椭圆的简单几何性质

1、2.1.2椭圆的简单椭圆的简单 几何性质几何性质(一一) 1 复习引入：复习引入：1。填下表。填下表 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 2 y o FF M x y xo F 2 F 1 M 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 定定 义义 图图 形形 方方 程程 焦焦 点点 F(F(c c，0)0)F(0F(0，c)c) a,b,c之间之间 的关系的关系 b b2 2=a=a2 2-c-c2 2 |MF1|+|MF2|=2a 复习2. 椭圆 上一点P到左焦点的距离是2， 那么它到右焦点的距离是 1 1216 22 yx o y x 二二. .椭圆的简单几何性质椭圆的简

2、单几何性质 观图，你看 到了什么？ 利用利用椭圆的标准方程椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质研究椭圆的几何性质 以焦点在以焦点在x轴上的椭圆为例轴上的椭圆为例 (ab0) 1 2 2 2 2 b y a x 讲授新课讲授新课 6 一、椭圆的范围：一、椭圆的范围： 结论：椭圆落在直线结论：椭圆落在直线 围成的矩形框中围成的矩形框中 o y B2 B1 A1 A2 F1F2 椭圆 的简单几何性质)0(1 2 2 2 2 ba b y a x ., 1, 1, 1 2 2 2 2 2 2 2 2 bybaxa b y a x b y a x byax, x 新知探究：新知探究： 7 y x O 22

3、22 1(0) xy ab ab 关于关于x轴对称轴对称 关于关于y轴对称轴对称 关于原点对称关于原点对称 二、椭圆的对称性二、椭圆的对称性 ),(yxP ),( 1 yxP ),( 2 yxP ),( 3 yxP （1）把y换成-y方程不变， 图象关于( )轴对称； （2）把x换成- x方程不变， 图象关于( )轴对称； （3）把x换成-x，同时把y 换成-y方程不变，图象 关于( ) 成中心对称. x y 原点 结论：坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称 中心（椭圆的中心）. 8 三、椭圆的顶点三、椭圆的顶点 )0(1 2 2 2 2 ba b y a x 1.什么是椭圆的顶点？什么是椭

4、圆的顶点？ o y B2 B1 A1 A2 F1F2 (0,b) (a，0) (0,-b) (-a，0) 长轴： 长轴长： ，长半轴长： 短轴： 短轴长： ，短半轴长： x 椭圆与它的对称轴的四个交点 2.如何求椭圆的顶点坐标？如何求椭圆的顶点坐标？ b c a ), 0(), 0( ),0 ,(),0 ,( 21 21 bBbB aAaA 叫做特征三角形 22F OBRt 线段A1A2 2 a 线段B1B2 2 b b a 9 练习练习1.根据前面所学有关知识在同一坐标系根据前面所学有关知识在同一坐标系 中画出下列图形中画出下列图形. 1 416 22 yx 1 916 22 yx （1）

5、（2） A1 B1 A2 B2 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x O 问题问题1 1：椭圆有些比较椭圆有些比较“扁扁”，有些比较，有些比较“圆圆”， 用什么刻画椭圆用什么刻画椭圆“扁扁”的程度呢？的程度呢？ 10 1 416 22 yx 1 916 22 yx 1 2 3 -1 -2 -3 -4 4 y 1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x A1 B1 A2 B2 O a保持不变时保持不变时， b就越小，此时椭圆就越扁就越小，此时椭圆就越扁 b就越大，此时椭圆就越圆就越大，此时椭圆就越圆 a b 可以刻画椭圆的扁平程度可以刻画椭圆的扁平程

6、度. 11 问题问题2 2：能用：能用 的大小刻画椭圆的扁平程度吗？的大小刻画椭圆的扁平程度吗？ c b a c 或 2 22 )(1 a b a ba a c a c a b c b 越大，椭圆越扁； a c 越小，椭圆越扁； c b .越大，椭圆越圆 c b .越大，椭圆越圆 a b 越小，椭圆越扁； a b .越小，椭圆越圆 a c o y F1F2 c b x a （合作探究） 12 四、椭圆的离心率四、椭圆的离心率 a c e 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比： 叫做椭圆的离心率叫做椭圆的离心率. o y F1F2x 刻画椭圆扁平程度的量刻画椭圆扁平程度

7、的量 2.为什么定义 为离心率呢？ a c e 答：答：1.1.椭圆的离心率可以形象地理解为在椭圆长轴不变的前提椭圆的离心率可以形象地理解为在椭圆长轴不变的前提 下，两个焦点离开中心的程度，这样规定为今后研究圆锥曲线下，两个焦点离开中心的程度，这样规定为今后研究圆锥曲线 的统一性等性质带来方便；的统一性等性质带来方便； 2.2.因为因为a、c这两个量是椭圆定义中固有的，是决定椭圆形状最关这两个量是椭圆定义中固有的，是决定椭圆形状最关 键的要素，随着今后的学习可以看到键的要素，随着今后的学习可以看到 还有更重要的几何意义还有更重要的几何意义. . a c 1.什么是离心率？ 13 a c e 1

8、离心率的取值范围：离心率的取值范围： 2离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响： 此时椭圆就越扁此时椭圆就越扁 2）e 越接近越接近 0，c 就越接近就越接近 0，此时椭圆就越圆此时椭圆就越圆 结论：离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆结论：离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆 越圆越圆. 因为因为 a c 0，所以，所以0 e 1 1）e 越接近越接近 1，c 就越接近就越接近 a， 14 标准方程标准方程 图图 象象 范范 围围 对对 称称 性性 顶点坐标顶点坐标 焦点坐标焦点坐标 半半 轴轴 长长 焦焦 距距 a,b,c关系关系 离离 心心 率率 22 22 1(0) xy

9、ab ab 关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称. 长半轴长为a， 短半轴长为b 焦距为2c )0( 1 2 2 2 2 ba b x a y ), 0(),0 ,(ba ), 0(),0 ,(ab )0,( c), 0(c 222 cba ) 10(e a c e x y O x y O bxbaxa,ayabxb, 关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称. 长半轴长为a， 短半轴长为b 焦距为2c 222 cba ) 10(e a c e 关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称. 长半轴长为a，短半轴长为b . 焦距为2c 222 cba ) 10(e a c e 讲授新

10、课讲授新课 试一试：椭圆 的几何性质 22 1 169 yx 1 916 22 xy 16 例1.已知椭圆方程为 分析：椭圆方程转化为标准方程为： 22 22 16254001 2516 xy xy a=5 b=4 c=3 它的长轴长是 短轴长是 焦距是 离心率是 焦点坐标是 顶点坐标是 4002516 22 yx 108 6 3 5 ( 3,0)( 5,0)(0, 4) 9x9x2 2 + y + y2 2 =81 =81变式： 动手试一试动手试一试 求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) 经过点经过点P(3, 0)、Q(0, 2); . 5 3 20)2(

11、，离心率等于，离心率等于长轴的长等于长轴的长等于 小结小结： 1.1.椭圆的基本要素：椭圆的基本要素： 19 2.2.数学思想方法：数学思想方法： （1）基本量：a、b、c、e（共四个量） （2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） （1）数与形的结合，用代数的方法解决几何问题; （2）分类讨论的数学思想 . 20 3 2 e 1.椭圆以坐标轴为对称轴，离心率椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 ，长轴长为，长轴长为6， 则椭圆的方程则椭圆的方程 为（为（ ） 1 2036 22 yx 1 59 22 yx 1 59 22 xy 1 2036 22 yx 1 2036 22 xy (A)(B) (C) (D)1 59 22 yx 或或 C 目标测试：目标测试： 2. 若椭圆的一个焦点与短轴的若椭圆的一个焦点与短轴的 两端点构成一个正三角形两端点构成一个正三角形, 则则 椭圆的离心率椭圆的离心率 e =_. F1 B1 B2 O c a x y b 2 3 21 知识巩固：