平面直角坐标系赏析

1、7.1.27.1.2平面直角坐标系平面直角坐标系 一：如何确定直线上点的位置？一：如何确定直线上点的位置？ 单位长度单位长度 01234-3-2-1 原点原点 A B 如图，是一个数轴，如图，是一个数轴， 数轴上的点与实数是一一对应的，数轴上的点与实数是一一对应的， 数轴上的每个点都对应一个实数，数轴上的每个点都对应一个实数， 这个实数叫做这个点在数轴上的坐标。这个实数叫做这个点在数轴上的坐标。 例如点例如点A A在数轴上的坐标为在数轴上的坐标为-3-3，点，点B B在数轴上在数轴上 的坐标为的坐标为2 2。 反过来，知道数轴上一个点的坐标，这个的反过来，知道数轴上一个点的坐标，这个的 点在数

2、轴上的位置也就确定了。点在数轴上的位置也就确定了。 单位长度单位长度 01234-3-2-1 原点原点 A B 类似于利用数轴确定直线上的点的位置的方法，类似于利用数轴确定直线上的点的位置的方法， 能否找到一种方法来确定平面内的点的位置呢？能否找到一种方法来确定平面内的点的位置呢？ （点（点A A, ,B B, ,C C, ,D.D.） 二：平面上确定一个点的位置的方法二：平面上确定一个点的位置的方法 D C B A 你知道吗？ 笛卡儿笛卡儿 法国数学家、法国数学家、 解析几何的创始人解析几何的创始人 笛卡尔受到了经纬度的启发，笛卡尔受到了经纬度的启发， 引入坐标系，引入坐标系， 用代数方法解

3、决几何问题。用代数方法解决几何问题。 1596-16501596-1650 5 -5 -2 -3 -4 -1 3 2 4 1 -6 6 y O -5 5-3-44-23-121-66 X x x轴或横轴轴或横轴 取向右为正取向右为正 y y轴或纵轴轴或纵轴 取向上为正取向上为正 原点原点 两条数轴两条数轴 互相垂直互相垂直 原点重合原点重合 平面直角坐标系平面直角坐标系 平面直角坐标系概念：平面直角坐标系概念： 平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组 成平面直角坐标系。成平面直角坐标系。 水平方向的数轴称为水平方向的数轴称为x x轴或横轴，习惯取向右轴或横

4、轴，习惯取向右 的方向为正方向，的方向为正方向， 竖直方向上的数轴称为竖直方向上的数轴称为y y轴或纵轴，习惯取向轴或纵轴，习惯取向 上的方向为正方向；上的方向为正方向； 两坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点两坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点 . . 平面直角坐标系中平面直角坐标系中两条数轴特征：两条数轴特征： （1 1）互相垂直）互相垂直 （2 2）原点重合）原点重合 （3 3）通常取向上、向右为正方向）通常取向上、向右为正方向 （4 4）单位长度取相同的）单位长度取相同的 O x y -3 -2 -1 1 2 3 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 有了平面直角坐标系，有了平面直角坐

5、标系， 平面内的点就可以用一个有序数对来表示了。平面内的点就可以用一个有序数对来表示了。 X O 1. 1.下面图形中，是平面直角坐标系的是（下面图形中，是平面直角坐标系的是（ ） -3 -2 -1 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 Y X X Y （A A） 3 2 1 -1 -2 -3 X Y （B） 2 1 -1 -2 O -3 -2 -1 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 （C） O -3 -2 -1 1 2 3 3 2 1 -1 -2 -3 Y （D） O D 2.2.平面上平面上_组成平面直角坐标系，组成平面直角坐标系， _ _叫叫x x轴（横轴），取向轴（横轴），

6、取向_为正方向，为正方向， _ _叫叫y y轴（纵轴），取向轴（纵轴），取向_为正方向。为正方向。 两坐标轴的交点是平面直角坐标系的两坐标轴的交点是平面直角坐标系的_。 水平的数轴水平的数轴右右 上上 竖直的数轴竖直的数轴 原点原点 3.3.平面上点的表示平面上点的表示 . P 平面内任意一点平面内任意一点P,P, 过过P P点分别向点分别向x x、y y轴作垂线，轴作垂线， 垂足在垂足在x x轴、轴、y y轴上对应的数轴上对应的数a a、b b分别叫做分别叫做 点点p p的横坐标、纵坐标，的横坐标、纵坐标， 则有序数对（则有序数对（a a，b b）叫做点）叫做点P P的坐标。的坐标。 a b

7、 记为记为P P（a a，b b） OX Y 注意注意: :横坐标写在前横坐标写在前, ,纵坐标写在后纵坐标写在后, , 中间用逗号隔开中间用逗号隔开. . (a,b)(a,b) 坐标平面内，有序实数对与平面内的点一一对应。坐标平面内，有序实数对与平面内的点一一对应。 （3，2） p y 3 3叫做点叫做点P P的横坐标的横坐标, , 2 2叫做点叫做点P P的纵坐标的纵坐标, , X 记作：记作：P（3，2） 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 0 12345-4-3-2-1 .Q（ （2，3） 注意：注意： (a(a，b)b)是一对有序数对，横坐标在前，纵是一对有序数对，横坐标在前

8、，纵 坐标在后，中间用逗号隔开坐标在后，中间用逗号隔开, ,不能颠倒。不能颠倒。 N N M M B 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 0 12345-4-3-2-1x横轴横轴 y 纵轴纵轴 C A E D ( 2，3 ) ( 3，2 ) ( -2，1 ) ( -4，- 3 ) ( 1，- 2 ) 坐标是坐标是有序有序 数对。数对。 例例1 1 写出图中写出图中A A、B B、C C、D D、E E各点的坐标。各点的坐标。 (2,-3)(2,-3) 例例2.2.在平面直角坐标系中描出下列各点，在平面直角坐标系中描出下列各点， A(5,2) A(5,2) 、B(0,5)B(0,5)、C

9、(2,-3)C(2,-3)、 D(-2,-3)D(-2,-3) A B D (0,5)(0,5) 0 12345-4-3-2-1 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 y 纵轴纵轴 x横轴横轴 C (5,2)(5,2) (-2,-3)(-2,-3) 1 2 3-3 x -2 -2 -3 o -1 y 4 2 5 3 6 1 例例3.3.在下面直角坐标系中描出下列各组点在下面直角坐标系中描出下列各组点, , 并将各组的点用线段依次连接起来并将各组的点用线段依次连接起来. . (0 , 6), (-4, 3), (4 , 3) (-2 , 3), (-2 , -3), (2 , -3), (

10、2 , 3) 观察所得的图观察所得的图 形，你觉得它形，你觉得它 象什么？象什么？ -4-14 A(-4,3) B(4,3) C(-2,3)D(2,3) E(-2,-3) F(2,-3) (0 , 6) 思考：思考： 点点A(5A(5，2)2)到到AxAx轴的距离是多少？到轴的距离是多少？到y y轴距离是多少？轴距离是多少？ 点点B(-3B(-3，-4)-4)到到AxAx轴距离是多少？到轴距离是多少？到y y轴距离是多少？轴距离是多少？ 你发现了什么？你发现了什么？ A B 0 12345-4 -3 -2 -1 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 y 纵轴纵轴 x横轴横轴 (5,2)(

11、5,2) (-2,-3)(-2,-3) 小结：小结： 点点P P（x,yx,y）到到x x轴的距离为轴的距离为 ， 到到y y轴的距离为轴的距离为 。x y 因为距离是非负数，所以要加绝对值符号。因为距离是非负数，所以要加绝对值符号。 练习：练习： 1.1.点点 M M（- 8- 8，1212）到）到 x x轴的距离是轴的距离是_， 到到 y y轴的距离是轴的距离是_ _ . . 思考：思考： 原点原点0的坐标是什么？的坐标是什么？ 坐标轴上的点有什么特征？坐标轴上的点有什么特征？ 0 12345-4 -3 -2 -1 3 1 4 2 5 -2 -4 -1 -3 y 纵轴纵轴 x横轴横轴 A

12、B C D （3，0）（-4，0） （0，5） （0，-4） （0，0） 坐标轴上点有何特征？坐标轴上点有何特征？ 在在x x轴上的点，轴上的点， 纵坐标等于纵坐标等于0.0. 在在y y轴上的点，轴上的点， 横坐标等于横坐标等于0.0. y y轴上的点横坐标为轴上的点横坐标为0 0，纵坐标为任意实数，纵坐标为任意实数. . x x轴上的点纵坐标为轴上的点纵坐标为0 0，横坐标为任意实数。，横坐标为任意实数。 坐标轴上点有何特征？坐标轴上点有何特征？ 小结：小结： 1)1)原点原点0 0的坐标为的坐标为_._. 2)2)坐标轴上的点坐标轴上的点P P（a,ba,b）坐标的特征：）坐标的特征：

13、点点P P在在x x轴上，则轴上，则b b_，a a_； 点点P P在在y y轴上，则轴上，则a a_,b_,b_。 练习：练习： 1.1.（9,09,0）在）在_轴上，（轴上，（-3,0-3,0）在）在_轴上。轴上。 2.2. .在在y y轴上的点的横坐标是轴上的点的横坐标是_， 在在x x轴上的点的纵坐标是轴上的点的纵坐标是_. . 练习：练习： 1.对于平面内任意一点对于平面内任意一点P，过点过点P分别向分别向x轴、轴、 y轴作垂线，轴作垂线，垂足在垂足在x x轴、轴、y y轴上对应的数轴上对应的数a a、 b b分别叫做点分别叫做点p p的的_、_，则有序，则有序 数对（数对（a a，

14、b b）叫做点叫做点P P的的_。 2.2. 坐标平面内，有序实数对与平面内的点坐标平面内，有序实数对与平面内的点_._. 3.3.点点P P（-a,b-a,b）到到x x轴的距离为轴的距离为_，到，到y y轴的轴的 距离为距离为_。 4.4.在在x x轴上的点的坐标特征：轴上的点的坐标特征： 横坐标横坐标_,_,纵坐标纵坐标_;_; 在在y y轴上的点的坐标特征：轴上的点的坐标特征： 横坐标横坐标_,_,纵坐标纵坐标_._. 5.5.点点P P（x,yx,y）的坐标满足的坐标满足xy=0,xy=0,则点则点P P的位置的位置 是是_._. -5-5 5 5-3-3-4-44 4-2-23 3

15、-1-12 21 1-6-66 6 o o X X 5 -2 -3 -4 -1 3 2 4 1 6 y 第一象限第一象限 第二象限第二象限 第三象限第三象限 第四象限第四象限 象限：象限： 两条坐标轴把平面分成两条坐标轴把平面分成 如图所示的四个部分如图所示的四个部分. . 注意注意: :坐标轴上的点不属于任何象限。坐标轴上的点不属于任何象限。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23 45 67 89 1 x y 第一象限第一象限 第二象限第二象限 第三象限第三象限 第四象限第四象限 （+ +，+ +）（- -，+ +）

16、 （- -，- -）（+ +，- -） x y o -12 345 678 9-2-3-4-5-6-7-8-91 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 A A B B C C 观察：各象限内的点的坐标有何特征？观察：各象限内的点的坐标有何特征？ D D E E (-2,3)(-2,3) (5,3)(5,3) (3,2)(3,2) (5,-4)(5,-4) (-7,-5)(-7,-5) F F G G H H (-7,2)(-7,2) (-5,-4)(-5,-4) (3,-5)(3,-5) 5 -5 -2 -3 -4 -1 3 2 4 1 -6 6 y -55-3-44-23-121

17、-66o X 第一象限第一象限第二象限第二象限 第三象限第三象限 第四象限第四象限 （，）（，）（，）（，） （，）（，） （，）（，） 注意注意: :坐标轴上的点不属于任何象限。坐标轴上的点不属于任何象限。 四个象限内点的特点：四个象限内点的特点： 第一象限第一象限：（：（+ +，+ +） 第二象限第二象限：（：（- -，+ +） 第三象限：（第三象限：（- -，- -） 第四象限：（第四象限：（+ +，- -） 直角坐标系中点的坐标的特点直角坐标系中点的坐标的特点 + + + + + +0 0 0 0 0 0 考考你：考考你： 1. 1. 请你根据下列各点的坐标判定它们分别在第几请你根据下

18、列各点的坐标判定它们分别在第几 象限或在什么坐标轴上？象限或在什么坐标轴上？ A A（-5-5、2) B(32) B(3、-2-2） C C（0 0、4 4），）， D D（-6-6、0 0） E E（1 1、8 8） F F（0 0、0 0），），G G（5 5、0 0），），H H（-6-6、-4-4） K(0K(0、-3-3） 解：解：A A在第二象限，在第二象限，B B在第四象限，在第四象限， C C在在Y Y的正半轴，的正半轴， E E在第一象限，在第一象限， D D在在X X轴的负半轴，轴的负半轴， F F在原点，在原点， G G在在X X轴的正半轴，轴的正半轴， H H在第三象限

19、，在第三象限， K K在在Y Y轴的负半轴。轴的负半轴。 2 2. .在平面直角坐标系内，下列各点在第四象在平面直角坐标系内，下列各点在第四象 限的是限的是( )( ) A.(2,1) B.(-2,1) A.(2,1) B.(-2,1) C.(-3,-5) D.(3,-5)C.(-3,-5) D.(3,-5) 3 3. .已知坐标平面内点已知坐标平面内点A(m,n)A(m,n)在第四象限，那在第四象限，那 么点么点B(n,m)B(n,m)在（在（ ） A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限. . C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限 D D B B 4.若若 0,b0

20、，点，点M在第几象限？在第几象限？ 当当ab0，点，点M位于第几象限？位于第几象限？ 当当a为任意实数，且为任意实数，且b0时，点时，点M位于何处？位于何处？ （纵坐标为（纵坐标为b0，说明点，说明点M位于位于x轴下方，可以轴下方，可以 是是y轴负半轴，第三或四象限。）轴负半轴，第三或四象限。） y x 7.7.若若a0a0，则点则点P P（-a,2-a,2）应在第应在第_象限。象限。 8.8.若点若点M M（a+b,aba+b,ab）在第三象限，则点在第三象限，则点N N（a,ba,b） 在第在第_象限。象限。 9.9.在平面直角坐标系内，在第二象限内有一点在平面直角坐标系内，在第二象限内有

21、一点P P， 且且P P到到x x轴的距离为轴的距离为3 3，到，到y y轴的距离是轴的距离是5 5，则，则P P点坐点坐 标为标为_._. 10.10.在平面直角坐标系内第二象限内有一点在平面直角坐标系内第二象限内有一点A A，且且A A 到到x x轴的距离为轴的距离为3 3，到，到y y轴的距离是到轴的距离是到x x轴距离的轴距离的3 3 倍，则倍，则A A点坐标为点坐标为_._. 11.11.点点M M位于位于x x轴下方，距轴下方，距x x轴轴3 3个单位长，且位于个单位长，且位于y y轴轴 左侧，距左侧，距y y轴轴2 2个单位长，则个单位长，则M M点的坐标是点的坐标是_._. 1

22、2.12.在平面直角坐标系中，点在平面直角坐标系中，点P P的坐标为（的坐标为（-2-2，a a+1+1） 则点则点P P所在象限是第所在象限是第_象限。象限。 13.已知点已知点P坐标为（坐标为（2-a,3a+6）且点）且点P到两坐到两坐 标轴的距离相等，则点标轴的距离相等，则点P的坐标是的坐标是( ) A.（3,3） B.（3，-3 ） C.（6,-6） D.（3,3）或（）或（6,-6） 1414. .点点A A在在x x轴上，距离原点轴上，距离原点4 4个单位长度，则个单位长度，则 A A 点的坐标是点的坐标是 _。 15.如果如果B（m+1,3m-5）到）到x轴的距离为它到轴的距离为

23、它到y 轴距离相等，求轴距离相等，求m的值。的值。 (4,0)或或(-4,0) 1 2 3-3 x -2 -2 -3 o -1 y 4 2 5 3 6 1 -4-14 (-4,3) (4,3) (-2,3) (2,3) (-2,-3) (2,-3) 观察直角坐标系中下列各点观察直角坐标系中下列各点. . 你能发现什么你能发现什么? ? BC D E F G 小结：小结： 平行于横轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于横轴的直线上的点的纵坐标相同； 平行于纵轴的直线上的点的横坐标相同；平行于纵轴的直线上的点的横坐标相同； 练习：练习： 1.1.平行于横轴的直线上的点的平行于横轴的直线上的点的_相同；

24、相同； 平行于纵轴的直线上的点的平行于纵轴的直线上的点的_相同；相同； 2.2.已知平面直角坐标系内两点已知平面直角坐标系内两点M(5,a),N(b,-2).M(5,a),N(b,-2). 若若MNyMNy轴，则轴，则a_,b_.a_,b_. 若若MNyMNy轴，则轴，则a_,b_.a_,b_. 3.3.已知点已知点M M（3a-2,a+63a-2,a+6）, ,点点N N的坐标为（的坐标为（2,52,5）且）且 直直 线线MNxMNx轴，求点轴，求点M M的坐标。的坐标。 4.如果直线如果直线lx轴，且到轴，且到x轴距离为轴距离为5，那么直线，那么直线l与与 y轴交点的坐标是轴交点的坐标是_

25、. 5.已知点已知点P1（a-1,5）和和P2（2，b-1）到到x轴距离相轴距离相 等，等， 且且P1P2y轴，则（轴，则（a+b）2015的值为多少？的值为多少？ 6.已知点已知点M(3，a),N（b,-1），），根据下列条件求根据下列条件求a,b 的值。的值。 M、N两点关于两点关于x轴对称轴对称 M、N两点的连线平行于两点的连线平行于y轴轴 M、N两点在第二、四象限的角平分线上。两点在第二、四象限的角平分线上。 分别写出图中点分别写出图中点A A、B B、C C、D D的坐标的坐标, , 观察图形，并回答问题观察图形，并回答问题. . (3,2) (3,-2) - 2 - 1 4321x

26、- 3 - 4 - 4 y 1 2 3 - 3 - 1 - 2 (-3,2) (-3,-2) 0 点点A A与点与点B B的位置有什么特点的位置有什么特点? ? 点点A A与点与点B B的坐标有什么关系的坐标有什么关系? ? 点点A A与点与点C C的位置有什么特点的位置有什么特点? ? 点点A A与点与点C C的坐标有什么关系的坐标有什么关系? ? 关于关于x轴对称的点轴对称的点:横坐标相同横坐标相同,纵坐标互为相反数纵坐标互为相反数. 关于关于y轴对称的点轴对称的点:纵坐标相同纵坐标相同,横坐标互为相反数横坐标互为相反数. A B C D (3,2) (3,-2) -2 -14321x-3

27、-4 -4 y 1 2 3 -3 -1 -2 (-3,2) (-3,-2) 0 点点B B与点与点C C的位置有什么特点的位置有什么特点? ? 点点B B与点与点C C的坐标有什么关系的坐标有什么关系? ? 关于原点对称的点：横坐标、纵坐标都互为相反数关于原点对称的点：横坐标、纵坐标都互为相反数 A B C D 归纳：归纳： 平面直角坐标系中的点平面直角坐标系中的点p p（x x，y y）: : 关于关于x x轴的对称点是（轴的对称点是（x x，-y-y）；）； 关于关于y y轴的对称点是（轴的对称点是（-x-x，y y）；）； 关于原点的对称点是关于原点的对称点是p p（-x-x，-y-y）

28、。）。 关于关于x轴对称的点轴对称的点:横坐标相同横坐标相同,纵坐标互为相反数纵坐标互为相反数. 关于关于y轴对称的点轴对称的点:纵坐标相同纵坐标相同,横坐标互为相反数横坐标互为相反数. 关于原点对称的点：横坐标、纵坐标都互为相反数关于原点对称的点：横坐标、纵坐标都互为相反数 练习：练习： 1. . 平面直角坐标系中的点平面直角坐标系中的点p p（x x，y y）: : 关于关于x x轴的对称点是轴的对称点是_； 关于关于y y轴的对称点是轴的对称点是_； 关于原点的对称点是关于原点的对称点是_ _。 2.2.点点A A（2 2，-3-3）关于）关于x x轴对称的点的坐标是轴对称的点的坐标是_

29、._. 3 3. .点点B B（-2,1-2,1）关于）关于y y轴对称的点的坐标是轴对称的点的坐标是_._. 4 4. .点（点（4 4，3 3）与）与点点（4 4，- 3- 3）的关系是（）的关系是（ ） . . （A A）关于原点对称）关于原点对称 （B B）关于）关于 x x轴对称轴对称 （C C）关于）关于 y y轴对称轴对称 （D D）不能构成对称关系）不能构成对称关系 5.5.与点与点P(M,-1)P(M,-1)关于原点的对称点是关于原点的对称点是P P（2 2，n n）, ,则则 m+n m+n的值为的值为_._. 6.6.若点若点A A（n,2n,2）与）与B B（-3-3，

30、m m）关于原点对称，则）关于原点对称，则 n-m n-m的值为的值为_._. 7.在平面直角坐标系中，点在平面直角坐标系中，点P（m+1，-2）关关 于于x轴对称的点在第轴对称的点在第_象限；关于象限；关于y轴对称轴对称 的点在第的点在第_象限。象限。 观察图形，并回答问题观察图形，并回答问题. . 点点B B和点和点C C在第二、四象限的角平分线上，在第二、四象限的角平分线上， (3,-3) -2 -14321x-3-4 -4 y 1 2 3 -3 -1 -2 (-3,3) 0 点点B B与点与点C C的坐标有什么关系的坐标有什么关系? ? B C 第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点；第

31、二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点； 的横、纵坐标互为相反数。的横、纵坐标互为相反数。 观察图形，并回答问题观察图形，并回答问题. . 点点A A和点和点D D在第二、四象限的角平分线上，在第二、四象限的角平分线上， (3,2) -2 -14321x-3-4 -4 y 1 2 3 -3 -1 -2 (-3,-2) 0 点点A A与点与点D D的坐标有什么关系的坐标有什么关系? ?A D 第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点 的横、纵坐标相等。的横、纵坐标相等。 两坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：两坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征： 第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点 的横、纵坐标相等。的横、纵坐标相等。 第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点 的横、纵坐标互为相反数。的