等腰三角形三线合一典型题型[1]

1、v1.0可编辑可修改等腰三角形三线合一11姓名abc / bcd且点 e在ad上。例1:如图，四边形 abc由,ab/ dq be ce分别平分/求证：bc=ab+d c变 1:如图，ab/ cd / a= 90,ab= 2, bc= 3, cd= 1e是ad边中点。求证：cel bee变2:如图，四边形 abcd3, ad/ bc e是cdh一点，且 ae be分别平分/ bad /abc(1)求证：aebe；(2)求证：e是cd的中点；(3)求证：adbcabv1.0可编辑可修改、 一 ，一.一 , ，. . 一， ，、 、 一 一 ,、变3: abc是等腰直角二角形，/ bac=90 ,

2、ab=ac.若d为bc的中点，过 d作dml dn分别交 arbdc若dml dn分别和ba ac延长线交于 m 问dm dn有何数量关系。(1)已知：如图，ab=ac e为ab上一点，f是ac延长线上一点，且 be=cf ef交bc于点d.求证：de=df22v1.0可编辑可修改(2)已知：如图，ab=ac e为ab上一点，f是ac延长线上一点，且， ef交bc于点d,且d为ef的中点. 求证：be=cf利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在 abc, ab=ac p 为底边 bc 上的一点，pdl ab 于 d, ph ac 于 e, ?cf !ab于f,那么pd+pew cf相等吗

3、33v1.0可编辑可修改变1:若p点在直线bc上运动，其他条件不变，则 pd、pe与cf的关系又怎样，请你作 图，证明。44v1.0可编辑可修改551、已知等腰三角形的两边长分别为 4、9,则它的周长为()a 17 b 22 c 17 或 22 d 13根据等腰三角形的性质寻求规律例1.在 abc中，ab=ac z 1= / abc z 2= / acb bd与ce相交于点 o,如图，/ boc勺大小22与/a的大小有什么关系若/ 1 = 1/abc / 2=- /acr则/ bocw/ a大小关系如何33会用等腰三角形的判定和性质计算与亍例2.如图，等腰三角形 abc中，a正明ab=ac 一

4、腰上的中线bd?将这个等b ； -若/ 1 = 1/abc /2=2/acb，则/ bod/a大小关系如何nna腰二角形周长分成 15和6两部分，：利用等腰三角形的性质证线段相等例3.如图，p是等边三角形 abc内的一点，连结 pa pb、pc,连zcq(1)观察并猜想 ap与cq之间的大小关系，并证明你的结论.求这个三角形的腰长及底边长.q?以 bp为边作/ pbq=60 ,且 bq=bpv1.0可编辑可修改(2)若pa pb: pc=3: 4: 5,连结pq试判断 pqc勺形状，并说明理由.1、等腰三角形底边长为 5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为(a、2cm

5、b 、8cm c2cm或8cm d 、不能确定662、已知 ad为 abc的高,ab=ac abc周长为20cm, adc勺周长为14cm,求ad的长。例3、如图，已知 bc=3, / abc和/ acb的平分线相交于点 q oe/ ab, of/ ag 求 oef的周长。例4、如图，已知等边 abc中，d为ac上中点，延长 bc到e,使ce=cd连接de,试说明db=dea、5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45,则这个三角形是(例6、(1)等腰三角形的腰长为10,底边上的高为6,则底边的长为(2)直角三角形的周长为12cm,斜边白长为5cm,则其面积为(3)若直角三角形三边为1, 2,

6、 c,贝u c二锐角三角形 b 、钝角三角形c 、等边三角形 d 、等腰直角三角形v1.0可编辑可修改例7、下列说法：若在 abc中a2+b2wc2,则 abc不是直角三角形；若 abc是直角三角形，/ c=9c0,则a2+b2=c2;若在 abc中，a2+b2=c：则/ c=9c0;若两直角边的平方和等于斜边的平方，可以判定这个三角形是直角三角形。正确的有 （把你认为正确的序号填在横线上）。例8、正三角形 abc所在平面内有一点 巳使彳pab pbc pca都是等腰三角形，则这样的p点有（）（a） 1 个（b） 4 个（c） 7 个（d） 10 个9.四边形abcw,ab=bc/abg/cd

7、a90。，be!ad于点e,且四边形 abcd勺面积为8,则bea.b. 3c.2 2 d. 2/310.已知 abc为正三角形,p为其内一点，且ap=4, bp=2,3cp=2,则 abc的边长为77b(a)2店 (b) 2yj7(c)4(d)4 45013、如图是一个等边三角形木框，甲虫p在边框ac上(端点a c除外)另外两边距离之和为 d,等边三角形abc的高为h则d与h的大小关系是(【解题方法指导】例1.已知，如图，ab= ac= cr求证：/ b= 2/dv1.0可编辑可修改99例2.已知，如图， abc是等边三角形,ad（2005年苏州）如图，等腰三角形 abc的顶角为120 ,腰

8、长为10,则底边上的高 ad=/a= 30 ,例2.已知，如图，4abc中，zc= 90,ab的垂直平分线交ab于e,交ac于d,ad= 8,求cd的长。又bd与ce例3.已知，如图， abc是等边三角形，e是ab上一点，d是ac上一点，且 ae= cd,交于点f,试求/ bfe的度数。v1.0可编辑可修改10101.已知,如图,2.已知,如图,3.已知,如图,ab= ag / abd= / acd 求证：db= dcd e 是 bc上两点，ab= ac, ad= ae,求证：bd= ce abc中，de已知，如图， abc中，ab= ag d是ab上一点,e是ac延长线上一点， de交bc于

9、f,又bd= ce,求证：d已efv1.0可编辑可修改 e5. 已知，如图，d是bc上一点， abg 4bde都是等边三角形，求证：ad= ce11116. 已知，如图， abc中，/ b= 90 , ac的垂直平分线交 ac于d,交bc于e,又/ 0= 15 , ec=10,求ab的长。例6、如图11,在 abc中，/a= 90,ab= ac,d为bc边中点，e、f分别在abac上，且dex df,求证：ae+ af是一个定值.证明：连接aqab= ac, d为 bc中点，ad bc, . / bac= 90 , ab= ag . b= / c= 45 , ./ bad= 45 , / ca

10、d= 45 ,ad= bd= cd . / edf= 90 , .ed / adf= 90 ,又由 adl bc 得 / bd曰 /ade= 90 ,/ bde= /adr在 bd讶口 adf中，/ b= / daf, bd= ad, / bde= / adr bd段 adf,v1.0可编辑可修改，be= af, . . a曰 af= a曰 be= ab （定值）.思考：四边形aedf的面积是否也是定值呢为什么图11例4、如图9,已知 ad为4abc的高，e为ac上一点，be交ad于f,且有bf= ag fd= cd,你认为be与ac之间有怎样的位置关系你能证明它吗证明：线段be! ac,理由

11、如下：ad bc,，/adb= z adc= 90 , ./ fb / bfd= 90 ,在 rtbdf和 rtadc中，bf= ac, fd= c口 rtabdf rtaadc ./ bfd= / c,/ fb / c= 90 , ./ bec= 180 (/ fb / q =180 -90 =90 ,即 bex ac.例 5、如图 10,在 abc中，/ acb= 90 , ac= bq m是 ab上一点，求证： am 2 bm 2 2cm证明：过c作cd! ab于点d,. /acb= 90 , ac= bc cd ab,.z a= / b=45 , / acd= / bcd= 45.a=

12、 / acd / b=/ bcdad= bd, bd= cr 即 ad= bd= c口222- cdab,dm cd cm ,_22 、2、222、 am bm (ad dm ) (bd dm )2 (dm cd ) 2cm思考：请同学们试试用另外的方法来证明本题例1、如图5,在 abc中，ab= ag点 o在 abc内，ob=oq 求证：aql bc.证明：延长ao交bc于点d,1213v1.0可编辑可修改. ab= ac, ob= oc oa= oa.ab acobao / cao 即 / ba氏 / cad .ad，bc,即 aol bc.例2、如图6,在等边 abc中，d e分别在边

13、bg ba的延长线上，且 ae= br 求证：ce= de.证明：过 e作ef，cd于点f,.abc是等边三角形，b= 60，/ bef= 30 ,be= 2bf,即 ba+ ae= bc+ bd= 2bc+ cd= 2 （bo cf）,cd= 2cf,.-.cf= df,在cef和adef中，cf= df, / cfe= z dfe= 90 , ef= ef, . cem def 1- ce= de.pd ab于点d, pe! ac于点e,求例3、如图7,已知在 abc中，ab= ac, p为底边bc上任意一点,证：pa pe是一个定值解：连接ap,过点c作cf! ab于点f,abcpac1

14、-ab cf21 - ac pe2，s pab-ab211得：一ab cf ab pd221-ab pd , 2-ab 2s abc s pab s pac，1314即，pd pe cf （定值）说明：本例的结论可用文字语言叙述为：等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高拓展：如果点p不是在边bc上，而是在bc的延长线上，其它条件保持不变，那么pd与pe之间又有怎 样的关系呢解：连接ap,过点c作cf! ab于点f,（如图8）,11由 s abc -ab cf , s pab -ab pd , 22c1_1s pac-acpe ab pe ,pac22s abcs pabspac，一1

15、一11得：一abcf-ab pd-abpe,222v1.0可编辑可修改即,pd pe cf (定值).即，当点p在bc延长线上时，pd与pe之差为一定值.基础训练：1、填空题：(1)等腰三角形中，如果底边长为 6, 一腰长为8,那么周长是 。(2)如果等腰三角形有一边长是 6,另一边长是8,那么它的周长是 ;如果等腰三角形的两边长分别是4、8,那么它的周长是 。(3)等腰三角形的对称轴最多有 条。2、填空题：(1)如果 abc是等腰三角形，那么它的边长(或周长)可以是()a、三条边长分别是 5, 5, 11 b 、三条边长分别是 4, 4, 8c、周长为14,其中两边长分别是 4, 5 d、周

16、长为24,其中两边长分别是 6, 12(2)等腰三角形一边长为 2,周长为5,那么它的腰长为()a、3 b、2 c、 d 、2或3、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，周长为35cm,求等腰三角形各边的长。4、已知：如图，ad平分/ bac ab=ac请你说明 dbc是等腰三角形。5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组 x+2y=4的解,求这个三角形的各边长。(1)等腰三角形的顶角平分线、 、互相重合。(2)等腰三角形有一个角是120。，那么其他两个角的度数是 和。(3) abc中，/ a=z b=2/ c,那么/ c=。(4)在等腰三角形中，设底角为 x ,顶角为v ,则用含x的代数式表示v

17、,得丫=；用含y的代数式表示x,得x=2、选择题:1414v1.0可编辑可修改(1)等腰三角形的一个外角为140 ,那么底角等于()a、40b、100c、70 d、40 或 70(2)等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于()a、顶角 b 、底角 c 、顶角的一半 d、底角的一半(3)在等腰三角形 abc中，/ a与/ b度数之比为5 ： 2,则/ a的度数是()a、100b、75c 、150 d、75 或 100(4)等腰三角形 abc中，ab=ac ad是角平分线，贝u ” adbc,bd=dc/ b=z c,/ bad=/ cad中，结论正确的个数是()a、4 b 、3 c、2 d 、13、如图，已知 abc中，d在 bc上，ab=ad=dc z c=20 ,求/ bad15154、如图，已知 abc中，点 d e在bc上,ab=ac ad=ae请说明bd=ce勺理由。1、填空题:(1)在 abc中，/ a的相邻外角是110 ,要使 abc是等腰三角形，则/ b=(2)在一个三角形中，等角对 ;等边对 。(3)如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各内角的度数是则