周期函数分解为傅里叶级数

1、周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 12.2 12.2 周期函数分解为傅里叶周期函数分解为傅里叶 级数级数 一、周期函数一、周期函数 f(t)=f(t+kT) T为周期函数为周期函数f(t)的周期，的周期， k=0，1，2， 如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就 能展开成一个收敛的傅里叶级数。能展开成一个收敛的傅里叶级数。 电路中的非正弦周期量都能满足这个条件。电路中的非正弦周期量都能满足这个条件。 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 )sin()cos( )2sin()2cos( )sin()cos()( 11 1212

2、 11110 tkbtka tbta tbtaatf kk 1 110 )sin()cos( k kk tkbtkaa 二、傅里叶级数的两种形式二、傅里叶级数的两种形式 1、第一种形式、第一种形式 式中：式中：K=1，2，3 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 2 2 0 0 )( 1 )( 1 T T T dttf T dttf T a T k dttktf T a 0 1 )cos()( 2 2 0 11 )()cos()( 1 tdtktf )()cos()( 1 11 tdtktf 2 2 1 )cos()( 2 T T dttktf T 系数的计算公式系数的计算公式 1

3、 110 )sin()cos()( k kk tkbtkaatf 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 )cos( )2cos( )cos()( 1 212 1110 kkm m m tkA tA tAAtf 1 10 )cos( k kkm tkAA 2、第二种形式、第二种形式 A0称为周期函数的恒定分量（或直流分量）；称为周期函数的恒定分量（或直流分量）； A1mcos(1t+1)称为称为1次谐波（或基波分量），次谐波（或基波分量）， 其周期或频率与原周期函数相同；其周期或频率与原周期函数相同； 其他各项统称为高次谐波，其他各项统称为高次谐波， 即即2次、次、3次、次、4次、次

4、、 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 3、两种形式系数之间的关系、两种形式系数之间的关系 1 10 )cos()( k kkm tkAAtf 1 110 )sin()cos()( k kk tkbtkaatf第一种形式第一种形式 第二种形式第二种形式 A0=a0 22 kkkm baA ak=Akmcoskbk=- Akmsink )arctan( k k k a b 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 4、傅里叶分解式的数学、电气意义、傅里叶分解式的数学、电气意义 + - 傅氏分解傅氏分解 A0 U1 U2 + - u(t) u(t) 分解后的电源相当于无限个电

5、压源串联分解后的电源相当于无限个电压源串联 对于电路分析应用的方法是对于电路分析应用的方法是 叠加定理叠加定理 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 三、三、f(t)的频谱的频谱 傅里叶级数虽然详尽而又准确地表达了周期傅里叶级数虽然详尽而又准确地表达了周期 函数分解的结果，但不很直观。函数分解的结果，但不很直观。 为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包 含哪些频率分量以及各分量所占含哪些频率分量以及各分量所占“比重比重”， 用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段， 按频率的高低顺序把它们依次排列起来，按频率的

6、高低顺序把它们依次排列起来， 得到的图形称为得到的图形称为f(t)的频谱。的频谱。 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 1、幅度频谱、幅度频谱 各次谐波的振幅用相应线段依次排列。各次谐波的振幅用相应线段依次排列。 2、相位频谱、相位频谱 把各次谐波的初相用相应线段依次排列。把各次谐波的初相用相应线段依次排列。 O Akm k1 41 31 21 1 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱 O f(t) t 1t Em -Em 2 T 2 T 解：解：f(t)在第一个周期内的表达

7、式为在第一个周期内的表达式为 f(t) = Em -Em 2 0 T t Tt T 2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 根据公式计算系数根据公式计算系数 T dttf T a 0 0 )( 1 0 O f(t) t 1t Em -Em 2 T 2 T 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 2 0 11 )()cos()( 1 tdtktfak O f(t) t 1t Em -Em 2 T 2 T )()cos()()cos( 1 2 11 0 11 tdtkEtdtkE mm 0 11 )()cos( 2 tdtk Em =0 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解

8、为傅里叶级数 2 0 11 )()sin()( 1 tdtktfbk )()sin()()sin( 1 2 11 0 11 tdtkEtdtkE mm 0 11 )()sin( 2 tdtk Em 0 1 )cos( 12 tk k Em )cos(1 2 k k Em 当当k为偶数时：为偶数时： cos(k)=1 bk=0 当当k为奇数时：为奇数时： cos(k)=-1 k E b m k 4 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 代入求得代入求得 )5sin( 5 1 )3sin( 3 1 )sin( 4 )( 111 ttt Em tf 1 110 )sin()cos()(

9、k kk tkbtkaatf 0 0 a0 k a 当当k为偶数时：为偶数时： cos(k)=1 bk=0 当当k为奇数时：为奇数时： cos(k)=-1 k E b m k 4 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 )5sin( 5 1 )3sin( 3 1 )sin( 4 )( 111 ttt Em tf O f(t) Em -Em 1t 图形曲线分析图形曲线分析: 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 O f(t) Em -Em 1t 取到取到11次谐波时合成的曲线次谐波时合成的曲线 比较两个图可见，谐波项数取得越多，合比较两个图可见，谐波项数取得越多，合 成曲线

10、就越接近于原来的波形。成曲线就越接近于原来的波形。 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 O f(t) t 1t Em -Em 2 T 2 T )5sin( 5 1 )3sin( 3 1 )sin( 4 )( 111 ttt Em tf f(t) = Em -Em 2 0 T t Tt T 2 假设假设 Em=1， 1t=/2，得，得 7 1 5 1 3 1 1 4 1 取到取到11次谐波时，结果为次谐波时，结果为0.95;取到取到13次谐波时，结次谐波时，结 果为果为1.05;取到取到35次谐波时，结果为次谐波时，结果为0.98,误差为误差为2% 周期函数分解为傅里叶级数周期函数

11、分解为傅里叶级数 矩形信号矩形信号f(t)的频谱的频谱 )5sin( 5 1 )3sin( 3 1 )sin( 4 )( 111 ttt Em tf O Akm k1 7151311 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 3、频谱与非正弦信号特征的关系、频谱与非正弦信号特征的关系 波形越接近正弦波，波形越接近正弦波， 谐波成分越少；谐波成分越少； f(t)=10cos(314t+30) O Akm k1 1 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 1、偶函数、偶函数 f(t)=f(-t) 纵轴对称的性质纵轴对称的性质 f(t) Ot f(t) Ot 四、非正弦函数波形特征

12、与展开式的系数之四、非正弦函数波形特征与展开式的系数之 间的关系间的关系 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 可以证明：可以证明： bk=0 1、偶函数、偶函数 纵轴对称的性质纵轴对称的性质 f(t)=f(-t) 1 10 )cos()( k k tkaatf 1 110 )sin()cos()( k kk tkbtkaatf 展开式中只含有余弦项分量和直流分量展开式中只含有余弦项分量和直流分量 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 f(t)=-f(-t) 原点对称的性质原点对称的性质 f(t) O t f(t) Ot 2、奇函数、奇函数 周期函数分解为傅里叶级数周期

13、函数分解为傅里叶级数 可以证明：可以证明： a0=0, ak=0 原点对称的性质原点对称的性质 f(t)=-f(-t) 2、奇函数、奇函数 1 1 )sin()( k k tkbtf 1 110 )sin()cos()( k kk tkbtkaatf 展开式中只含有正弦项分量展开式中只含有正弦项分量 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 满足满足 f(t)=-f(t+T/2),称为奇谐波函数称为奇谐波函数 O f(t) t T 2 T 3、奇谐波函数、奇谐波函数: f(t)=-f(t+T/2),叫做叫做 镜对称的性质镜对称的性质 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 判

14、断判断:利用镜对称的性质利用镜对称的性质 f(t)= - f(t+T/2) 3、奇谐波函数、奇谐波函数 可以证明：可以证明： a2k =b2k =0 )3sin()3cos( )sin()cos( 1313 1111 tbta tbta f(t)= 1 110 )sin()cos()( k kk tkbtkaatf 展开式中只含有奇次谐波分量展开式中只含有奇次谐波分量 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 f(t) Ot 判断下面波形的展开式特点判断下面波形的展开式特点 f(t)是奇函数是奇函数 展开式中只含有正弦分量展开式中只含有正弦分量 f(t)又是奇谐波函数又是奇谐波函数 展

15、开式中只含有奇次谐波展开式中只含有奇次谐波 )3sin()sin( 1311 tbtbf(t)= 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 系数系数Akm与计时起点无关（但与计时起点无关（但k是有关的），是有关的）， 这是因为构成非正弦周期函数的各次谐波的振这是因为构成非正弦周期函数的各次谐波的振 幅以及各次谐波对该函数波形的相对位置总是一定的，幅以及各次谐波对该函数波形的相对位置总是一定的， 并不会因计时起点的变动而变动；并不会因计时起点的变动而变动； 因此，计时起点的变动只能使各次谐波的初相因此，计时起点的变动只能使各次谐波的初相 作相应地改变。作相应地改变。 由于系数由于系数ak

16、和和bk与初相与初相k有关，所以它们也随计有关，所以它们也随计 时起点的改变而改变。时起点的改变而改变。 4、系数和计时起点的关系、系数和计时起点的关系 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 由于系数由于系数ak和和bk与计时起点的选择有关，所以与计时起点的选择有关，所以 函数是否为奇函数或偶函数可能与计时起点的选择函数是否为奇函数或偶函数可能与计时起点的选择 有关。有关。 但是，函数是否为奇谐波函数却与计时起点但是，函数是否为奇谐波函数却与计时起点 无关。无关。 因此适当选择计时起点有时会使函数的分解因此适当选择计时起点有时会使函数的分解 简化。简化。 4、系数和计时起点的关系、系数和计时起点的关系 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数 例：已知某信号半周期的波形，在下列不同条件下例：已知某信号半周期的波形