向量知识点归纳与常见题型总结1

1、10向量知识点归纳与常见题型总结高三理科数学组全体成员2006 年11月、向量知识点归纳1 .与向量概念有关的问题向量不同于数量，数量是只有大小的量 （称标量），而向量既有大小又有方向；数量 可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“ a b ”错了，而| a | | b |才有意义.有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性 （大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是 向量相等的必要条件.单位向量是模为 1的向量，其坐标表示为（

2、X,y）,其中x、y满足x2 y2 = 1（可用（cos ,sin ） （0w 2兀）表示）.特别：表示与AB同向的单位向量。uuu uuur例如：向量(-uum-uuu-)(|AB| | AC|AB|0）所在直线过 ABC的也工（是BAC的角平分线所在直线）；uuu uurr例1、。是平面上一个定点，A日C不共线，P满足OP OA则点P的轨迹一定通过三角形的内心。uur uuurAB AC(-uuu- -uuur)|AB| |AC0,).（变式）已知非零向量AB与AC满足（零+ 一|A B| |A C|AC 一 AB) - BC =0 且7AC|AC|1，=2 ,则 MBC 为()A.三边均

3、不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形（06陕西）0的长度为0,是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段（7）相反向量（长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。）2 .与向量运算有关的问题向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则）当两个向量a和b不共线时，a b的方向与a、b都不相同，且|a b|v|a|+|b|； 当两个向量a和b共线且同向时，a b、a、b的方向都相同，且|a b向 向； 当向量a和b反向时，若|a|b|, a b与a方向相同，且| a b

4、 |=| a |-| b | ；-h,= ,F f=若 |a|v|b| 时，a b与 b 方向相同，且 | a + b |=| b |-| a |.向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。AB BC AC ; AB AC CB例2： P是三角形ABC内任一点，若 CB PA PB, R,则P一定在()A、ABC内部B、AC边所在的直线上 C、AB边上D、BC边上 2例 3、若 AB BC AB 0,则 ABC是：A.Rt B.锐角 C.钝角 D.等腰 RtA特别的：H b日ib，例4、已知向量a

5、(cos ,sin ),b (J3, 1),求12a b|的最大值。分析：通过向量的坐标运算，转化为函数(这里是三角)的最值问题，是通法。解：原式=|(2cos .3,2sin 1) | (2cos 3)2 (2sin1)2=,?8 8sin( )。当且仅当2k5-(k Z)时，|2a b| 有最大值 4.,36评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式“|同 |b| |a b| |a| |b|就显得简洁明快。原式|2a| |b|=2|a| |b| 2 1 2 4,但要注意等号成立的条件(向量同向)。围成一周(首尾相接)的向量(有向线段表示)的和为零向量BC CD DA 0.( DABCD43

6、) 对空间任意两个向量a、b(bw0 ) , a /R),那么 a / b ；如，AB BC CA 0,(在 ABC中)AB 判定两向量共线的注意事项：共线向量定理b存在实数入使a=入b.-* +F-如果两个非零向量 a , b,使a = xb (入e* F反之，如a / b ,且b w0,那么a =入b .这里在“反之”中，没有指出a是非零向量，其原因为a=0时，与入b的方向规定为平行数量积的8个重要性质两向量的夹角为0w w兀.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.设a、b都是非零向量，e是单位向量，是a

7、与b的夹角，则e a a e | a | cos .( | e | 1)F -F-F -* a b a b 0 ( . =90 , cos 0)在实数运算中ab=0a=0或b=0.而在向量运算中 a b = 0 a = 0或b=0是错误的,故a 0或b 0是ab=0的充分而不必要条件.当 a与 b 同向时 a b = |a | | b |( 二0,cos =1);当a与b反向时，a b=-|a| | b |(二兀，cos =-1),即a/ b的另一个充要条件是一 r rr r|a b| |a|b|.当 为锐角时，a?b0,且a、b不同向，a b 0是 为锐角的必要 r rr r非充分条件；当

8、为钝角时，a ?b0内分；0,b0),C(-1,h), E(x 1,y 1)2又 3 BEX1V125 2h T又 E、C两点在双曲线上,h2-4a b，解答:425a24h225b21,ab2a2=l,b2=6,双曲线的方程为：7x2-Iy2=1.776评析：解析几何与向量的综合，主要表现为用向量的语言来表述题意(如共线，垂直常表现为向量等式，有时也涉及向量的坐标形式)，其实其本质内容仍是本章节的知识的整合。本题中关键在理解两个向量等式(也即“向量的投影”)的几何意义，我们只要具备数学语言的“翻译”能力和简单的向量坐标运算的基础知识就可以了。例21 .设x, y R ,且x分析：观察不等式的结构特征,解决，不失为一种别致的想法。,11y 1,求证：(1 -)(1 -) x y可以联想向量数量积的性质“a b | a |b | ,构造向量证：设a (1,),b (1,1-)，则 a b 1 ，而 | a |xy|b|(111由a b |a|b|得,(a b)2 |a|2|b|2, (1 -)(1 -) (1 xyJxy)21)。y)29-y评析：根据题目所含代数式的结构特征，合理构造