矩阵初等变换线性方程组求解

1、 矩阵的初等变换与线性方程组的求解矩阵的初等变换与线性方程组的求解 理论内容理论内容 应用举例应用举例 1. 矩阵的初等变换解线性方程组矩阵的初等变换解线性方程组 1. 利用初等变换求整数的最大公因数利用初等变换求整数的最大公因数 2. 利用初等变换解线性不定方程利用初等变换解线性不定方程 2. 矩阵的初等变换解矩阵方程矩阵的初等变换解矩阵方程 3. 矩阵的初等变换在求特征值与特征向量的应用矩阵的初等变换在求特征值与特征向量的应用 起点中文阅读起点中文阅读 http:/ 若阶梯形矩阵若阶梯形矩阵Bm n还满足： 还满足： （1 1）B的任一非零行的第一个非零元（每一的任一非零行的第一个非零元（

2、每一 行的首非零元或主元）均为行的首非零元或主元）均为1 1； （2 2）B的首非零元所在的列的其它元素均的首非零元所在的列的其它元素均 为为0.0. 则称则称Bm n为 为行最简形矩阵行最简形矩阵。 结论：结论：任何矩阵都可以通过行初等变换化任何矩阵都可以通过行初等变换化 为阶梯形，并进而化为行最简形（行最简为阶梯形，并进而化为行最简形（行最简 形唯一）。形唯一）。 理论内容理论内容 1. 矩阵的初等变换解线性方程组矩阵的初等变换解线性方程组 给出单位填充矩阵的概念之后，通过对给出单位填充矩阵的概念之后，通过对 线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行 初

3、等变换，初等变换，直接得出直接得出其基础解系或一般解。其基础解系或一般解。 定义定义1：对于对于mn阶行最简形矩阵阶行最简形矩阵B，按以，按以 下方法构造下方法构造sn矩阵矩阵C： 对任一对任一 i: 1is (1sn)，若，若B的某个首非零元位于第的某个首非零元位于第i列，则列，则 将其所在的行称为将其所在的行称为C的第的第i行，否则以行，否则以n维单位维单位 向量向量ei =(0, ,0,1,0, ,0)作为作为C 的第的第i行，称行，称 C为为B的的sn单位填充矩阵单位填充矩阵。 显然，单位填充矩阵的主对角线上的元素是显然，单位填充矩阵的主对角线上的元素是 “1” 或或“1”，若主对角线

4、上某一元素为，若主对角线上某一元素为“1”，则该，则该 元素所在的列之列向量称为元素所在的列之列向量称为C的的“J列向量列向量”。 定义定义2 2： 设设B为最简形矩阵，若为最简形矩阵，若B的单位填充的单位填充 矩阵矩阵C的任一的任一“J列向量列向量” ” 均为以均为以B为系数为系数 矩阵的齐次线性方程组矩阵的齐次线性方程组 b11 x1+b12x2+b1nxn=0 b21x1+b22x2+b2nxn=0 bm1x1+bm2x2+bmnxn=0 (1) 的解向量，则称的解向量，则称C与与B是匹配的（亦称是匹配的（亦称B与与 C是匹配的）是匹配的） 引理引理1 1 设设B为为mn行最简形矩阵，若

5、将行最简形矩阵，若将B 的第的第i列与第列与第j列交换位置所得矩阵列交换位置所得矩阵B仍为行仍为行 最简形，则最简形，则 （1）将）将B的的sn单位填充矩阵单位填充矩阵C的第的第i行与行与 第第j行交换位置所得矩阵行交换位置所得矩阵C即为即为B的的sn 单位填充矩阵，其中单位填充矩阵，其中maxi,j s。 （2）若）若C与与B是匹配的，则是匹配的，则C与与B也是也是 匹配的。匹配的。 证明：证明： 结论结论(1)(1)显然，下证显然，下证(2)(2)，因为，因为C与与 B是匹配的，故是匹配的，故C只能是只能是nn矩阵，矩阵， 从而从而C 也是也是nn 矩阵，设以矩阵，设以B为系数矩阵的方程组

6、为系数矩阵的方程组 为为(1)(1)，以，以B为系数矩阵的方程组为为系数矩阵的方程组为 b11 y1 1+b12y2+b1nyn=0 b21y1+b22y2+b2nyn=0 bm1y1+bm2y2+bmnyn=0 (2) 则由则由B与与B的关系可知对方程组的关系可知对方程组(1)(1)进行变量代换：进行变量代换： x1=y1 , , xj=yj , , xn=yn 就得到方程组就得到方程组(2)(2)，于是方程组于是方程组(1)的任一解向量交的任一解向量交 换换i,j两个分量的位置就是方程组两个分量的位置就是方程组(2)的一个解向量。的一个解向量。 又从又从C与与C的关系可知，的关系可知， C

7、的任一的任一“ J列向量列向量 ”均均 可由可由C的某一的某一“J列向量列向量 ”交换交换i,j 两个分量的位置后两个分量的位置后 得到，又由得到，又由C与与B是匹配的知，是匹配的知，C与与B也是匹配的也是匹配的. 引理引理1 1 任一任一nn行最简形矩阵行最简形矩阵B与其与其nn 单单 位填充矩阵位填充矩阵C是匹配的。是匹配的。 证明：证明： 1. 设设 1,11,21 2,12,22 ,1,2 1 00 0 10 (3)001 000000 000000 rrn rrn r rr rrn n n bbb bbb Bbbb 则以则以B为系数矩阵的其次线性方程组为：为系数矩阵的其次线性方程组为

8、： 11,111,221 22,112,222 ,11,22 0 0 (4) 0 rrrrnn rrrrnn rr rrr rrrnn xbxbxb x xbxbxb x xbxbxb x 而而B的填充矩阵为：的填充矩阵为： 1,11,21 2,12,22 ,1,2 100 010 (5)001 000100 000001 rrn rrn r rr rrn n n bbb bbb Cbbb 其所有其所有J列向量为：列向量为： r+1=(b1,r+1, ,br,r+1, 1,0, ,0) r+2=(b1,r+1, ,br,r+1,0, 1, ,0) n=(b1,n, ,br,n,0, , 0,

9、1) 显然它们都是方程组显然它们都是方程组(4)的解，即的解，即B与与C是是 匹配的。匹配的。 2. 2. 一般形式的行最简形矩阵一般形式的行最简形矩阵B显然总是可显然总是可 以通过一系列的第二类初等列变换（变换两列以通过一系列的第二类初等列变换（变换两列 的位置）化为的位置）化为(3)(3)的形式，从而的形式，从而B的单位填充矩的单位填充矩 阵阵C通过相应的初等行、列变换就变成矩阵通过相应的初等行、列变换就变成矩阵(5),(5), 由于这种变换是可逆的，据引理由于这种变换是可逆的，据引理2 2及引理及引理1(2)1(2) 知知B与与C是匹配的。是匹配的。 定理定理1 1 设齐次线性方程组设齐

10、次线性方程组 1111221 2112222 1122 0 0 (6) 0 nn nn mmmnn a xa xa x a xa xa x axaxax 的系数矩阵的系数矩阵A经一系列初等行变换化为最简经一系列初等行变换化为最简 形矩阵形矩阵B,则则B的的nn的单位填充矩阵的单位填充矩阵C的所的所 有有“J列向量列向量”构成方程组构成方程组(6)的一个基础的一个基础 解解 系系. 证明证明 设以设以B为系数矩阵的齐次线性方程组为系数矩阵的齐次线性方程组 为为(1)(1)，则，则(1)(1)与与(6)(6)同解，据引理同解，据引理2 2知知C的所有的所有 “J列向量列向量”构成方程组的解，且是构

11、成方程组的解，且是nr 个线性无关的解向量个线性无关的解向量( (其中其中r= =R( (A)=)=R( (B)， 从而构成方程组从而构成方程组(1)的一个基础解系，的一个基础解系， 也也 就是方程组就是方程组(6)的一个基础解系。的一个基础解系。 有解，其增广矩阵有解，其增广矩阵A经一系列初等行变换化经一系列初等行变换化 为行最简形矩阵为行最简形矩阵B，则，则B的的n(n+1)单位填充单位填充 矩阵的所有矩阵的所有“J列向量列向量”构成方程组构成方程组(7)的导的导 出组的一个基础解系，而出组的一个基础解系，而C的最后一列为方的最后一列为方 程组程组(7)的一个特解。的一个特解。 定理定理2

12、 2 设非齐次线性方程组设非齐次线性方程组 11112211 21122222 1122 (7) nn nn mmmnnm a xa xa xb a xa xa xb axaxaxb 证明证明 由定理由定理1，前一结论显然。下证的最，前一结论显然。下证的最 后一列为方程组的一个特解。后一列为方程组的一个特解。 作齐次线性方程组作齐次线性方程组 111122111 211222221 11221 0 0 (8) 0 nnn nnn mmmnnmn a xa xa xb x a xa xa xb x a xa xa xb x 则方程组则方程组(8)的系数矩阵即为方程组的系数矩阵即为方程组(7)的增

13、广的增广 矩阵矩阵A. *CC 由定理由定理1知知C的最后一个列向量是方程组的最后一个列向量是方程组 (8)的一个解，从而易知的一个解，从而易知C的最后一个列向的最后一个列向 量即为方程组量即为方程组(7)的一个特解。的一个特解。 于是于是B的的n(n+1)单位填充矩阵为：单位填充矩阵为： 例例1 求线性方程组求线性方程组 12345 12345 1345 1345 33 32454 24234 232 xxxxx xxxxx xxxx xxxx 的一般解。的一般解。 解解 方程组的增广矩阵为：方程组的增广矩阵为： 113113 324514 204234 102112 A 用初等行变换将用初

14、等行变换将A化为行最简形矩阵化为行最简形矩阵B: 102002 011001 000100 000010 B 写出写出B的的56单位填充矩阵单位填充矩阵C： 102002 011001 001000 000100 000010 C 于是方程组的导出组的基础解系为：于是方程组的导出组的基础解系为： 1 (2, 1, 1,0,0) T 而方程组的一个特解为：而方程组的一个特解为： 0 ( 2,1,0,0,0) , T 从而原方程组的一般解为：从而原方程组的一般解为： 011 ,k 其中其中k1为任意常数。为任意常数。 2. 2. 矩阵的初等变换解矩阵方程矩阵的初等变换解矩阵方程 设矩阵方程为设矩阵

15、方程为 (1) mnnsms AXB 其中其中Xns为所求，对方程为所求，对方程(1)有下面的结论：有下面的结论： 结果结果1 方程方程(1)有解的充要条件为：有解的充要条件为： ( )( ,), 0min , R AR A Brrm n 且且 (i) (i) 若若r=n，则，则(1)(1)有唯一解；有唯一解； (ii) (ii) 若若rn，则，则(1)(1)有无穷多解。有无穷多解。 结果结果2 设方程设方程(1)中中R(Amn)=r，且，且Amn的前的前r个个 列向量线性无关，则矩阵列向量线性无关，则矩阵(Amn,Bms)可经过一系可经过一系 列初等行变换化为如下形式列初等行变换化为如下形式

16、 () () (,) rrn rr s mnms m rs ECD AB OOE 此时，此时，(i)(i)方程方程(1)有解的充要条件是有解的充要条件是E(m r) s是 是 零矩阵；零矩阵； (ii)(ii)若若r=n，则，则Xns=Dns为为(1)(1)的唯一解；的唯一解； 为为(1)的导出方程的解的基础阵；的导出方程的解的基础阵； (iii)(iii) 若若rn，则矩阵，则矩阵 () () rn r nn r n r C F E 为为(1)的一个特解，从而的一个特解，从而(1)的一般解为的一般解为 rs ns D G O ()() (2) nsn n rn rsns XFHG 其中其中H

17、 ( (n r) ) s为所论域的任意矩阵； 为所论域的任意矩阵；Er为为r阶阶 单位矩阵；单位矩阵；O为相应阶的零矩阵。为相应阶的零矩阵。 若若s=1，则方程，则方程(1)为一般非齐次线性方程组为一般非齐次线性方程组 11 (3) mnnm A XB 此时基础阵此时基础阵F 的的(nr)个列向量即为导出个列向量即为导出 方程组的基础解系，方程组的基础解系，G为其一个特解。为其一个特解。 例例2 解矩阵方程解矩阵方程 1 1 1 11112 3 2 1 13017 (4) 0 1 2 26341 5 4 3 3121 11 X 解解 4543 1 1 1 1 1112 3 2 1 13017

18、(,) 0 1 2 2 6341 5 4 3 31 21 11 A B 22323 23 1 01152 33 01226341 0 0000000 0 0 000000 ECD OOE 因为因为E23为零矩阵，由结论为零矩阵，由结论2知知(4)有解。又有解。又 R(A45)=2a20,由辗转相除法知：由辗转相除法知： 证明：证明： a1=q1a2+r1,0r1a2, a2=q2r1+r2,0r2r1, rm-2=qmrm-1+rm,0rmrm-1, rm-1=qm+1rm（m1, rm=d） 于是，令于是，令 112 01010101 1111 mm A qqqq 则则 命题成立。命题成立。

19、 12 ,0 ,a aAd (2)假设当假设当 时时 ，命题成立。命题成立。 (2)nk k 则当则当 时，由假定知，存在时，由假定知，存在k阶可阶可 逆方阵逆方阵Ak k， ， 1n k 使得使得 ， 2311 , ,0,0 kk k a aaAd 其中其中 ， 1231 ( ,) k da aa 从而有从而有 1 123111 1 1 , , , , , ,0, ,0 k k kk k O a a aaa d OA 又由又由(1)知，存在二阶可逆方阵知，存在二阶可逆方阵 A2 2,使得 使得 112 2 , ,0a d Ad 其中其中 ， 111231 ( , ) ( , , , ,) k

20、 da da a aa 于是于是,令令 2 22 (1) 1 1(1) 21 1 k k kk kkk AO O A OAOE 则则 . 1231 , ,0,0 k a a aaAd 即当即当n=k时，命题成立，时，命题成立， 由归纳法知，由归纳法知， 当当n2时，命题成立。时，命题成立。 由命题由命题1的证明过程可以得出如下的证明过程可以得出如下两个推论两个推论： 推论推论1 设设a1,a2, ,an为不全为为不全为0的整数，则存在的整数，则存在 Z上的上的n阶可逆矩阵阶可逆矩阵B，使得，使得 12 ( ,)( ,0,0)(1) n a aa Bd 且且d是是a1,a2, ,an的最大公因数

21、，的最大公因数，B是一些初等是一些初等 矩阵的乘积。矩阵的乘积。 B的求法如下：将将a1,a2, ,an下面写一个单位下面写一个单位 矩阵，构成一个矩阵，构成一个(n+1) n矩阵，再对矩阵，再对A施行列施行列 初等变换，当初等变换，当A的第一行变成的第一行变成(d,0, ,0)时，则时，则 下面的单位阵便成了下面的单位阵便成了B。 即：即： 12 100 010 001 n aaa A 11121 21222 12 00 n n nnnn d bbb bbb bbb 1112211 (2) nn da ba ba b 推论推论2 设设 最大公因数最大公因数d 可表示可表示 成它们的线性组合：

22、成它们的线性组合： 12 , , , n a aa 例例3 求求115，570，935的最大公因数，并表的最大公因数，并表 示其线性组合。示其线性组合。 解：解： 作矩阵作矩阵A，并对，并对A的列作初等变换：的列作初等变换： 115 570 935 100 010 001 A 11511015 148 010 001 500 5216447 132 7227 500 5210 18187 75114 所以所以 (115,570,935)5d 且且 115 52570 1 935 ( 7) .d 2. 利用初等变换解线性不定方程利用初等变换解线性不定方程 命题命题2 设设n元一次不定方程元一次不

23、定方程 112212 ,(3) nnn a xa xa xc a aaZ 若若 , dc 12 (,) n a aad,则方程则方程(3)有整数解，其解为有整数解，其解为 11112 111 22122 121 121 12 11 ( , ,)(4) n n n n n nnnnn n c xbb tb t d c xbb tb t t ttZd c xbb tb t d 而而bij是是(1)中矩阵中矩阵B的元素。的元素。 证明：证明： 若若 , d c则由则由(2)得得 1112211 , nn ccc cababab ddd 1112211 , nn ccc xbxbxb ddd 是方程是

24、方程(3)的一组整数解。的一组整数解。 由由(4)得：得： 121 , n tttZ , 111121 221222 11 12 11 n n nnnnn nn cc xbbb dd xbbb tt B xbbb tt 由由(1)得得 1 2 112212 (,) nnn n x x a xa xa xa aa x 11 12 11 (,)( ,0,0) n nn cc dd tt a aaBdc tt 故故(4)(4)是方程是方程(3)(3)的解。的解。 设设 是方程是方程(3) 的任一整数解，则的任一整数解，则 1122 , nn xkxkxk 1122 (5) nn a ka ka kc

25、 由由 得得 1B 1 , B BBB B 再由再由(1)得得 1 12 (,)( ,0,0)( ,0,0) n a aadBB dB 11121 21222 12 ( ,0,0) n n nnnn BBB BBB B d BBB 11211 (,) n B dBdBdB 所以所以 ， 故再由故再由(5)得得 1112211 , nn aB dBaB dBaB dB 1112211 () nn c Bk Bk Bk B d 令 11112211 () , nn tB k Bk Bk B 11122 () nnnnnn tB k Bk Bk B 则则 111211 212222 1 12 1 n

26、 n nnnnn n c BBBk d BBBk t B BBBk t 1 21 . n k k B k 所以所以 1 2 1 1 n n c k d k t B k t 故故(4)代表了方程代表了方程(3)的任一整数解。的任一整数解。 1 2 n k k B B k 例例4 求四元一次不定方程求四元一次不定方程 的所有整数解。的所有整数解。 1234 30636063027036xxxx 解：作矩阵解：作矩阵A，并对的列作初等变换：，并对的列作初等变换： 306360 630 270 1000 0100 0010 0001 A 14 21 27090 630 306 0001 0100 00

27、10 1100 cc cc 31 41 2 270909036 0001 0100 0010 1121 cc cc 14 21 2 361890270 1200 0100 0010 1121 cc cc () 31 41 1 1 2 7 2 1 18361818 2127 1000 0010 1108 cc cc cc c 21 31 41 2 18000 2505 1211 0010 1317 cc cc cc 于是：于是：d =18=18且且18|3618|36， , 2505 1211 0010 1317 Q 故原不定方程有整数解，且其所有解为：故原不定方程有整数解，且其所有解为： 11

28、3 2123 123 32 4123 4 55 2 2 ( , , ) 2 37 xtt xttt t t tZ xt xttt 3. 矩阵的初等变换在求特征值与特矩阵的初等变换在求特征值与特 征向量的应用征向量的应用 物理、力学、工程技术中的许多问物理、力学、工程技术中的许多问 题在数学上都归结为求矩阵的特征值与题在数学上都归结为求矩阵的特征值与 特征向量问题由特征方程求特征值是特征向量问题由特征方程求特征值是 比较困难的。比较困难的。 而在现有的教材和参考资料由特征方程求而在现有的教材和参考资料由特征方程求 特征值总要解带参数的行列式，且只有先求特征值总要解带参数的行列式，且只有先求 出特

29、征值方可由方程组求特征向量有些文出特征值方可由方程组求特征向量有些文 献给出了只需通过行变换即可同步求出特征献给出了只需通过行变换即可同步求出特征 值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数值及特征向量的新方法，但仍未摆脱带参数 行列式的计算问题行列式的计算问题 下面给出一种只需对原矩阵进行行列互逆下面给出一种只需对原矩阵进行行列互逆 变换就可同时求出特征值与特征向量的结论，变换就可同时求出特征值与特征向量的结论， 进而讨论反问题进而讨论反问题. 定义：定义：设设A是是n阶方阵，如果存在数阶方阵，如果存在数 和和n维非维非 零向量零向量x，使得，使得Ax = x成立，则称成立，则称 为为A的特征的

30、特征 值，值，x是是A的对应特征值的对应特征值 的特征向量。的特征向量。 性质：性质： （1 1）若）若 i是是A的的ri重特征值，重特征值，A对应特征值对应特征值 i有有 si个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量( (siri) ) （2 2）若）若x1, ,x2都是矩阵都是矩阵A的属于特征值的属于特征值 0的特征的特征 量，则当量，则当k1, ,k2不全为零时，不全为零时，k1x1+k2x2仍是仍是A的的 属于特征值属于特征值 0的特征向量的特征向量. . （3）若）若 1 , , 2 , , , n是矩阵是矩阵A的互不相同的特的互不相同的特 征值，其对应的特征向量分别是征值，其对应的

31、特征向量分别是x1, ,x2, , ,xn, , 则则 x1,x2,xn线性无关线性无关 （4）若）若A=(aij)n n的特征值为 的特征值为 1 , 2 , n,则则 12n A 121122 , nnn aaa （5）实对称矩阵）实对称矩阵A的特征值都是实数，属于的特征值都是实数，属于 不同特征值的特征向量正交不同特征值的特征向量正交 （6）若）若 i是实对称矩阵是实对称矩阵A的的ri重特征值，则对重特征值，则对 应特征值应特征值 i恰有恰有ri个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 （7）设）设 为矩阵为矩阵A的特征值，的特征值，P(x)为多项式函为多项式函 数，则数，则P( )为矩

32、阵多项式为矩阵多项式P(A)的特征值的特征值 众所周知，求特征值与特征向量是比较繁众所周知，求特征值与特征向量是比较繁 琐的由特征方程求特征值总要解带参数的行琐的由特征方程求特征值总要解带参数的行 列式，且只有先求出特征值方可由方程组求特列式，且只有先求出特征值方可由方程组求特 征向量这里将给出一个新的有效方法，只需征向量这里将给出一个新的有效方法，只需 对原矩阵作行列互逆变换就可同时求出特征值对原矩阵作行列互逆变换就可同时求出特征值 及特征向量，为此给出如下定义：及特征向量，为此给出如下定义： 定义：定义：把矩阵的下列三种变换称之为行列把矩阵的下列三种变换称之为行列 互逆变换：互逆变换： （

33、1 1）互换）互换i, j两行，同时互换两行，同时互换i, j两列；两列； （2 2）第）第i行乘非零数行乘非零数k，同时第，同时第i列乘列乘1/k ； （3 3）第）第i行行k倍加到第倍加到第j行，同时第行，同时第j列列k倍倍 加到第加到第i列列. . 定理：定理：A为为n阶可对角化矩阵，并且阶可对角化矩阵，并且 TT AEDP ()(), 一一系系列列行行列列互互逆逆变变换换 其中其中 , n D 1 1 T n P 1 (,) (1,2, ) iiin bbin 则则 为为A的全部特征值，的全部特征值， 为为 A的属于的属于 i的特征向量的特征向量. 12 , n T ii 证证: : 由矩阵由矩阵行行初等变换初等变换等价于等价于左乘左乘相应初等矩相应初等矩 阵，矩阵阵，矩阵列列初等变换初等变换等价于等价于右乘右乘相应初等矩阵的相应初等矩阵的 性质及