复数的基本知识

1、.补充复数的基本知识：1、虚数单位由于在实数集R 内负数不能开平方，所以在实数集内方程x2 1 0 无解。引入虚数，虚数单位符号为j ，并规定（ 1）它的平方等于 -1，即 j 2 1 ；（ 2） j 可以和实数一起进行四则运算，原有的加、减运算规律仍然成立。性质： j1j ； j 21 ； j 3j ； j 41一般地，对于任意整数n，有：j 4n1； j4n 1j ； j 4n 21； j 4n 3j2、复数集定义：形如 abj(a, bR) 的数称为复数。通常用大写拉丁字母Z 表示一个复数，即Zabj(a,bR)其中a 称为复数 Z 的实部， Re(Z )a；b 称为复数 Z 的虚部，

2、Im( Z )b ；举例： 23 j ， - 1 5 j ， 3 j 的实部、虚部？实数 ( b有理数0)复数 a bj无理数纯虚数 (a0)虚数 (b0)0)非纯虚数 ( a3、复数的相等及共轭复数定义：如果两个复数的实部相等，虚部也相等，则称这两个复数相等，即abjcdjac,bd定义：如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数互为;.共轭复数。复数 Za bj 的共轭复数记作 Z a bj例： 1 j,23j 的共轭复数注： (abj )(abj ) a2 b24、复数的几何表示（复平面）任何一个复数 a bj 都可以由一对有序实数 ( a, b) 唯一确定；反之，任何一对有

3、序实数 (a,b) 都能唯一确定一个复数 a bj ；因此，复数 Z a bj 与平面直角坐标系中的点 Z(a, b) 是一一对应关系。于是，可以在平面直角坐标系中用横坐标为 a ，纵坐标为 b 的点 Z(a, b) 表示复数 Zabj 。j 虚轴abjb实轴用来表示复数的直角坐标平面称为复平面。复数 Zabj 与复平面上的点Z(a,b) 是一一对应关系。即复数 Zabj点 Z(a, b)矢量（或向量）：既有大小又有方向 。矢量可以用带箭头的有向线段来表示，箭头的方向表示矢量的方向，线段的长度表示矢量的大小。如下图所示：;.j 虚轴abjb实轴相等矢量：大小相等且方向相同的矢量。(1) 矢量的

4、大小称为矢量的模；矢量 0Z 的模 r 称为复数 Zabj 的模，记作：Z 或 abj 即:rZabja2b2(2) 矢量的方向以实轴的正半轴为始便，矢量0Z 所在的射线为终边的角，称为复数Z a bj 的辐角。非零复数的辐角有无穷多个值，他们彼此相差2的整数倍。 通常适合于的辐角称为主辐角，值称为辐角的主值 。规定：要用主辐角表示复数Zabj 的辐角。模和主辐角可以唯一确定一个非零复数。tanbarctan b2b2rZ abjr (cosj sin )cosbsinrr5、复数的指数形式欧拉公式： e jcosj sin例如： e j3cosj sin33对于任何一个复数：;.Zabjr

5、(cosj sin)r e j称为复数的指数形式例： 13jcosj sinej3223335 j34( 2j5)34 e j arctan5334347、复数的四则运算（1）复数代数形式（ Zabj ）的加减法(abj )(cdj )ac(bd ) j复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。（2）复数代数形式的乘法(abj )(cdj )acbd(adbc) j按多项式的乘法运算法则进行，把所得结果中 j 2 换成 -1，并且把实部、虚部分别合并。例： ( 2 3 j )(1 j )1 5 j(4 3 j )(2 3 j ) 17 6 j（3）复数代数形式的除法分子与分母同乘以分母的共轭复

6、数，分母实数化后，所得结果要化简。cdj(cdj )( abj )acbdad bcja bj( a bj )(a bj )a2 b2a2 b2例： 1j51 j32 j1313（4）复数指数形式（ Zr e j）的乘除运算令 Z1r1e j 1 ； Z 2 r 2 ej 2则Z1 ?Z2r1ej1r2e j21 2 e j ( 1 2)rrZ1r1e j 1r1ej (1)Z 2r 2e j 2r 22;.例： (1j )(3 4 j )52 e j (arctan4)431je jj1e j (44)2j（5）复数极坐标形式（ Zr）的乘除运算设复数 Z1r11 ， Z 2 r 2 2Z1?Z2r 1r 2(1 2)Z1r1(12)Z 2r28、方程根的求解一元二次方程根的求解。一元二次方程有两个根，可以是两个实数根，也可以是复数根（共轭复根） 。例： x27x 60x11 ， x16 ；2 x2x 20x1,2115 j ；4补充题：1、计算下列各式，并作几何表示（1） (22 j ) (12 j )（2） (35 j ) (32 j )(22 j )(12 j )3 4 jarctan 453.1r 5 在复平面上描述3(35 j )(32 j )3 j90 r3 在复平面上描述2、计算下列各式，并化成代数形式（1） 2 e j 12 3 e j 6（2