线性控制系统教案4性能鲁棒

1、第四章 多变量反馈系统的性能和鲁棒性Performance and Robustness of Multivariable Feedback Systems 本章内容：? 主增益 principal gains ( 奇异值 singular values)? 系统性能的评估 assessing performance? 特征轨迹 characteristic loci? 算子范数 operator norms? 利用算子范数说明性能? 不确定的表示 representations of uncertainty? 稳定性鲁棒 stability robustness? 性能鲁棒 performa

2、nce robustness4.1 Introduction 使用反馈的目的： 减少不确定性的影响；不确定性：镇定不稳定系统。环境的扰动和噪声 (disturbance and noise)；系统本身的行为变化的不可预知 (unpredictable ways) 。系统的性能： 输出跟踪参考输入的能力系统的鲁棒性： 在外部扰动下系统回复原状的能力4.2 主增益 Principal gains (singular values)在 SISO 系统中： 稳定裕度 (stability margins) 和暂态响应 (transientresponse)可以由开环频率特性确定(增益特性gain ch

3、aracteristic)。MIMO 系统：增益不唯一，即 G(s)u(s)依赖于u(s)的方向(解释)。因此，研究的思路：从SISO系统单一的增益到 MIMO系统限制增益的范围，即使用矩阵范数限制比值:G(s)u(s)Iu(s)G ()y(s)|y(s)定义从向量的范数到诱导的矩阵范数欧氏范数(Euclidean vector norm)|G(s)| sup诱导的矩阵范数x 0 IIx|G s Hilbert 范数或谱范数(spectral norm)G的奇异值(singular values): GHG或GGH的正特征值 的平方根 G(s)的主增益(principal gains): G(

4、 j )的奇异值一般假设：一 12 L m _ 0称,为最大，最小主增益，一(G(j ) G(j ) s注意(G(j )与频率相关，与 g|2， G|不同。奇异值分解 (the singular value decomposition-SVD):orthogonal matrixG Y UH, Gm l, YhY I, UHU IGGh Y 2Yh , GhG U 2U hdiag 1, 2,L , mH U 1Yh, HGH H, GHG G , G? HG?表示G的伪逆(pseudo-inverse)，也直接表示为 G 1。1rank(G) min(m,l)(前面).rank(G) ran

5、k( ) r,G 1(j )的谱范数:Gl(j)|L1J)因此，Rj )y.(j )|1( ) |G(j )u(j )|Ty(j i30，-|u(j )|()上面最后不等式表明：多变量系统增益在最大主增益和最小主增益之间。 (the gain of a multivariable system is sandwiched betweenthe smallest and largest principal gains.)也说明特征值的绝对值在奇异值之间主方向 principal directions:|y|i(简要介绍)4.3使用主增益评估系统的性能The use of principal ga

6、ins for assessing performanceFigure HHdi痕k从图3.1 (P128)，得到下面关系式y(s) S(s)d(s) I S(s)P(s)r(s) I S(s)m(s) 或 y(s) I T(s)d(s) T(s)P(s)r(s) T(s)m(s)这里，1S(s) I G(s)K(s) 是灵敏度函数(sensitivity function)1T(s) I G(s)K(s) G(s)K(s)是补灵敏度函数(complementary sensitivity function)( 闭环传递函数 )评估闭环系统的干扰抑制(灵敏度)特性(disturbance-re

7、jection(sensitivity) properties):通过检查 S 的主增益。(1) 保持灵敏度尽可能小 (keeping sensitivity as small as possible)(2) 保 持测量 噪声传 播最小(to minimize the propagation of measurement noise)S和T的最小和最大主增益如图3.2 (P129)所示。疋.ivdoe mulhvajuable feedbackFlgurt 3 2 SmjUcsi utd ijiyesi princzpal gains of raulmirubie 0血ivuy funnier

8、. I5 池hd curves) and cotnf lemcntary- .wmith-iry funcrion T (dashed如果曲线(S)与(S)之间区域非常狭窄，那么可以精确地描述灵敏度特性(类似于 SISO系统)。通常，这个区域不很狭窄，则区域的上界(S)是重要的S(s) T(s) I(1)要求保持 VS)小，而 要求保持(T)小一一冲突(conflict) 设计时经常处于两难的境地 (be in a dilemma)，采取折中方案(trade-off)定理4.11 (S) _(T) 1 (S)，|1 p)| -(S) 1 (T)如果系统只有一个自由度(P(s) I )，那么参考

9、信号的传输特性由 传递函数T (s)的主增益确定。定义：(T(j ty)_(T(0)M2当频率范围在tyby时，由于传感器噪声，输入信号不能被很好的跟踪。所以，设计目标应为minimize( by ty)从图3.1可以得到另一个关系：u(s) Fi 1(s)K(s)P(s)r(s) F 1(s)K(s)m(s) d(s)1这里 Fi (s) I K(s)G(s)1如果要求保持控制信号小，那么一定保持(F K)小。而_(Fi 1K) (Fi 1T(K) (K)/_(FJ(FJ (I KG) (I KG) 1 (Kf(G)如果要求 _(F)? _(K)，则1(K)(G)? _(K)，因此1/一(K

10、) (G)? 1因此，如果要求控制信号小，只需要(G)? 1 或 _(K)= 1如果我们用最大或最小主增益估算系统的性能，通常考虑最坏情况(理论上)。实际设计中，一些不利的方向(the least favourablesignal directiona)可能并不出现，因此设计中不必太悲观。例如同时控制飞行器的偏航 (yaw)和滚角(roll angles)，略。4.4闭环和开环主增益之间的关系Relations between closed-loop and open-loop principal gains 对于SISO系统，闭环性能可以转换为对开环增益的要求，即对G(j )的要求(单位反馈

11、系统回比的模).开环增益(open-loop gain)闭环特性(closed-loop performance)通常对闭环系统的要求:(1)引理:GK) 1尽可能小(I GK) 1尽可能小(与(1)冲突)1跟踪参考信号(一自由度系统)：保持I (I GK) 1和1(与冲突)保持(K)尽可能小(与(1),(3)冲突)灵敏度：保持(I噪声传播：保持II (I GK)1控制能量最小化:max(0, (Q)1) (Q I) (Q) 1max(0_(Q)1) -(Q I) -(Q) 1上面四个要求进一步简化：(1) 灵敏度：(I GK)1 1/_(l GK) 1/(_(GK) 1) 1/_(GK) (

12、if_(GK)? 1)【(GK)尽可能大】(2) 噪声传播：Il (I GK)1 PI (GK) 1) 1 1/_(l (GK) 1) 1/_(GK)(GK)(if _(GK)= 1)【(GK)尽可能小】(3) 跟踪参考信号(一自由度系统)：I (I GK) 1 I or (I GK) 10(I GK) 1= 1 or _(I GK)? 1 or _(GK)? 1【(GK)尽可能大】(4) 控制能量最小化：【保持一(K)尽可能小】总结开环要求：(1) _(GK) large(2) GK) small(3) _(GK) large(4) (K) small(1),与(2),冲突，这与SISO系统

13、设计相同解决方案：如图3.3(P137)所示在低频段，让_(GK)大在高频段，让一 (GK)小控制能量：控制能量由矩阵Fi 1K (I KG) 1K确定_(FilK)(F1)_(K)需,(if -(I KG)? 1)4.5主增益与特征轨迹Principal gains and characteristic loci定义：Q(s)是方阵，称Q(s)是正规的(normal),如果QHQ QQH。 引理：设Q(s)是正规阵，且Q(s) W(s) (s)W 1(s)，(s) diag i(s)，则 WH (s) W 1(s) o定理4.2:设Q(s)是正规阵，具有特征值 i(s)和主增益 i(s),

14、则i(s)经排序后有i(s) | j(S)| o定理表明，我们可以用特征轨迹的模估算闭环特性，这个结果在设计中(比分析中)更有用。(设计K使GK是正规的)o4.6 性能的局限性 Limitations on performance理想的、但不能实现的开环增益特征如图3.4(P141)所示。接近这个特征在穿越频率处将伴随着过多的相位滞后，所以不可避免地 导致系统不稳定(或条件稳定)o4.6.1 增益-相位关系 Gain-phase relationships性能指标转化为开环主增益指标(specification)，按图3.3(P137),对于 1 , - (GK) L,且 L 1，而对于2,

15、- (GK)。并且从_()IG(j )u(j )|u(j )()得()i(j ) _()，(或(GK)i(GK) 一(GK)()I i(j )()(),()-谱半径 spectral Radius)更进一步，有det(GK) i(GK)det(GK)i(GK)Bode 幅值-相位关系(Bodegain-phase relationship) (chp 1)设Q(s)是最小相位系统传递函数，极零点在开左半平面上，且设L( ) log|Q(j ),( ) argQ(j ), log( / )则(Bode 1945):() dL( )logcoth /2d d由于logcoth /2 I 2 ()，

16、得近似公式dL()根据Bode幅值-相位关系，设 det(GK)是最小相位的，贝U当argdet(GK) mlog(L/ )2 log( 2/ )approximately4.6.2 右半平面零点和极点Right half-plane zeros and poles是否单个轨迹服从Bode增益-相位关系？Smith 1982:如果回比的特征值函数在右半平面没有分支点(branch points)，那么单个轨迹也服从增益 -相位关系。分支点：s so, i (G(so)K(s)j(G(s0)K(So),右半平面上分支点尚未认识清楚。4.7-4.9 略4.8 算子范数 Gl2 和 IGThe op

17、erator normsGsup(G(j ),图 3.5 所示(P147).IgH IIG |h|G|supy24.10 不确定性表示Representations of uncertainty4.10.1 非结构不确定性Unstructured uncertainty经典的反馈系统设计处理对象不确定问题是通过给定的幅值裕度或相角裕度或谐振峰值M等。这样的设计适合相当粗略的模型。非结构不确定性一一 模型不是精确已知，但已知界。设Go(s)是标称(nominal)传递函数，是真实对象的估计模型设G(s)是被控对象的真实传递函数，则G(s) G(s)a(s) 加摄动(additive pertur

18、bation)或 G(s) G(s)li(s) 输入乘摄动(input multiplicativeperturbation)G(s) Io(s)G(s)输出乘摄动(output multiplicativeperturbation)仅通过或()限制摄动的大小，或设W%，W, W2是最小相位传函，作为与频率有关的权函数(weighting function).可以总设|%1。加性模型常被用于研究鲁棒控制问题，可得到漂亮(nice)解。乘性模型更实际，因为|与| oil表示相对幅值而不是绝对幅值(magnitudes).例如，|0.1 暗含 |G GjIGj I J O.1|G|而 | a|0.

19、1 暗含 |G G|I0.1例 4.1 流速模型 flow-rate model:流速100 kmol/min 10 kmol/min通过流速测量控制伺服控制阀门影响这个变化，流测量误差在1以内，当流速变化从 100到110kmol/min时实际变化到111 kmol/min可能发生，误差变化大约10%,这样，对象模型不确定性可以表示为i diag k,kl 0.1 或 i diag k, |101还有另一些乘摄动模型，如G(s) I(s)G(s)l何G(s) Ir(s) G(s)G(s) N(s)D 1(s) MFD 矩阵分式描述，这里N(s)N(s)n(s) , D(s) D(s)d(s)

20、4.10.2 结构不确定性Structured uncertainty例4.1中，如果有两个阀门，不确定性表示为10i 02k| 0.1但如果记10 i1，我们将失去所有结构信息，因为也允许摄动为00.11 0.1 0.1i 00和iV2 0.1 0.1结构不确定性-模型中某位置具有不确定性。非结构不确定性描述通常导致补偿器的设计有更大的(不必要的)保守性(conservative)。4.11 稳定性鲁棒 Stability robustness检查一个具体的系统模型是否对其不确定性是鲁棒的4.11.1 非结构不确定性Unstructured uncertaintyG(s) G(s)a(s)a

21、 W%W2，I %|1，AND ROBUSTNESS OF MULTTVaJUABLE FEEDBACKL图3.13 (P159)带有加不确定性的反馈环。*LLrynJHgnrv 3A3 Feedback loop ounLuining pUnt with addicKc unccruiniy.图3.14 (P160)与图3.13等价的结构(按图3.9(P155)的形式表示)Figure 3.14 l*hc feedback bop S Hgu 3 13 redrawn in the form M 电哄 眇Qi GK(I GoK) 1Q12 (I GoK) 1W1Q21 W2(I KG0) 1

22、KQ22W2(I KG0) 1K检查反馈系统是否在允许摄动范围内稳定。无摄动时闭环系统稳定：Qii , Q12, Q21 , Q22 (指数)稳定(这时称K镇定 Go)。有允许摄动 时，设是稳定的，则反馈系统可以是不稳定的， 仅当Q22%a的特征轨迹包围点 1。根据一般Nyquist定理，有(Q22%a)2%)一2%)任意特征值谱半径(spectral radius)最大主增益如果在每个频率上，一(Q22%) 1，即Q22%1，则闭环系统稳定。由于02%|021| |%|，且| %|1，所以|Q1是闭环系统对任意可能摄动稳定的充分条件，由于： |%|1的任意性，Q221也是闭环系统稳定的必要条

23、件(书中详细证明一略)。任意:%II1 ,%, Q22稳定，则(I Q22%) 1稳定Q22I1.-小增益定理，一般表示为：小增益定理(small gain theorem): ,Q稳定(在其变化范围内具有任意性)，反馈控制系统(，Q)内部稳定的充分必要条件是：I II , IQI1/ 或门,IQ1/ .3.11.2 结构不确定性 Structured uncertainty如图3.9(P155),是块对角结构：diag 1,L , n,1Q221是系统鲁棒稳定的充分条件，但条件是保守的(conservative)。BD :diag，“, j一个容许摄动使系统不稳定(destabilizes)当且仅当detl Q22(j ) (j ) 0对于某个和某个 BD1。定义0, detl Q22 0, for any BD(Q22(j ) min( (j ):detl Q22 0 otherwise BD而