习反思，引出课题 问题问题1： 通过前面的学习，我们对勾股定理及其通过前面的学习，我们对勾股定理及其 逆定理的知识有一定的了解，请说出勾股定理及逆定理的知识有一定的了解，请说出勾股定理及 其逆定理的内容其逆定理的内容. 追问追问1：你能用勾股定理及逆定理解决哪些问题：你能用勾股定理及逆定理解决哪些问题？ 勾股定理逆定理 问题问题2： “远航远航”号、号、“海天海天”号轮船同时离开

20、港口，各自号轮船同时离开港口，各自 沿一固定方向航行，沿一固定方向航行，“远航远航”号每小时航行号每小时航行16海里，海里，“海天海天 ”号每小时航行号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距海里。它们离开港口一个半小时后相距30 海里。如果知道海里。如果知道“远航远航”号沿东北方向航行，能知道号沿东北方向航行，能知道“海天海天 ”号沿哪个方向航行吗？号沿哪个方向航行吗？ P E Q R N 远航远航 海天海天 点击范例，以练促思点击范例，以练促思 追问追问1：请同学们认真审题，弄清已知是什么？：请同学们认真审题，弄清已知是什么？ 解决的问题是么？解决的问题是么？ 追问追问2：你能根据

21、题意画出图形吗？：你能根据题意画出图形吗？ 分析：如何确定航向：由于分析：如何确定航向：由于“远航远航”号的航号的航 向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的 角，就能知道角，就能知道“海天海天”号的航向了号的航向了. 勾股定理逆定理 P E Q R N 远航远航 海天海天 解：根据题意，解：根据题意， 30185 . 112245 . 116QRPRPQ， 90 301824 222 222 QPR QRPRPQ， ， 由由“远航远航”号沿东北方向航行可知号沿东北方向航行可知.因此因此,即即“海天海天”号沿西北方向号沿西北方向 航行航行. 点击范例，以练促思点

22、击范例，以练促思 勾股定理逆定理 练习练习1. 课本课本33页练习第页练习第3题。题。 练习练习2. 在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东方向在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东方向 以每小时以每小时8海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小海里速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小 时时15海里速度前进，海里速度前进，1小时后甲船到达岛，乙船到达小时后甲船到达岛，乙船到达 岛，且岛与岛相距岛，且岛与岛相距17海里，你能知道乙船沿哪个方向海里，你能知道乙船沿哪个方向 航行吗？航行吗？ 初步应用、巩固知识初步应用、巩固知识 勾股定理逆定理 问题问题3 实验中学有一块四边形的空地实验中学有一块四边形的空

23、地ABCD，如图，如图 所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量 若每平方米草皮需要若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少元，问学校需要投入多少 资金购买草皮？资金购买草皮？ ,4,13,12,90mDAmCDmABA D C B A 综合应用、深化提高综合应用、深化提高 勾股定理逆定理 反思小结，观点提炼反思小结，观点提炼 （1）知识总结：勾股定理以及逆定理的实际应用；）知识总结：勾股定理以及逆定理的实际应用； （2）方法归纳：数学建模的思想）方法归纳：数学建模的思想. 勾股定理逆定理 例例2.如图如图,点点A是一个半径为是一个半径为 400 m的

24、圆形森林公的圆形森林公 园的中心园的中心,在森林公园附近有在森林公园附近有 B .C 两个村庄两个村庄,现要现要 在在 B.C 两村庄之间修一条长为两村庄之间修一条长为 1000 m 的笔直公的笔直公 路将两村连通路将两村连通,经测得经测得 AB=600m,AC=800m,问此问此 公路是否会穿过该森林公园公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明请通过计算说明. A B C 400 1000D 勾股定理逆定理 如图：边长为如图：边长为4的正方形的正方形ABCD中，中，F是是DC的中的中 点，且点，且CE= BC，则，则AFEF，试说明理由，试说明理由 4 1 A B D C F E 解：连接解

25、：连接AE ABCD是正方形，边长是是正方形，边长是4，F是是 DC的中点，的中点，EC=1/4BC 根据勾股定理，在根据勾股定理，在 RtADF，AF2=AD2+DF2=20 RtEFC，EF2=EC2+FC2=5 RtABE，AE2=AB2+BE2=25 AD=4，DF=2，FC=2，EC=1 AE2=EF2+AF2 AEF=90即即AF EF A 勾股定理逆定理 3 3以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是 （ ） A A B B7 7，2424，2525 C C4 4，7.57.5，8.5 D8.5 D3.53.5，4.54.5，5

26、.55.5 22, 13, 13 1 1请完成以下未完成的勾股数：请完成以下未完成的勾股数： （1 1）8 8、1515、_；（；（2 2）1010、2626、_ 2 2ABCABC中，中，a2+b2=25，a2-b-b2=7=7，又，又c=5c=5， 则最大边上的高是则最大边上的高是_ 4.4.如图，两个正方形的面积分别如图，两个正方形的面积分别 为为6464，4949，则，则AC=AC= . . A D C 6449 17 勾股定理逆定理 6.在在RtABC中中,C=90,CD 是高是高,AB=1, 则则 2 CD2 + AD2 +BD2 =; 7.三角形的三边长三角形的三边长 a, b,

27、 c 满足满足 a2 +b2 +c2 +338 = 10a + 24b +26c, 此三角形为三角形此三角形为三角形. 勾股定理逆定理 9 9一艘轮船以一艘轮船以2020千米千米/ /时的速度离开港口向时的速度离开港口向 东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以1515 千米千米/ /时的速度向东南方向航行，它们离开港时的速度向东南方向航行，它们离开港 口口2 2小时后相距多少千米？小时后相距多少千米？ 1010已知：如图，已知：如图，ABD=C=90ABD=C=90，AD=12AD=12， AC=BCAC=BC，DAB=30DAB=30，求，求BCBC的长

28、的长 勾股定理逆定理 11、如图，已知：CDAB于D， 求证：ACB为直角三角形 ABADAC 2 A B D C 证明： CDAB AC2=AD2+CD2 BC2=CD2+BD2 AC2=ADAB AD2+CD2=ADAB CD2=ADABAD2 =AD(ABAD) =ADBD BC2=CD2+BD2 =ADBD+BD2 =BD(AD+BD) =BDAB AC2+BC2=ADAB+BDAB =AB(AD+BD) =AB2 ACB为直角三角形. 勾股定理逆定理 32 CD=cm,AD=2cm,ACAB。 12、已知：在四边形、已知：在四边形ABCD中，中，AB=3cm,BC=5cm, D C

29、B A DC = 3.52 cm AD = 2.03 cm BC = 5.08 cm CA = 4.11 cm AB = 3.00 cm 求：求：S四边形 四边形ABCD 勾股定理逆定理 D C B A DC = 3.52 cm AD = 2.03 cm BC = 5.08 cm CA = 4.11 cm AB = 3.00 cm ACAB(已知已知) AC2+AB2=BC2(勾股定理勾股定理) AB=3cm,BC=5cm cmABBCAC435 2222 又又CD=2cmAD=2cm(已知已知)3 AC2=16,CD2+AD2=12+4=16 AC2=CD2+AD2 ADC=900(勾股定理

30、的逆定理勾股定理的逆定理) S四边形四边形ABCD=SABC+SACD =34+22 =6+2(cm2) =ABAC+ADCD 2 1 2 1 3 3 2 1 2 1 解解（1） 勾股定理逆定理 边长为边长为8和和4的矩形的矩形OABC的两边分别在直角坐标的两边分别在直角坐标 系的系的X轴和轴和Y轴上，若轴上，若 沿对角线沿对角线AC折叠后，点折叠后，点B落落 在第四象限在第四象限B1处，设处，设B1C交交X轴于点轴于点D，求（，求（1）三）三 角形角形ADC的面积，（的面积，（2）点）点B1的坐标，（的坐标，（3）AB1 所在的直线解析式。所在的直线解析式。 O C B A B1 D 1 2 3 E 勾股定理逆定理 1 1、如图，在四边形、如图，在四边形ABCDABCD中，中， BAD=90BAD=90，AD=4AD=4，AB=3AB=3， BC=12BC=12，求正方形，求正方形DCEFDCEF的面的面 积积 2 2、已知，如图，、已知，如图，RtRtABC