导数用于单调性和极值问题

1、sin xf(x)=在区间n上单调递减.专题十四、导数用于单调性和极值问题题型一 利用导数判断函数的单调性1. 证明：函数题型二利用导数求函数的单调区间2. 求下列函数的单调区间.3x(1) f (x) = x-x; (2) y = e - x+ 1.3. 求函数y= x2- In x2的单调区间.题型三已知函数单调性求参数的取值范围2 a4. 已知函数f (x) = x +(xm 0，常数a R).若函数f (x)在x 2 ,+ )上是单调递增的, z.求a的取值范围.5. (1)已知函数f (x) = x3+ bx2 + cx + d的单调减区间为1,2，求b, c的值.(2)设f(x)

2、= ax3 + x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围.题型四用单调性与导数关系证不等式6. 当x 0时，证明不等式ln( x + 1) x -2x2.n7.当Ov xv g时，求证:x sinxv 6x.题型五、函数的极值问题8.下列函数存在极值的是()A. y = 2x1B. y =-xC. y = 3x 1D. y = x229 .设函数 f (x) = + ln x,x则()1A. x = 2为f (x)的极大值点1B. x =为f (x)的极小值点C. x = 2为f(x)的极大值点D. x = 2为f (x)的极小值点10. 若函数y = f (x)是定义在 R上的可导函数，则f

3、 (xo) = 0是xo为函数y = f (x)的极值点 的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 函数y= x ex的最小值为 .12. 若函数f (x)=弋匚心0)在1 ,+s 上的最大值为 V3,则a的值为x + a3题型六、利用极值求参数范围n3 n13. 已知函数f (x) = asi nx bcosx在x=才时取得极值，则函数 y = f(-厂一x)是()A. 偶函数且图象关于点(n, 0)对称3 nB. 偶函数且图象关于点(-厂,0)对称3 nC. 奇函数且图象关于点(-厂，0)对称D. 奇函数且图象关于点(n, 0)对称321

4、4 .已知函数f (x) = x + ax + bx+ c, f (x)在x= 0处取得极值，并且在区间0,2和4,5上具有相反的单调性.(1) 求实数b的值；(2) 求实数a的取值范围.题型七、导数用于解决实际问题15. 用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的 小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒.所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为()A. 6B. 8C. 10D. 1216. 一工厂生产某型号车床，年产量为N台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C2元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场(指库存量至多等于每批的生产量

5、)设每年每台的库存费为 C元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床 台，一年中库存费和生产准备费之和最小.题型八、图像问题17. 二次函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数y= f (x)的图象是如图所示的一条直线,y = f (x)的图象的顶点在()01A.第I象限B.第n象限C.第川象限D.第w象限18. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f (x)的图象可能是()巩固练习：119. 定义域为R的函数f (x)满足f (1) = 1,且f (x)的导函数f (x)，则满足2f(x)x+ 1的x的集合为()A.x| 1x1B.x|x1C.x|x1

6、D.x|x1n120. 函数 f(x) = si nx + 2xf (石),f (x)为 f (x)的导函数，令 a= 2, b= log 32，则下列32关系正确的是()A.f(a)f(b)B.f(a)f(b)C.f(a) = f(b)D.f (| a|)0 时，1 + 2x0时，(x k)f (x) + x+ 10,求k的最大值.专题十四、导数用于单调性和极值问题参考答案1.证明,xcos x sin xf (x)=则 cos x0,. xcos x sin f (x)0 , f(x)在 nn,x0，则 x 一 oo,l3和令 f (x)0,即 ex 10, 则 x (0 ,+o )；令

7、y 0,即 e 1 0在x 2 , +o )时恒成立， 2x3 a即 一2 0在x 2 ,+o )时恒成立.23-0，2 a0 , a 0(x 2 ,+s )有且只有 f (2) = 0,. a 的取值范围 x是(s, 16.2 25. 解(1) v函数f (x)的导函数f (x) = 3x + 2bx+ c,由题设知1x2是不等式3x + 2bx + c0, af(O) = 0证得.1 2规范解答令 f (x) = ln( x + 1) x + qx, (4 分)1x2贝Vf (x) =一1 + x=1+x.(6 分)当 x (0 ,+s )时，f (x) 0, f (x)在(0 ,+s )

8、上是增函数.(8分)于是当 x 0 时，f (x) f (0) = 0,1 2当x 0时，不等式ln( x + 1) x x成立.(12分)1 3( n7. 证明 设 g(x) = x sin x &x , x j0,sin7tx c , 0 vsin x v x, sin v , g (x) v 0 g (x) v 0,g (x) = 1 cos x x = 2 g( x)在0, 上单调递减,3 g(x) v g(0) = 0, x sin x v x .8. 答案D解析画出图像即可知y = x2存在极值f (0) = 0.9. 答案D解析本节考查了利用导数工具来探索其极值点问题., 2 1

9、 1 2 f (x)=二+ =-(1 一)= 0 可得 x = 2.xxx x当 0x2 时，f (x)2 时f (x)0 , f (x)单调递增所以x= 2为极小值点.对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域.10. 答案B解析女口 y = x3, y= 3x2, y | x= 0= 0，但x = 0不是函数y= x3的极值点. 111. 答案-e解析y= (x + 1)e0, x= 1.当 x 1 时，y 1 时 y 0r 1 -ymin = f ( 1)=e12. 答案3 1解析(x)=2小2x + a 2x2 当 x a时 f (x)0 , f (x)在(a,是递减的，当. ax

10、0 , f(x)在(a, a)上是递增的.当x=詁a时，f( a) =洽=彳，.a=f0.因为函数在单调区间0,2和4,5上具有相反的单调性，2所以应有 2w aw 4,解得6w aw 3.15. 答案B解析设截去的小正方形的边长为xcm,铁盒的容积为 Vsof,由题意，得 V= x(48 22x) (0x24) , V = 12(24 x)(8 x).令 V = 0,则在(0,24)内有 x= 8，故当 x= 8 时，V有最大值.16.答案C2N解析设每批生产x台，则一年生产N批. 一年中库存费和生产准备费之和y = Gx+C2Nx(o xN .y的最y = C 岁 由y= 0及0x0,4a

11、解析 设f (x) = ax2 + bx + c,：二次函数y= f (x)的图象过原点，二b=2ax+ b,由 y = f (x)的图象可知，2a0,a0,0,2a故选A.18. 答案A解析f(x)在(g, 0)上为增函数，在(0 ,)上变化规律是减t增t减， 因此f(x)的图象在(g, 0)上，f (x)0，在(0，+g )上f (x)的符号变化规律是负t正t 负，故选A.19. 答案B1解析 令 g(x) = 2f (x) x 1,： f (x)-, g (x) = 2f (x) 10, g(x)为单调增函数，:f(1) = 1,. g(1) = 2f(1) 1 1 = 0,当 x1 时

12、，g(x)0,即 2f(x)x+ 1,故选 B.20. 答案An解析: f (X) = cosx + 2f (),3nnn f，() = cos3 + 2f，(-3),即f ( P =- f (x) = sin x x.又 f (x) = cosx 1f(log 32),即 f (a) f (b).21. 答案A2(x) = 3x 3 = 3(x + 1)( x 1)，显然当 x1 时，f (x)0, f(x)单调递增，当一1x1 时，f (x)0, f(x)单调递减，.在 x =1时，f (x)取极大值f ( 1) = m 2,在x= 1时，f(x)取极小值f(1) = m 2. f (x)

13、 = 0 在0,2上有解,f 10,m 20,则/ 2 ，f 1 0,f此时无解；若a0,则if 2 0,63 5a洛综上知,6323. 答案(3, 2)232解析f (X)= 3x 3,设切点为 Rxo, yo)，则切线方程为 y (x。 3x。)=(3x0 3)( x X。) ,T 切线经过点 A(1 , m , m- (x0 3x0) = (3x 3)(1 x), m= 2x3 + 3x0 3 , m =6x + 6x0，当0x1时，此函数单调递增，当x1时，此函数单调递减，当X0= 0 时，m= 3,当 X0= 1 时，m= 2，当一3n0 时，e2X1, f (x) = 2(1 e2

14、X)0 时，f (x)0 时，1 + 2x e 0，即 1 + 2x0, f (x)在(0，+m )递增.2令 g(x) = ax + 2( a+1)x+ a A = 4( a+ 1)2 4 a2 = 8a+4当a0时,A 0,此时g(x) = 0的两根X1 =a+ 1a ,2a+ 1X2 = a+ 12a+ 1a/ a0,. X10, X20 , x (0，+m ) , f (x)0 故f(X)在(0，+m )递增.13 当 a0时，A = 8a + 4 0, 即卩 a 时，g(x) 0, f (x) 0,即一2a0,aa+12a+ 1 cX2=0a令 f (x)0 , x (X1, X2)

15、,f ( X)0时，f (x)在(0，+m )递增.1 当一2a0 时，f(x)在(xi, X2)递增，a+1 ：2a+1a+12a+1在(O,xd 和(X2,+s )递减(其中 X1=,X2=).aa当aw1 、2时，f (x)在(0，+m )递减.26.分析如图，设出AD的长，进而求出| AB表示出面积S,然后利用导数求最值.解析设矩形边长为 AD= 2x,32即 S= 8x 2x，二 S= 8 6x ,令 S= 0,解得 X1=3,当 0x0;当2S= 2x(4 x )(0 x2),一 2X2=3(舍去)3x2 时，S 0,38y=3当x=时，S取得最大值，此时，S最大=专,即矩形的边长

16、分别为 却、8时，矩形的面积最大.点评本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长.27. 解析(1)函数f(x)的定义域为(0 ,+ ),1 a 11f (x) = 4 x5x，由导数的几何意义，且切线与y=歹 垂直.15得 f (1) = 4- a-1=-2a= 4.亠A上X 53(2)由(1)知 f(x) = 4+ 4X lnx 2,2,151 x 4x 5 f( X) = ； , 2 _=2.4 4xx4x令f (x) = 0解得x= 1或5, 1不在定义域之内故舍去.当 x (0,5) , f (x)0 , f(x)在(5 ,+s )递增.5 13 f (x)在 x= 5 时取极小值 f (5) = +7 ln5 = ln5.4 4228. 分析解析(1) f (x)的定义域为( 一),f，(x) = ex- a.若a0，所以f(x)在(一8,+ )单调递增.若 a0,则当 x ( g, In a)时，f (x)0 ,所以f (x)在(-g, In a)单调递减，在(In a,+g )单调递增.(2)由于 a= 1，所以(x k) f (x) + x + 1 = (x k)(e x 1) + x+ 1. 故当 x0 时，(x k)f (x) + x+ 10 等价于x+ 1k0).e 1令 g(x) = e1+x,x .x x