《建筑力学》第九章梁的应力解析

1、建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析 建筑力学第九章梁的应建筑力学第九章梁的应 力解析力解析 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析2 第九章第九章 梁的应力梁的应力 第一节 平面弯曲的概念及实例 第二节 梁的正应力 第四节 梁的切应力 第三节 常用截面的惯性矩、平行移轴公式 第五节 梁的强度条件 第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析3 第一节 平面弯曲的概念及实例 一、弯曲的概念 梁： 以弯曲变形为主的杆件。 1. 弯曲变形 作用在通过杆件轴线的纵向平面内的一对等值、反向的力偶。受力特征： 变形特征：杆件轴线由直

2、线变形后成为曲线。 2. 平面弯曲 受弯杆件的轴线为平面曲线时的弯曲称为平面弯曲。 外力是作用线垂直于杆轴线的平衡力系。 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析4 第一节 平面弯曲的概念及实例 2. 平面弯曲 梁的横截面通常采用对称形状,如矩形、工字形、T 字形、圆形等。 纵向对称面：包含梁横截面的一个对称轴及其梁轴线的平面称为纵向对称面。 对称弯曲：作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内， 弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线， 这种弯曲称为对称弯曲。 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析5 第一节 平面弯曲的概念及实例 2. 平面弯曲 横截面的对称轴

3、横截面的对称轴 梁的轴线梁的轴线 纵向对称面纵向对称面 变形后的轴线与外力变形后的轴线与外力 在同一平面内在同一平面内 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析6 第一节 平面弯曲的概念及实例 二、弯曲的实例 l 伽利略（Galileo） 历史回顾 2 h bhFl )2( 2 bh M 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析7 第一节 平面弯曲的概念及实例 二、弯曲的实例 楼板梁 纵梁 A 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析8 第一节 平面弯曲的概念及实例 二、弯曲的实例 火车轮轴 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析9 第一节 平

4、面弯曲的概念及实例 桥式吊车梁 二、弯曲的实例 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析10 m m m m F FS S 第一节 平面弯曲的概念及实例 三、弯曲的应力 一般情况下，梁的横截面上既又弯矩 M ， 又有剪力 FS 。 m m m m F FS S M M m m m m M M 只有与正应力有关的法向内力元素只有与正应力有关的法向内力元素 才能合成弯矩才能合成弯矩 只有与切应力有关的切向内力元素只有与切应力有关的切向内力元素 才能合成才能合成剪力剪力 所以，在梁的横截面上一般既有所以，在梁的横截面上一般既有 正应力正应力，又有又有 切应力切应力。 建筑力学第九章梁的应

5、力解析建筑力学第九章梁的应力解析11 第二节 梁的正应力 纯弯曲 若梁在某段内各横截面上的 ，则该段梁 的弯曲就称为纯弯曲。 非纯弯曲各截面不仅有弯矩,还有剪力的作用,产生弯曲变形的同时, 伴随有剪切变形。这种变形形式称为非纯弯曲。 F FF F aa CD AB MeMe C D 梁的CD 段纯弯曲。 梁的AC、DB 段非纯弯曲。 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析12 第二节 梁的正应力 梁的CD 段纯弯曲。 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析13 第二节 梁的正应力 1、研究内容 1 1、正应力的分布情况、正应力的分布情况 2 2、正应力计算公式、正应

6、力计算公式 2、分析思路：（变形固体的力学分析方法） 1 1、变形的几何关系、变形的几何关系 2 2、力与变形的物理关系、力与变形的物理关系 3 3、静力平衡条件、静力平衡条件 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析14 第二节 梁的正应力 一、 实验现象的观察与分析 梁由直变弯, 以某层（中性层）为界,一侧伸长, 一侧缩短; 横截面仍为平面，只是相对旋转了一个角度; 在弯曲过程中梁的横截面始终与梁的轴线保持正交。 若假设各纵向纤维间无相互挤压,则各纵向纤维只产生单向拉伸或压缩。 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析15 第二节 梁的正应力 中性层：梁内一层纤维既

7、不伸长也不缩短， 因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。 中性层 中性轴 两个概念 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析16 第二节 梁的正应力 二、 正应力公式推导 推导公式时，要综合考虑 几何 ，物理 和 静力学 三方面 。 取 一 纯弯曲 梁段来研究 。 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析17 O1O2 第二节 梁的正应力 二、 正应力公式推导 变形后： 12 dK Ky d变形前： 12 dK Kx ()dd d yy 1. 几何方面 K1 K2 y 1 K 2 K O d 1 O 2 O 上式表达了梁横截面上任

8、一点处的纵向 线应变 随该点的位置而变化的规律。 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析18 第二节 梁的正应力 二、 正应力公式推导 2. 物理方面 式中： y 几何方程 由假设的纵向纤维受单向拉伸或压缩,所以,当正应力不超过材料的 比例极限时,由胡克定律可得： E y E E = 常量 结论： （1）正应力 与距离y 成正比,即正应力 沿截面高度按直线规律变化； （2）中性轴上各点处的正应力等于零, 距中性轴最远的上、下边缘处的 正应力最大。 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析19 第二节 梁的正应力 二、 正应力公式推导 2. 物理方面 式中： y E E

9、 是未知的常量 M 需要解决的问题：需要解决的问题： 如何确定中性轴的位置 ？ 如何计算 1/ ? 中性轴 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析20 第二节 梁的正应力 3. 静力学方面 物理方程 y E N d A AF 0 dd0 AA EE yAy A d0 A y A d0 C A y AyA 形心坐标 0 C y 说明中性轴必通过截面的形心。 （1 1）如何确定中性轴的位置 ？ 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析21 第二节 梁的正应力 3. 静力学方面 y E d A yA M 2 dd AA EyE yAyA 2 z d A yAI z 1M E

10、I （2 2）如何计算1/ ？ M 弯曲刚度 z M y I 梁横截面上正应力计算公式 截面对z轴的惯性矩 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析22 第二节 梁的正应力 z M y I 梁横截面上正应力计算公式 截面对z轴的惯性矩 为所求应力点到中性轴的距离 为横截面上的弯矩 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析23 第二节 梁的正应力 z M y I 梁横截面上正应力计算公式 说明: (1) 式中M 和 y 均以绝对值代入; (2)正应力是拉应力还是压应力可由观察梁的变形来判断; 符号规定：以中性轴为界: 靠凸边一侧受拉，靠凹边一侧受压。 正应力拉为正；压应力

11、为负。 (3) 公式适用于所有横截面形状对称于y 轴的梁,如工字形、T 字形、 圆形截面梁等; (4) 公式适用于非纯弯曲的情况。 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析24 第二节 梁的正应力 z M y I M M M M y y y y C C Z Z C C Z Z 中性轴中性轴 中性轴中性轴 思考:截面上拉应力与压应力发生在何处？ 拉应力区 压应力区 拉应力区 压应力区 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析25 第二节 梁的正应力 z M y I 思考: （1） 中性轴为截面对称轴时最大最小正应力的关系？ 梁横截面上最大、最小正应力绝对值相等！梁横截面上

12、最大、最小正应力绝对值相等！ maxmaxmaxct M M y y C C Z Z 中性轴中性轴 拉应力区 压应力区 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析26 第二节 梁的正应力 z M y I 思考: 12 yy （2） 中性轴为不对称轴时最大最小正应力的关系？ 梁横截面上最大正应力应分别计算梁横截面上最大正应力应分别计算: : 2 max z () My I 1 max z () M y I z z y y M M 2 y 1 y max () max () maxmax ()() 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析27 第三节 常用截面梁的惯性矩、平行

13、移轴公式 一、 简单截面的惯性矩计算 1.矩形截面对 y , z 轴的惯性矩 b b h h z z y y C C 已知：矩形截面b h, C 点为形心 求：Iy， Iz 解：取平行于z 轴和 y 轴的微元面积 ddAb y 3 22 22 22 dd 12 hh hhz bh IyAy b y 同理,得: 3 12 y hb I 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析28 第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式 一、 简单截面的惯性矩计算 2.圆形截面对 y , z 轴的惯性矩 已知：圆截面直径 d 求：Iy， Iz， IP 4 P 232 y I d I 2 2 0 1

14、d 2 d yz IIrA 解：取圆环微元面积 rrAd2d 4 2 2 0 1 (2)d 264 d d rrr 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析29 第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式 二、 组合截面的惯性矩计算 1.组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面。 截面各组成部分对某一轴的惯性矩之代数和， 就等于该截面对于同一轴的惯性矩。 z3z2z1z IIII z z zz 1 2 3 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析30 第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式 二、 组合截面的惯性矩计算 2.平行移轴公式 截面对任一轴的惯性矩,等于它对

15、 平行该轴的形心轴的惯性矩,加上截面面 积与两轴间距离平方的乘积。 2 1y A y IIb 2 1 A zz IIa b b h h y y C C z z z z1 1 1 33 22 A( ) 1223 zz bhhbh IIabh 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析31 第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式 三、 矩形截面的静矩 b b h h y y C C z z z d C A Sy AA y z 00 C SA ybh 思考思考: :矩形截面对过形心矩形截面对过形心 的中性轴的静矩：的中性轴的静矩： 梁横截面上距中性轴为 y y 的横线以外部分的面积A*对

16、中性轴的静矩 y y A* 2 *2 z0 () 2 ()() 2224 h y hb h SAybyyy d yC A Sz AA z 图形对于 y 轴的静矩 图形对于 z 轴的静矩 C点是图形的形心, 坐标为: xC ,yC 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析32 第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式 四、 组合截面的形心坐标 A Ay A S y Az C d Cy AzS A y AzSd A z AySdCz AyS A Az A S z A y C d 已知静矩可以确定图形的形心坐标 已知图形的形心坐标可以确定静矩 C点是图形的形心, 坐标为: xC ,yC

17、（2）截面对形心轴的静矩等于零。 讨论:（1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析33 第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式 四、 组合截面的形心坐标 截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截面对于同一轴的静矩。 对于组合截面 n i CiiCnnCCy n i CiiCnnCCz zAzAzAzAS yAyAyAyAS 1 2211 1 2211 11 11 , nn iCiiCi y iiz CCnn ii ii A yAz S S yz AA AA 所以,组合截面的形心坐标计算公式为: 建筑力学第九章梁的应力解析

18、建筑力学第九章梁的应力解析34 第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式 补充例题:计算图示截面的形心C 位置。 x x y y 取x 轴和y 轴分别与截面的底边和左边缘重合。 将截面分为 1，2 两个矩形。 解： 1 1 2 2 O 1010 1010 120120 8080 矩形 1 2 1 10 1201200mmA 1 5mm c x 1 60mm c y 矩形 2 2 2 10 70700mmA 2 70 1045mm 2 c x2 5mm c y 2c x 2c y 1c x 1c y mm20 21 2211 1 1 AA xAxA A xA x cc n i i n i cii

19、 c mm40 21 2211 AA yAyA y cc c C (20,40) 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析35 第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式 例 91 由两个20a号工字钢和两块钢板组成的截面如图所示。 求组合截面对它的形心轴 z 的惯性矩。 解: 由型钢表查得每个20a 号工字钢 对 z 轴惯性矩为: 484 z m102370cm2370 I 每块钢板分别对自己形心轴的惯性矩为: 33 64 z1z2 0.4 0.04 2.13 10 m 1212 bh II 利用平行移轴公式求每块钢板对 z 轴的惯性矩: 2 z1z21z IIIa A h 624

20、4 2.13 10 +(0.1+0.02)0.04 0.4=2.325 10 m 200cmh 组合截面对 z 轴的惯性矩: 66 zz1 64 2()2 (23.7 10 +232.5 10 ) =512.5 10 m z III 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析36 第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式 教材 9-4(a): 求下列图形对 z 轴的惯性矩( z 轴通过形心)。 解: 44 44 12 z,a12 () 646464 dd Idd 33 33 1 122 z,b1 122 1 () 121212 bhb h Ibhb h 建筑力学第九章梁的应力解析建筑

21、力学第九章梁的应力解析37 第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式 补充例题 求C 截面 K 点正应力。 已知 F =1.5kN，a =2m，y=0.06m,b=0.12m， h=0.18m。 解： y y K b b h h z z C a kN.m325 . 1FaMC 33 54 0.12 0.18 5.832 10 m 1212 z bh I 3 5 3 10 0.063.09MPa 5.832 10 C KK z M y I z CK My I 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析38 第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式 例 9-2 图所示长为l 的T 形截面

22、悬臂梁,自由端受集中力F 作用。已知F = 15 kN, l = 1 m。试求截面A 上1,2,3 点的正应力(尺寸单位为mm)。 解： (1)确定截面形心位置 取z 轴与截面的上底边重合。 z z y y 形心一定在对称 轴 y 上。 矩形 1 2 1 20 1202400mmA 1 20 10mm 2 y 矩形 2 2 2 20 1202400mmA 2 120 2080mm 2 y 1122 12 2400 102400 80 mm=45mm 24002400 C A yA y y AA 0 C z z z 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析39 第三节 常用截面梁的惯

23、性矩、平行移轴公式 例 9-2 图所示长为l 的T 形截面悬臂梁,自由端受集中力F 作用。已知F = 15 kN, l = 1 m。试求截面A 上1,2,3 点的正应力(尺寸单位为mm)。 解： (2)确定截面对z轴的惯性矩 z z y y 矩形 1 3 2 4 1 64 120 20 20 12045 10mm 12 3.02 10 mm z I 矩形 2 z z 3 2 4 11 64 20 120 20 1208045mm 12 5.82 10 mm z I T 形截面对 z 轴的惯性矩为 66464 111 3.02 105.82 10mm8.84 10 mm zzz III 建筑力学

24、第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析40 第三节 常用截面梁的惯性矩、平行移轴公式 例 9-2 图所示长为l 的T 形截面悬臂梁,自由端受集中力F 作用。已知F = 15 kN, l = 1 m。试求截面A 上1,2,3 点的正应力(尺寸单位为mm)。 解：(3)计算截面A上1，2，3点的正应力 64 8.84 10 mm z I 15kN 1m15kN.m A MFl 截面A上的弯矩 3 11 6 15 10 0.04576.36MPa 8.84 10 A z M y I 3 22 6 15 10 0.0450.0242.4MPa 8.84 10 A z M y I 3 32 6 1

25、5 10 0.120.020.045161.2MPa 8.84 10 A z M y I （拉） （拉） （压） 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析41 第四节 梁的切应力 一、矩形截面梁的切应力 b b z z y y C C 2 h 2 h S z z F S I b S F横截面上的剪力 z I 整个截面对中性轴的惯性矩 z S梁横截面上距中性轴为 y 的横线以外部分 的面积A*对中性轴的静矩 b 所求切应力点的位置的梁截面的宽度。 y y A* 2 2 () 24 z b h Sy 矩形截面梁切应力计算公式: 2 2 S 3 6 () 4 Fh y bh 建筑力学第九

26、章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析42 第四节 梁的切应力 一、矩形截面梁的切应力 b b z z y y C C 2 h 2 h y y A*矩形截面梁切应力计算公式: 2 2 S 3 6 () 4 Fh y bh 1.1.在截面的两端，在截面的两端，y y = = h h/2/2 0 2.2.在中性层（轴），在中性层（轴），y y =0=0 22 SsS max 3 312 2482 z FFhFh Ibhbh S max 3 2 F bh 讨论： 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析43 第四节 梁的切应力 二、工字形及 T 字形截面梁的切应力 1.工字形截面梁腹板

27、上切应力计算公式: Sz z 1 F S I b o o y x b b1 1 z z y y F FS S 下翼缘 上翼缘 腹板 S F横截面上的剪力 z I 整个工字形截面对中性轴的惯性矩 z S 为所求应力点到截面边缘间的面积 (阴影面积)对中性轴的静矩。 1 b腹板厚度 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析44 第四节 梁的切应力 二、工字形及 T 字形截面梁的切应力 1.工字形截面梁腹板上切应力计算公式: Sz z 1 F S I b 1.在腹板的两端，切应力最小； min 2.在中性轴上，y =0SmaxS max 1 1 max z z z z F SF b I

28、b I S 查表可得 4.工字形截面梁剪力主要由腹板承担,而弯矩主要由翼缘承担。 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析45 第四节 梁的切应力 2. T 字形截面梁腹板上切应力计算公式: Sz z 1 F S I b 1.在腹板的下端， 0 2.在中性轴上，y =0 Smax max 1 z z F S I b maxz S是阴影面积对中性轴的 静矩 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析46 第四节 梁的切应力 例 93 图示矩形截面简支梁,已知 l = 2 m, h = 150 mm ,b= 100 mm, y1 = 50 mm,F = 10 kN。试求：(1

29、) m - m 截面上K 点的切应力, (2)若采用22a 号工字钢,求最大切应力。 解：(1)求m - m 截面上K 点的切应力 kN5 kN5 S 5kN K F 33 44 z 0.1 0.15 0.28 10 m 1212 bh I *33 z0 0.1 0.025 0.06250.156 10 mSAy 33 S K 4 5 100.156 10 278.57kPa 0.28 100.1 z z F S I b 或： 2 2 S 3 6 () 4 Fh y bh 1 1 01 () 2 =62.5mm 2 242 h y yhh yy 32 2 3 6 5 100.15 (0.05

30、) 0.1 0.154 277.8kPa 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析47 第四节 梁的切应力 例 93 图示矩形截面简支梁,已知 l = 2 m, h = 150 mm ,b= 100 mm, y1 = 50 mm,F = 10 kN。试求：(1) m - m 截面上K 点的切应力, (2)若采用22a 号工字钢,求最大切应力。 解：(2)若采用22a 号工字钢, 求最大切应力。 kN5 kN5 S 5kN K Fz 18.9cm z I S 3 S max 5 10 3.53MPa 0.189 0.0075 z z F S I b 查表得： 1 0.75cmb 建筑

31、力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析48 第五节 梁的强度条件 在横向力的作用下,梁的横截面一般同时存在弯曲正应力和弯曲切应力。 为了保证梁能安全地工作,必须使梁内的最大应力不超过材料的许用应力, 因此,对上述两种应力应分别建立相应的强度条件。 一、正应力强度条件 max S,max,max max z z FS Ib 二、切应力强度条件 利用强度条件，可解决三种不同类型的工程问题。 （1 1）强度校核；（）强度校核；（2 2）截面尺寸设计；（）截面尺寸设计；（3 3）确定许用载荷。）确定许用载荷。 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析49 第五节 梁的强度条件 一

32、、正应力强度条件 1. 中性轴为截面对称轴时 max maxmax z M y I Wz 称为弯曲截面系数 梁的正应力强度条件为 max max z M I y max z M W max z z I W y max max z M W （1）强度校核（2）截面尺寸设计（3）确定许用载荷 max max z M W max z M W max z MW 等截面梁内的最大正应力发生在弯矩最大的横截面且距中性轴最远的位置。 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析50 第五节 梁的强度条件 Wz 称为弯曲截面系数 max z z I W y 对矩形截面： 3 2 12 6 2 z bh

33、 bh W h 对圆形截面： 4 3 64 32 2 z d d W d 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析51 第五节 梁的强度条件 2. 中性轴为截面不对称轴时 比如铸铁等 脆性材料 制成的梁， 由于材料的 且梁横截面的 中性轴 一般也不是对称轴，所以梁的 maxmax )()( 梁上最大拉应力和最大压应力分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力。 梁的正应力强度条件为： M max () max () 思考：如不是脆性材料制成的梁，而是塑性材料的梁，需分别考虑吗？ 答：不需要。只需要求出正应力绝对值最大值 max即可。 ？ 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力

34、解析52 第五节 梁的强度条件 S,max,max max z z FS Ib 二、切应力强度条件 等截面梁内的最大切应力发生在剪力最大的横截面的中性轴上。 该最大切应力的值应满足 梁的切应力强度条件 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析53 第五节 梁的强度条件 注意： (1)在进行梁的强度计算时,必须同时满足梁的正应力强度条件和切应力强度 条件。但在一般情况下,正应力强度条件往往是起主导作用的。 (2) 在选择梁的截面时,通常是先按正应力强度条件选择截面尺寸, 然后再进行切应力强度校核。 (3)对于某些特殊情况,梁的切应力强度条件也可能起控制作用。 例如,梁的跨度很小,或在

35、支座附近有较大的集中力作用,这时梁可能出现弯矩 较小,而剪力却很大的情况,这就必须注意切应力强度条件是否满足。 又如,对木梁,在木材顺纹方向的抗剪能力很差,也应注意在进行正应力强度较 核的同时,进行切应力的强度校核。 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析54 第五节 梁的强度条件 等直梁的弯曲强度计算步骤 根据梁的约束性质，分析梁的受力，确定约束力。根据梁的约束性质，分析梁的受力，确定约束力。 画出梁的内力图；由此确定可能的危险截面画出梁的内力图；由此确定可能的危险截面( (最大内力处最大内力处) )。 根据应力分布，确定危险点根据应力分布，确定危险点( (最大应力处最大应力处

36、) )。 应用强度条件进行强度计算。应用强度条件进行强度计算。 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析55 第五节 梁的强度条件 例 9 4 一矩形截面简支木梁,梁上作用均布荷载。已知l =4 m,b = 140 mm, h = 210 mm,q = 2 kN/m;弯曲时木材的许用拉应力 =6 .4 MPa。 试校核梁的强度并求梁能承受的最大荷载。 解： （1）校核强度 最大弯矩发生在跨中截面上,其值为 kN.m442 8 1 8 1 22 max qlM 弯曲截面系数为 22 23 0.14 0.21 0.103 10 m 66 z bh W 最大正应力为 3 max max

37、2 max 4 10 3.89MPa 0.103 10 M W 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析56 第五节 梁的强度条件 例 9 4 一矩形截面简支木梁,梁上作用均布荷载。已知l =4 m,b = 140 mm, h = 210 mm,q = 2 kN/m;弯曲时木材的许用拉应力 =6 .4 MPa。 试校核梁的强度并求梁能承受的最大荷载。 解： （2）求最大荷载 根据强度条件 max z MW 而 所以得 26 22 8 8 0.103 106.4 10 3.29kN/m 4 z W q l 2 max 1 8 Mql 即梁能承受的最大荷载为3.29kN/mq 建筑力学

38、第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析57 第五节 梁的强度条件 例 9 5 一槽形截面外伸梁,梁上受均布荷载作用。已知 F =20 kN, q = 10 kN/m;材料的许用拉应力+=35 MPa，许用压应力- =140MPa 。 试按正应力强度条件校核梁的强度。 解： （1）作弯矩图 形心位置是（过程略） mm140mm,60 21 yy 按组合截面求截面对中 性轴的惯性据： 74 4 10 mm z I （2）确定截面几何性质量 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析58 第五节 梁的强度条件 例 9 5 一槽形截面外伸梁,梁上受均布荷载作用。已知 F =20 kN,

39、 q = 10 kN/m;材料的许用拉应力+=35 MPa，许用压应力- =140MPa 。 试按正应力强度条件校核梁的强度。 解：（3）B 截面强度校核 梁的上边缘受拉,下边缘受压。 33 max1 7 20 101060 4 10 30MPa B z M y I 1 2 60mm 140mm y y 33 max2 7 20 1010140 4 10 70MPa B z M y I 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析59 第五节 梁的强度条件 例 9 5 一槽形截面外伸梁,梁上受均布荷载作用。已知 F =20 kN, q = 10 kN/m;材料的许用拉应力+=35 MP

40、a，许用压应力- =140MPa 。 试按正应力强度条件校核梁的强度。 解：（4）D 截面强度校核 梁的上边缘受压,下边缘受拉。 33 max2 7 10 1010140 4 10 35MPa D z M y I 1 2 60mm 140mm y y 33 max1 7 10 101060 4 10 15MPa D z M y I 故梁的强度满足要求。 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析60 第五节 梁的强度条件 例 9 6 试为图示枕木选择矩形截面尺寸。已知截面尺寸的比例为 b h = 3 4,许用拉应力= 6 .4 MPa,许用切应力 = 2.5 MPa。 解： （1）作

41、剪力图和弯矩图 （2）按正应力强度条件设计截面 max 98 0.219.6kN.mMFa 3 33 max 6 19.6 10 3.06 10 m 6.4 10 z M W 2 ,3/ 4 6 z bh b W h 3 2 13 648 z h Wh h 3333 88 3.06 1024.48 10 m z hW 0.29mh 得: 33 =0.29=0.22m 44 bh 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析61 第五节 梁的强度条件 例 9 6 试为图示枕木选择矩形截面尺寸。已知截面尺寸的比例为 b h = 3 4,许用拉应力= 6 .4 MPa,许用切应力 = 2.5

42、 MPa。 解：（2）切应力强度校核 S,max 98kNFF 3 S max 33 98 10 2.31MPa 22 0.22 0.29 F A 取： 0.22m , =0.29mbh 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析62 第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 梁的弯曲强度主要是由正应力强度条件控制的, 所以,要提高梁的弯曲强度主要就是要提高梁的弯曲正应力强度。 梁的弯曲正应力强度条件： max max z M W 目的：降低梁的最大正应力！ 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析63 第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 梁的弯曲正应力强度条件： 一、 选择合理的

43、截面形状 对于同种材料，若Wz 则可承受的 M 梁的承载能力提高。 max max z M W 提高 用最少的材料获得最大弯曲截面系数。 选择较大的截面 A Wz 截面的合理形状,就是在截面面积相同的条件下。 比较不同形状截面的Wz 值。 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析64 W W z z A A =1.14cm=1.14cm W W z z A A =0.84cm=0.84cm W W z z A A =6.68cm=6.68cm z z y y b b h h h h=2=2b b z y d d No20aNo20a z y A A=35.5cm=35.5cm2 2

44、 A A=35.5cm=35.5cm2 2 A A=35.5cm=35.5cm2 2 第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 工字形截面比矩形截面合理；矩形比圆形截面合理。 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析65 z z y y b h 第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 矩形比正方形截面合理! 矩形与正方形截面比较： z z y y a 2 21 aAbhA 23 12 , 66 zz bha WW 2 1 3 2 1 z z Wbhh Waa z z y y d 正方形截面与圆形截面比较： 3 2 3 3 6 1.191 32 z z a W dW 2 2 23 4 d AaA

45、2 ad 正方形截面比圆形截面合理！ 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析66 z z y y b h 第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 矩形竖放与平放比较： 22 12 , 66 bhhb WW 1 2 1 Wh Wb z z y y h b 矩形竖放合理！ 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析67 第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 从应力角度分析： M z z x x y y 所以，在用料一定前提下，尽量减小中性轴附近的面积, 而使更多的面积分布在离中性轴较远的位置。 薄腹梁 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析68 maxmax ()( ）

46、 + 第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析69 思考:(2)脆性材料的梁合理截面形状? y y1 1 y y2 2 y y1 1 y y2 2 max () max () max max () () 第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 + 2 1 y y max )( max () 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析70 （a a） （b b）（c c） （d d） （b b） （d d） F F l l x x M M FlFl 第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析71 二、变

47、截面梁 F F x x l l z z y y b b h h( (x x) ) 第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 max max z M W )( )( max xW xM z ( ) ( ) z M x W x 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析72 (1) 若b不变， 则 按剪切强度要求进行修改设计： m maxaxh h F F h h1 1 第六节 提高梁弯曲强度的主要途径 F F x x l l6 ( ) Fx h x b ( ) ( ) z M x W x x 截面处：FxxM)( 2 ( ) ( ) 6 z bhx W x F F m maxaxh h 6 Fl b 2 3 1 b F h 建筑力学第九章梁的应力解析建筑力学第九章梁的应力解析