定积分的应用[1]

1、第六章定积分的应用（ 1、 2）陈建英王江顺主编第一节定积分在几何上的应用（1、2）教学目的： 掌握定积分应用的微元法，会求在直解坐标下的平面图形面积教学重点、难点：用“微元法”确定所求量的“微元”教学形式： 多媒体教室里的讲授法教学时间： 90 分钟一、引入新课回顾曲边梯形求面积的问题曲边梯形由连续曲线、轴与两条直线、所围成。面积表示为定积分的步骤如下：(1) 把区间分成个长度为的小区间，相应的曲边梯形被分为个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形的面积为，则(2) 计算的近似值.(3) 求和，得 A 的近似值(4) 求极限，得A 的精确值1提示若用表示任一小区间上的窄曲边梯形的面积，则，并取于是二

2、、新授课1元素法的一般步骤：(1) 根据问题的具体情况，选取一个变量例如为积分变量， 并确定它的变化区间；(2) 设想把区间分成个小区间，取其中任一小区间并记为，求出相应于这小区间的部分量的近似值。如果能近似地表示为上的一个连续函数在处的值与的乘积，就把称为量的元素且记作，即；(3) 以所求量的元素为被积表达式，在区间上作定积分，得，即为所求量的积分表达式。这个方法通常叫做元素法。应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等。22 直角坐标系下的面积计算(1)平面图形由连续曲线yf1(x), yf 2 ( x)及直线 x=a,x=b 所围 成 , 并且在区间 a

3、,b 上 f1 (x) 如图 6-1 或如图 6-2 所示 .（图 6-1）（ 图 62）应用曲边梯形的面积(2) 平面图形由连续曲线x=g 1( y), xg2 ( y)及直线 yc, yd所围 成，并且在区间c,d上有 g1 ( y)g2 ( y) 见 (图 6-3)dS g1( y) g2 ( y)dy.c（图 6 3）例1计算由两条抛物线和所围成的图形面积。(1) 作图 .利用 Mathematica, 输入Plot x 0.5, x 2, x,0,1.2, AspectRatio1输出图形3解两曲线的交点，选为积分变量，面积元素，例 2计算由曲线和所围成的图形的面积。解两曲线的交点，

4、选为积分变量，于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式。问题：积分变量只能选吗？例2计算由曲线和直线所围成的图形的面积。4解两曲线的交点，选为积分变量，作图 .利有 Mathematica, 输入Plot (2 x) 0.5, (2 x) 0.5, x 4, x,0,8, AspectRatio1输出图形 ,如图所示 ;注意对于同一问题 , 有时可选取不同的积分变量进行计算, 计算的难易程度往往不同 ,因此在实际计算时 , 应选取合适的积分变量, 使计算简化 .例 4计算曲线 y3 x x2与曲线 yx33所围平面图形的面积 .解 (1)求交点的横坐标 .利用 Methematica解

5、方程 3xx2x33,输入NSolve3 x x2x33,输出x1.61803, x0.618034(2)作图 .作出曲线y 3x x2 与曲线yx33所围的平面图形，输出Plot3+x-x2, x 3 3, x,2,1, PlotRange 1.7,1输出图形 ,如图 6-6 所示 .求面积 .321S103(3 x x2 )dx -2 -1.5 x3-1-0.50.511.61803-1图 6-65S0.618034xx2( x33)dx320输入 Integrate x33(3xx2), x, 1.61803,0Integrate3xx2( x33), x,0,0.618034输出 1.

6、007510.0758192因此，所求面积S=033 (3 xx2 )dx0.618034(x33)dxx3 x x2-1.6180301.007510.07581921.08333.三、本节小结：1 微元法的实质是什么？（ 微元法的实质仍是“和式 ”的极限。）2求在直角坐标系下平面图形的面积。(注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算)。四、课外作业：P116 习题 61一、求下列各组平面图形的面积1、与直线及。2、与直线及二、求抛物线及其在点和处的切线所围成的图形的面积 。三、求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以及轴上方之间的图形的面积6第六章定积分的应用（ 3、4）第一节定积分在几

7、何上的应用（3、 4）教学目的： 会求在参数方程、极坐标系下的平面图形面积教学重点、难点：处理和使用参数方程和极坐标方程表示的平面图形面积的求法，教学形式： 讲授法教学时间： 90 分钟教学过程一、引入新课写出圆的方程在直角坐标系下的方程，参数方程和极坐标方程二、新授课如果曲边梯形的曲边为参数方程，曲边梯形的面积(其中和对应曲线起点与终点的参数值) ，在 ，(或， )上具有连续导数，连续。例 4求椭圆的面积。解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4 倍第一象限部分面积。7设由曲线及射线、围成一曲边扇形， 求其面积。 这里，在上连续，且。面积元素曲边扇形的面积例 5求双纽线所围平面图形的面积。解由

8、对称性知总面积=4 倍第一象限部分面积，例 6求心形线所围平面图形的面积。例4求两曲线r=3 cos 及 r1 cos 所围成图形的公共部分的面积。解将极坐标方程改写成参数方程x=3 coscosx=(1+ cos )cosy 3cossiny=(1+ cos )sin(1) 作图利用 Mathematica, 输入ParametricPlot 3 Cos t 2,3CosSint,t,0,2 PiParametricPolt(1+Cost) Cost,(1+Cost) Sint,t,0,2Pi1.5180.5-0.52468Show%,%,AspectRatioAutomatic输出图形 ,

9、 如图 6-8 所示 .(2) 求交点输入Solve3 Cost=1+Cost,t输出t-, t33(3)求面积 .先求第一象限的面积S131)2d21)2d(1 cos(3cos0232输入Integrate0.5(1+Cosx)2, x,0, Pi / 3Integrate 0.5(3 Cos x) 2, x, Pi / 3, Pi / 2输出1.9635根据对称性 , 故所求面积S=2S121.96353.927.例 5求由曲线 r=2 sin,r 2cos2 所围图形公共部分的面积.解将极坐标方程改写成参数方程为x2 sincosxcos2cosy2 sinsinycos2sin(1)

10、 作图.利用 Mathematica,输入ParametricPlot2(1/ 2) Sint Cos t,2(1/ 2)Sin tSint , t,0,2 PiParametricplot Cos2t (1/ 2)Cost , Cos2t (1/ 2)Sin t, t, Pi / 4, Pi / 4P arametricplot Cos2 t (1/ 2)Cost , Cos2 t (1/ 2) Sint , t,3 Pi / 4,5 Pi / 49Show%,%,%,AspectRatioAutomatic 输出图形 ,如图 6-9 所示 .(2) 求交点输入 Reduce2(1/ 2)

11、Sint Cos2 t (1/ 2), t1.2510.750.50.25输出-1-0.50.51(1 Integers&(t=2 C1 t2C1)-0.25656(3)求面积 .( 图 69)先求第一象限的面积S 1612 sin2d41()cos2 d .0262输入IntegrateSinx2, x,0, Pi / 6Integrate0.5Cos2 x, x, Pi / 6, Pi / 4输出 0.078 786 7根据对称性 , 故所求面积S=20.078 786 7=0.157 573三、本节小结：参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积四、课外作业：一、求由下列各曲线所围成的图形

12、的面积1、。2、摆线及轴。3 、及的公共部分。10第六章定积分的应用（ 5、6）第一节定积分在几何上的应用（5、 6）教学目的： 会用微元法求平行截面的立体体积教学重点、难点：分析使用平行截面计算的立体图形，旋转体体积的计算。教学形式： 讲授法教学时间： 90 分钟教学过程一、引入新课平行截面体的概念二、新授课1 已知平行截面的立体体积如图 6 10 所示，设有一立体图形，其垂直于x 轴的截面面积是已知连续函数S（ x），且位于 x = a ， x = b两点处垂直于x 轴的两个平面之间，求此立体的体积。用垂直于 x 轴的截面分割该立体，从位于x=a 的平 面 开 始 ， 到 位 于 x=b

13、的 平 面 为 止 。 在 小 区 间x,x+dx上，将此区间相应的小立体体积用底面积为f(x)，高为 dx 的扁柱体的体积S(x)dx 近似代替，即体积微元于是所求立体的体积为(图 610)V= b S(x)dxa例 1一平面经过半径为R 的圆柱体的底面直径AB，并与底面交成角，求此平面截圆柱体所得楔形的体积。解法一：如图 6-11所示，取直径 AB所在的直线为x 轴，11(图 611)底面中心为原点，这时垂直于x 轴的各个截面都是直角三角形，；它的一个锐角为。这个直角三角形的底边长度为R2x2，高为R2x2tan，这样截面面积为S( x)22,1 ( Rx ) tan2因此 , 所求体积为

14、V= R1(R2x2 ) tandx1 tan R2xx3RR2 R3 tan-R 2233解法二：垂直于 Y 轴的各个堆面都是矩形，矩形的两边为2|X|和ytan，这样截面面积为S(x)=2R2y2y tan .因此，所求体积为VR232y2 y tan( R2y2 ) 2|R0R3 tan2 R2dytan033例 2连接坐标原点及点的直线、 直线及轴围成一个直角三角形。将它绕轴旋转构成一个底半径为、高为的圆锥体，计算圆锥体的体积。解直线方程为，取积分变量为，在上任取小区间，以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积为，圆锥体的体积。2。（ 1）旋转体的概念：旋转体就是由一个平面图形饶这平面

15、内一条直线旋转一周而成的立体。这直线叫做旋转轴。12（2 ）旋转体的体积一般地，如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，体积为多少？取积分变量为，。在上任取小区间，取以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，旋转体的体积为类似地，如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，体积为13例 3求由曲线及所围成的图形绕直线旋转构成旋转体的体积。解取积分变量为。体积元素为三。小结平行截面体体积和旋转体体积的计算四。课外作业P116 习题 614平面图形由ysin x(0x) 和 y0围成，试求该图形（ 1）绕 x 轴旋转所成旋转

16、体的体积；（ 2）绕 y 轴旋转所成旋转体的体积。5 平面图形由 y 2x x2 和 y0 围成，试求该图形分别绕x 轴和 y 轴旋转所得旋转体的体积。14第六章定积分的应用（ 7、8）第一节定积分在几何上的应用（7、 8）教学目的： 会用微元法求平行截面的立体体积教学重点、难点：处理和使用参数方程和极坐标方程表示的平面图形面积的求法，教学形式： 讲授法教学时间： 90 分钟教学过程一、引入新课例 1 分析求解椭圆 x2y21绕 x 轴旋转所成旋转体的体积。指出微元a2b2二、新授课例 2求摆线，的一拱与所围成的图形分别绕轴、轴旋转构成旋转体的体积。解绕轴旋转的旋转体体积15绕轴旋转的旋转体体

17、积可看作平面图与分别绕轴旋转构成旋转体的体积之差。例 3 求圆 x2( yb)2a 2 (0a b) 绕x轴旋转所形成的立体体积. 解 : 如图 6-13 所示，该立体是由 y1ba2x2 , xa, x a 围成的平面图形绕x 轴旋转所生成的立体，去除由 y2 ba2x2 , xa, xa 围成的平面图形绕 x轴旋转所生成的立体而构成的。因此，该立体体积为V=aa2x2 )2 dxa(ba2 x2 )2 dx(baaaa2x2 dx4ba利用 Mathematica,输入图 6-13PiIntegrate4ba2x20.5, x, a, a输出19.739 2a2b2因此 , 该立体体积为

18、19.739 2a2b216补充如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，体积为。利用这个公式，可知上例中三、小结：1 旋转体的体积2。平行截面面积为已知的立体的体积。四、作业1思考题：求曲线，所围成的图形绕轴旋转构成旋转体的体积。思考题解答：立体体积2。 P117 第六题6圆 x2y 2R2 的参数方程为xR cos ,02，yRsin,试用定积分证明圆周长为2 R。17第六章定积分的应用（ 9、10）第一节定积分在几何上的应用（9、 10）教学目的： 会用微元法求平面曲线的弧长教学重点、难点：处理和使用参数方程和极坐标方程表示的曲线弧长的求法，教学形式： 讲

19、授法教学时间： 90 分钟教学过程一、引入新课： 设、是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长的极限存在，则称此极限为曲线弧的弧长。二、新授课1直角坐标情形设函数y=f(x)具有一阶连续导数， 计算曲线 y=f(x)上相应于 x 从 a 到 b 的一段弧长。取 x 为积分变量，它的变化区间为a,b，在 a,b上任取一个小区间x,x+dx，与该区18间相应的小段弧的长度可以用该曲线在点(x,f(x)处的切线上相应的一小段长度来近似代替，从而得到弧长元素dS= (dx) 2(dy) 21y 2 dx, 于是所求弧长

20、b1+y 2 dxS=a例 1求正弦曲线 y= sin x在点 (0,0) 到点 (,0) 之间的一段弧长 .解：所求弧长S=1+y 2 dx1cos2xdx.00利用 Mathematica, 输入NIntegrate(1+Cosx2) (1/ 2), x,0, Pi输出3.820 2因此 ,正弦曲线每一拱的弧长为3.82022参数方程情形设曲线的参数方程为x(t)(t).y(t)计算这段曲线的弧长。取参数 t 为积分变量，糨的变化区间为, ，弧长微元dS(dx)2(dy)2= (t)dt 2 (t)dt 2=2(t)2(t )dt于是所求弧长为S=2 (t)2 (t)dt.例 2求长半轴为

21、 4,短半轴为 3的椭圆周长 .x=4 cost解椭圆的参数方程 :0t2y3sin t因此 , 椭圆的周长2(4 sin t) 2(3cos t )2 dt .S=0利用 Mathematica,输入NIntegrate(4 Sint)2+(3 Cost 2(1/2),t,0,2 Pi输出18.719 7因此 , 长半轴为 4, 短半轴为 3的椭圆周长为 18.719 7.193 极坐标方程情形设曲线的极坐标方程为:r=r(), 计算这段曲线的弧长.将极坐标方程改为参数方程:x=r() cosyr ( )sin故dx=(r() cosr ( )sin) ddy(r ( )sinr ( )co

22、s) d于是 , 弧长微元dS=(dx)2( dy ) 2r 2 ()r 2 () d因此，所求弧长为Sr 2 ()r 2 ( ) d例 3求心形线r = a( 1+cos)的全长( a0)解 作心形线的图形, 输入ParanetrucPlot2 (1+Cost) Cost,2(1+Cost) Sint,t,0,2 Pi输出心形线 r=2(1+ cos )的图形 , 如图 615所示 .211234-1-2因为 r ()=-a sin,故所求弧长为S22(asin )2da(1 cos )02a22cosd0利用 Mathematica ,输入Integrate(2+2 Cosx)0.5, x

23、,0, 2Pi 输出8( 图 6-15)故所求弧长为8a.20三、小结用微元法求孤线长四、作业： P1177求星形线xa cos3 t, ya sin3 t(0t2 ) 的全长。39求曲线 yx 2在 0x 4 一段的弧长。11求曲线 x1 y21 ln y 在 1y e 一段的弧长。42第六章定积分的应用（ 11、12）第二节定积分在物理上的应用（1、 2）教学目的： 会用定积分的微元法求一些简单的实际问题教学重点、难点：用微元法将问题归结为定积分的问题教学形式： 讲授法教学时间： 90 分钟教学年级： 07 级机械工程系教学过程一、引入新课利用微元法解决定积分在物理上的一些应用。二、新授课

24、一、变速直线运动的路程从物理学知道，若质点以常速v 沿直线运动了时间t ，则所经过的路程为s=vt如果质点以速度v=v(t) 作变速直线运动，上面的公式显然不适用，但当v=v(t) 连续时，可以在时刻t 附近将速度近似看作是不变的，因而在时间t,t+dt过程中，路程的微元为ds=v(t)dt因此，从时刻 t=T1 到时刻t=T2 这段时间内质点所经过的路程为21s=T2v(t)dt.T1例 1求具有速度 v=1+2t2的质点从 t1到 t5所经过的路程 .解:S= (1+2t 2 )dtt2t 3152605133二、变力沿直线所作的功从物理学知道， 若物体在不变的力F 的作用下沿直线移动了距

25、离s ，则此过程式中力F 所作的功为W = Fs如果力是变力F(x) ，上面的公式显然不适用。但当F(x) 连续时，可以在点x 附近将力 F(x) 近似看作是不变的，因而在位移x,x+dx过程中，功的微元为dW=F(x)dx由此可知，在变力F(x) 作用下物体沿x 轴由点 a 到点 b 过程中，力F 所作的功为bW=F(x)dx.a下面我们通过例子来说明变力作功的求功.例 2 已知弹簧拉长 0.02m要用 9.8 N 的力 , 求把弹簧拉长 0.1m所作的功解： 我们知道， 在弹性限度内， 拉伸（或压缩） 弹簧所需的力 F 与弹簧的伸长量 （或压缩量） x 成正比，即F=kx上式中 K 为比例系数。如图 6-16所示，根据题目意， 当x=0.02 时， F=9.8 ，故由F=kx ，得 k=490 。这样得到的变力函数为F=490x.下面用策元法求此变力所作的功，。取 x为积分变量 , 积分区间为 0,0.1.在 0,0.1上任取一小区间x,x+dx,与 它 对 应 的变力 F 所作的功近似于把变力F 看