第三章 直线、圆、椭圆生成算法

1、第三章第三章 直线、圆、椭圆生成算法直线、圆、椭圆生成算法 图形的扫描转换（光栅化）：确定一个像素集合，用图形的扫描转换（光栅化）：确定一个像素集合，用 于显示一个图形的过程。步骤如下：于显示一个图形的过程。步骤如下： 1、确定有关像素、确定有关像素 2、用图形的颜色或其它属性，对像素进行写操作。、用图形的颜色或其它属性，对像素进行写操作。 对一维图形，不考虑线宽，则用一个像素宽的直线来对一维图形，不考虑线宽，则用一个像素宽的直线来 显示图形。二维图形的光栅化，即区域的填充：确定显示图形。二维图形的光栅化，即区域的填充：确定 像素集，填色或图案。像素集，填色或图案。 任何图形的光栅化，必须显示

2、在一个窗口内，否则不任何图形的光栅化，必须显示在一个窗口内，否则不 予显示。即确定一个图形的哪些部分在窗口内，哪些予显示。即确定一个图形的哪些部分在窗口内，哪些 在窗口外，即裁剪。在窗口外，即裁剪。 图形显示前需要：扫描转换图形显示前需要：扫描转换+裁剪裁剪 裁剪裁剪-扫描转换：最常用，节约计算时间。扫描转换：最常用，节约计算时间。 扫描转换扫描转换-裁剪：算法简单；裁剪：算法简单； 本章内容本章内容 ？扫描转换直线段？扫描转换直线段 DDA算法算法 中点画线法中点画线法 Bresenham画线算法画线算法 ？圆弧、椭圆弧扫描转换？圆弧、椭圆弧扫描转换 中点算法中点算法 内接正多边形迫近法内接

3、正多边形迫近法 等面积正多边形逼近法等面积正多边形逼近法 生成圆弧的正负法生成圆弧的正负法 直线段的扫描转换算法直线段的扫描转换算法 n直线的扫描转换直线的扫描转换: 确定最佳逼近于该直线确定最佳逼近于该直线 的一组象素，并且按扫描线顺序，对这的一组象素，并且按扫描线顺序，对这 些象素进行写操作。些象素进行写操作。 n三个常用算法：三个常用算法： 数值微分法（数值微分法（DDA） 中点画线法中点画线法 Bresenham算法。算法。 数值微分法（）数值微分法（） 假定直线的起点、终点分别为：（假定直线的起点、终点分别为：（x0,y0), (x1,y1)，且都为整数。，且都为整数。 (X i+1

4、 ,Yi + k) (X i , Int(Yi +0.5) (X i , Yi) 栅格交点表示象素点位置栅格交点表示象素点位置 。 。 。 。 数值微分数值微分(DDA)法法 n基本思想基本思想 已知过端点已知过端点P0 (x0, y0), P1(x1, y1)的直线段的直线段L y=kx+b 直线斜率为直线斜率为 这种方法直观，但效率太低，因为每一步需要一次浮点乘法这种方法直观，但效率太低，因为每一步需要一次浮点乘法 和一次舍入运算。和一次舍入运算。 01 01 xx yy k )(, ; 10 yroundx bkxy stepxxxxxx 令 数值微分数值微分(DDA)法法 计算计算yi

5、+1 i+1= kxi+1i+1+b = kxi i+b+k x = yi i+k x 当当 x =1;yi+1 i+1 = yi i+k n即：当即：当x每递增每递增1，y递增递增k(即直线斜率即直线斜率)； n注意上述分析的算法仅适用于注意上述分析的算法仅适用于 k 1的情的情 形。在这种情况下，形。在这种情况下，x每增加每增加1,y最多增加最多增加 1。 n当当 k 1时，必须把时，必须把x，y地位互换地位互换 数值微分数值微分(DDA)法法 n增量算法：在一个迭代算法中，如果每增量算法：在一个迭代算法中，如果每 一步的一步的x、y值是用前一步的值加上一个值是用前一步的值加上一个 增量来

6、获得，则称为增量算法。增量来获得，则称为增量算法。 nDDA算法就是一个增量算法。算法就是一个增量算法。 数值微分(DDA)法 void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color) int x； float dx, dy, y, k; dx= x1-x0, dy=y1-y0; k=dy/dx, y=y0; for (x=x0; xx1, x+) drawpixel (x, int(y+0.5), color); y=y+k; 数值微分(DDA)法 n例：画直线段P0(0,0)-P1(5,2) x int(y+0.5) y+0.5 000+0.5

7、 100.4+0.5 210.8+0.5 311.2+0.5 421.6+0.5 522.0+0.5 0 1 2 3 4 5 3 2 1 Line: P0(0, 0)- P1(5, 2) 数值微分数值微分(DDA)法法 n缺点：缺点： 在此算法中，在此算法中，y、k必须是必须是float，且，且 每一步都必须对每一步都必须对y进行舍入取整，不利于硬件进行舍入取整，不利于硬件 实现。实现。 中点画线法中点画线法 n原理：原理： 假定直线斜率假定直线斜率0K1，且已确，且已确 定点亮象素点定点亮象素点P（Xp ,Yp ）,则则 下一个与直线最接近的像素只下一个与直线最接近的像素只 能是能是P1点或

8、点或P2点。设点。设M为中点，为中点， Q为交点为交点 现需确定下一个点亮的象素。现需确定下一个点亮的象素。 P=(xp,yp) Q P2 P1 M 中点画线法中点画线法 n当当M在在Q的下方时，的下方时， P2 2离直线更近更近，取离直线更近更近，取 P2 2 。 。 nM在在Q的上方时，的上方时， P1 1离直线更近更近，取离直线更近更近，取P1 1 nM与与Q重合，重合， P1 1、P2 2任取一点。任取一点。 n 问题：如何判断问题：如何判断M与与Q点的关系？点的关系？ P=(xp,yp) Q P2 P1 M 中点画线法 假设直线方程为：ax+by+c=0 其中a=y0-y1, b=x

9、1-x0, c=x0y1-x1y0 由常识知，令F(x,y)=ax+by+c： 将任意（x,y）代入F(x,y) 欲判断M点是在Q点上方还是在Q点下方，只需把 M代入F(x,y),并检查它的符号。 点在直线下方 点在直线上方 点在直线上面 0, 0, 0, yxF yxF yxF P=(xp,yp) Q P2 P1 中点画线法 构造判别式：d=F(M)=F(xp+1,yp+0.5) =a(xp+1)+b(yp+0.5)+c 当d0，M在直线(Q点)上方，取右方P1； 当d=0，选P1或P2均可，约定取P1； 能否采用增量算法呢？ P=(xp,yp) Q P2 P1 中点画线法 若d0，则M在直

10、线上方，取P1; 此时再下一个象素的判别式为 d1=F(xp+2, yp+0.5) =a(xp+2)+b(yp+0.5)+c =a(xp +1)+b(yp +0.5)+c +a =d+a； 增量为a P=(xp,yp) Q P2 P1 中点画线法 n若d0，则M在直线下方，取P2; n此时再下一个象素的判别式为 d2= F(xp+2, yp+1.5) =a(xp+2)+b(yp+1.5)+c = a(xp +1)+b(yp +0.5)+c +a +b =d+a+b ； 增量为ab P=(xp,yp) Q P2 P1 中点画线法 n画线从(x0, y0)开始，d的初值 d0=F(x0+1, y0

11、+0.5)= a(x0 +1)+b(y0 +0.5)+c = F(x0, y0)+a+0.5b = a+0.5b 由于只用d 的符号作判断，为了只包含整数运算, 可以用2d代替d来摆脱小数，提高效率。 公式：已知两个端点P0(x0,y0),P1(x1,y1) a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0 d0 =2a+b d=d+a d 0,x=x+1 d=d+a+b d0,x=x+1,y=y+1 X从x0变化到x1 中点画线法 void Midpoint Line (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) int a, b, d1, d2

12、, d, x, y; a=y0-y1, b=x1-x0, d=2*a+b; d1=2*a, d2=2* (a+b); x=x0, y=y0; drawpixel(x, y, color); while (xx1) if (d0) x+; y+; d+=d2; else x+; d+=d1; drawpixel (x, y, color); /* while */ /* mid PointLine */ 中点画线法 n例：用中点画线法P0(0,0) P1(5,2) a=y0-y1=-2 b=x1-x0=5 d0=2a+b=1 d1=2a=-4 d2=2(a+b)=6 i xiyid 1 001

13、2 10-3 3 213 4 31-1 5 425 0 1 2 3 4 5 3 2 1 Bresenham画线算法 在直线生成的算法中在直线生成的算法中BresenhamBresenham算法是最有算法是最有 效的算法之一。令效的算法之一。令 k=y/x k=y/x，就，就 0k10k1的情况来说明的情况来说明BresenhamBresenham算法。算法。 由由DDADDA算法可知：算法可知： y yi+1 i+1=y =yi i+k (1)+k (1) 由于由于k k不一定是整数，由此式求出的不一定是整数，由此式求出的y yi i也也 不一定是整数，因此要用坐标为（不一定是整数，因此要用坐

14、标为（x xi i,y,yir ir） ） 的象素来表示直线上的点，其中的象素来表示直线上的点，其中y yir ir表示 表示 最靠近最靠近y yi i的整数。的整数。 Bresenham画线算法 设图中xi列上已用（xi,yir）作为表示直线的点， 又设B点是直线上的点，其坐标为（xi+1,yi+1），显然 下一个表示直线的点（ xi+1,yi+1,r）只能从图中的C或 者D点中去选。设A为CD边的中点。 若B在A点上面则 应取D点作为（ xi+1,yi+1,r），否则应取C点。 (x)的几何意义 为能确定B在A点上面或下面，令 (xi+1)=yi+1-yir-0.5 (2) 若B在A的下面

15、，则有(xi+1)0。由图可知 yi+1,r=yir+1，若(xi+1)0 (3) yi+1,r=yir， 若(xi+1)0 Bresenham画线算法 由式（2）和式（3）可得到 (xi+2)=yi+2 - yi+1,r - 0.5 =yi+1 + k - yi+1,r - 0.5 （4） yi+1 - yir -0.5 + k - 1,当(xi+1)0 yi+1 - yir -0.5 + k, 当(xi+1)0 (xi+2)= (xi+1) + k -1 ,当(xi+1)0 (xi+2)= (xi+1) + k , 当(xi+1)0 由式（1）和式（2）可得到 (x2)= k - 0.5

16、(5) 程序如下： BresenhamLine(x0,y0,x1,y1,color) int x0,y0,x1,y1,color; int x,y,dx,dy; float k,e; int e; dx = x1-x0; dy = y1-y0; k = dy/dx; e = -0.5; x=x0; y=y0; e = - dx; for( i=0; i 0) e = e - 1; e = e - 2*dx; if(e =0) y+; Bresenham画线算法 圆的扫描转换算法 下面仅以圆心在原点、半径R为整数的圆为 例，讨论圆的生成算法。 假设圆的方程为： X 2 + Y2 = R2 圆弧扫

17、描算法 nX 2 + Y2 = R2 Y = Sqrt(R 2 - X2) 在一定范围内，每给定一 X值，可得一Y值。 当X取整数时，Y须取整。 缺点：浮点运算，开方， 取整，不均匀。 y x 角度DDA法 x = x0 + Rcos y = y0 + Rsin dx =- Rsind dy = Rcosd xn+1 =x n + dx y n+1 =y n + dy xn+1 = x n + dx = x n - Rsind =x n - (y n - y 0 )d y n+1 = y n + dy = y n + Rcosd =y n + (x n - x 0 )d 显然，确定x,y的初值

18、及d值后，即可以增量方式获 得圆周上的坐标，然后取整可得象素坐标。但要 采用浮点运算、乘法运算、取整运算。 中点画圆法 利用圆的对称性，只须讨论1/8圆。第二个8分圆 P为当前点亮象素，那么，下一个点亮的象素可 能是P1（Xp+1，Yp）或P2（Xp +1，Yp +1)。 M P1 P2 P（Xp ，Yp ） 中点画圆法 构造函数：F（X，Y）=X 2 + Y2 - R2 ；则 F（X，Y）= 0 （X，Y）在圆上； F（X，Y） 0 （X，Y）在圆外。 设M为P1、P2间的中点，M=(Xp+1,Yp-0.5) M P1 P2 中点画圆法 有如下结论： F（M）M在圆内- 取P1 F（M）=

19、0 -M在圆外- 取P2 为此，可采用如下判别式： M P1 P2 中点画圆法 d = F(M) = F(xp + 1, yp - 0.5) =(xp + 1) 2 + (y p - 0.5) 2 - R2 若d=0, 则P2 为下一个象素，那么再下一个象素的判 别式为： d1 = F(xp + 2, yp - 1.5) = (xp + 2) 2 + (y p - 1.5) 2 - R2 = d + （2x p + 3）+（-2 yp + 2） 即d 的增量为 2 (xp - yp) +5. d的初值:d0 = F(1, R-0.5)= 1 + (R-0.5) 2 - R2 = 1.25 -

20、R M P1 P2 中点画圆法 MidpointCircle(int r, int color) int x,y; float d; x=0; y=r; d=1.25-r; drawpixel(x,y,color); while(xy) if(d0) d+ = 2*x+3; x+ elsed+ = 2*(x-y) + 5; x+;y-; 中点画圆法 n为了进一步提高算法的效率，可以将上 面的算法中的浮点数改写成整数，将乘 法运算改成加法运算，即仅用整数实现 中点画圆法。 n使用e=d-0.25代替d ne0=1-R 中点画圆法 n上述算法能否再改进呢？ n注意到d的增量是x,y的线性函数， n

21、每当x递增1，则d的增量递增x=2 n每当y递减1，则d的增量递增y=2 nx初始值=3；y初始值=-2r+2 n见173页算法。 Bresenham画圆算法 Bresenham画圆算法 现在从A点开始向右下方逐点来寻找 弧AB要用的点。如图中点Pi-1是已 选中的一个表示圆弧上的点，根 据弧AB的走向，下一个点应该从 Hi或者Li中选择。显然应选离AB最 近的点作为显示弧AB的点。 假设圆的半径为R，显然，当 xhi2 + yhi2 -R2 R2 - (xli2 + yli2)时，应该取Li。否则取Hi。 令di = xhi2 + yhi2 + xli2 + yli2 - 2R2 显然，当d

22、i 0 时应该 取Li。否则取Hi。 Pi-1Hi Li 应取Hi还是取Li Bresenham画圆算法 剩下的问题是如何快速的计算di。设图中 Pi-1的坐标为(xi-1,yi-1)，则Hi和Li的坐 标为(xi,yi-1)和(xi,yi-1-1 ) di = xi2 + yi-12 + xi2 + (yi-1-1)2 - 2R2 =2xi2 + 2yi-12 - 2yi-1 - 2R2 di+1 = (xi + 1)2 + yi2 + (xi + 1)2 + (yi - 1)2 - 2R2 =2xi2 + 4xi + 2yi2 - 2yi - 2R2 + 3 Pi-1Hi Li 应取Hi还

23、是取Li Bresenham画圆算法 当di取Hi - yi=yi-1，则 di+1 = di + 4xi-1 + 6 当di 0时-取Li - yi=yi-1-1，则 di+1 = di + 4(xi-1-yi-1) + 10 易知 x0=0，y0=R,x1=x0+1 因此 d0=12 + y02 + 12 +(y0 - 1)2 - 2R2 = 3 - 2y0 = 3 - 2R Pi-1Hi Li 应取Hi还是取Li 生成圆弧的正负法 原理： 设圆的方程为F(x,y)=X 2 + Y2 - R2=0; 假设求得Pi的坐标为(xi,yi)； 则当Pi在圆内时- F(xi,yi) 向右- 向圆外

24、 Pi在圆外时- F(xi,yi)0 - 向下- 向圆内 生成圆弧的正负法 即求得Pi点后选择下一个象素点Pi+1的规则为： 当F(xi,yi) 0 取xi+1 = xi+1，yi+1 = yi; 当F(xi,yi) 0 取xi+1 = xi， yi+1 = yi - 1; 这样用于表示圆弧的点均在圆弧附近，且使 F(xi,yi) 时正时负，故称正负法。 快速计算的关键是F(xi,yi) 的计算，能否采用增 量算法？ 生成圆弧的正负法 n若F(xi,yi) 已知，计算F(xi+1,yi+1) 可分两种 情况： n1、F(xi,yi)0- xi+1 = xi+1，yi+1 = yi; n - F

25、(xi+1,yi+1)= (xi+1 ) 2 +(y i+1 ) 2 -R2 n - = (x i+1) 2+ y i 2 -R 2 = F(x i,yi) +2xi +1 n2、 F(xi,yi)0- xi+1 = xi，yi+1 = yi -1; n - F(xi+1,yi+1)= (xi+1 ) 2 +(y i+1 ) 2 -R2 n - = x i 2+(y i 1) 2-R2 = F(x i,yi) - 2yi +1 n3、初始值：略 生成圆弧的多边形逼近法 ? 圆的内接正多边形迫近法 ? 圆的等面积正多边形迫近法 圆的内接正多边形逼近法 n思想：当一个正多边形的边数足够多时， 该多

26、边形可以和圆无限接近。即 n因此，在允许的误差范围内，可以用正 多边形代替圆。 n设内接正n边形的顶点为Pi(xi,yi), Pi的幅 角为i ,每一条边对应的圆心角为a，则有 nxi =Rcos i nyi =Rsin i 圆边正内接多边形） n n (lim 圆的内接正多边形逼近法 内接正内接正n边形代替圆边形代替圆 n计算多边形各顶点的递推公式计算多边形各顶点的递推公式 Xi+1 Rcos( a+ i) = Yi +1 Rsin (a+ i) Xi+1 cos a- sin a Xi = Yi +1 sin a cosa Yi 因为: a是常数， sin a， cosa只在开始时计算一

27、次所以，一个顶点只需4次乘法，共4n次乘法， 外加直线段的中点算法的计算量。 圆的等面积正多边形逼近 法 n当用内接正多边形逼近圆时，其面积要 小于圆的面积；而当用圆的外切正多边 形逼近圆时，其面积则要大于圆的面积。 为了使近似代替圆的正多边形和圆之间 在面积上相等，只有使该正多边形和圆 弧相交，称之为圆的等面积正多边形。 圆的等面积正多边形逼近法 步骤： l求多边形径 长，从而求 所有顶点坐 标值 l由逼近误差 值，确定边 所对应的圆 心角 椭圆的扫描转换 nF(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=0 n椭圆的对称性，只考虑第一象限椭圆弧生成， 分上下两部分，以切线斜率为-1的点作为分 界点。 n椭圆上一点处的法向： N(x,y) = (F) x i + (F) y j = 2b2 x i + 2a2 y j 在上半部分,法向量的y分量大 在下半部分,法向量的x分量大 上半部分 下半部分 法向量 两分量相等 M1 M2 在当前中点处，法向量（ 2b2 (Xp+1) ，2a2 (Yp-0.5)的y分量比x分 量大, 即： b2