必修4 任意角 三角函数

1、1.1 任意角和弧度制 知识要点 1.角的概念：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图 形. 2.角的分类：（1）正角：按逆时针方向旋转形成的角； （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角； （3）零角：射线没有作任何旋转，称为形成一个零角 3.象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终落 在第几象限就称为第几象限角若终边落在坐标轴上，认为这个 角不属于任何象限称为象限界角（或轴限角、非象限角） 4.终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合： 360,.SkkZ 5.象限角的集合表示如下： 第一象限角的集合36036090 ,.x k

2、kkZ 第二象限角的集合36090360180 ,.x kkkZ 第三象限角的集合360180360270 ,.x kkkZ 第四象限角的集合360270360360 ,x kkkZ （也能够写成 36090360 ,.x kkkZ ） 6.象限界角的集合表示如下： 终边落在x轴上的角的集合180 ,.x xkkZ 终边落在y轴上的角的集合18090 ,.x xkkZ 终边落在坐标轴上的角的集合90 ,.x xkkZ 教材拓展 1. 相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个， 他们相差360的整数倍 2. 要区易混的概念，如锐角一定是第一象限的角，而第一象限角不全是锐

3、角； 小于90的角的集合是90 ，显然包括锐角、零角、负角. 典型例题 例题 1.(1)下列命题准确的是（） A. 终边与始边重合的角是零角 B. 终边和始边都相同的两个角一定相等 C.90180 间的角不一定是钝角 D.小于90的角是锐角 解析：解析：终边与始边重合的角还可能是360 ,720 , ，故 A 错；终边与始边都相 同的两个角可能相差360的整数倍，如30与390，又如30与330 ，故 B 错； 因为90180 间的角包含90角，所以不一定是钝角，C 准确；小于90的角能 够是0,也能够是负角，故 D 错.故选 C. 例题 2.在0360 范围内找出与下列各角终边相同的角,并判

4、定他们是第几象 限角. 120 640 解析：解析：120240360 ,所以在0360 范围内,与120 角终边相同的角是 240角,它是第三象限角. 640280360 ,所以在0 360 范围内,与640角终边相同的角是280角.因 为280是第四象限角,所以640是第四象限角. 例题 3.已知是第三象限角，则 （1） 3 是第几象限角？ （2）2在什么范围呢？ 解析：解析：是第三象限角， 180 +360270360 ,kkkZ （1） 方法一：60 +12090120 , 3 kkkZ 当3 ()km mZ时，可得60 +36090360 , 3 mmmZ ，故 3 的终边 在第一象

5、限； 当3 +1()kmmZ时，可得180 +360210360 , 3 mmmZ ，故 3 的 终边在第三象限； 当3 +2()kmmZ时，可得300 +360330360 , 3 mmmZ ，故 3 的 终边在第四象限 综上可知, 3 是第一、三、四象限角. 方法二：由图知， 3 是第一、三、四象限角. 见考点 第五页 （2）(21) 3602180(21) 360 ,kkkZ ，如图所示，2的终边在第 一、二象限或y轴的正半轴上. 例题 4：若是第四象限的角，则180 是（ ） A 第一象限的角 B 第二象限的角 C 第三象限的角 D 第四象限的角 解析：解析：C 例题 5：现在是 8

6、点 5 分，经过 2 小时 15 分钟后，钟表上的时针和分针转过的 角度分别是多少？此时它们所成的角为多少？ 解析：解析：利用钟面分别确定在同一单位时间（1 分钟）和时针所转过的角度，进 而确定所求的角. 时针每小时转过了（ 360 12 ） ，即（30 ） ，则每分钟转过了（ 0.5 ） ，而分针 转过了（ 360 60 ） ，即（ 6 ） 。 故 2 小时 15 分钟后，时针转过了（2 60 15）（0.5 ） 67.5 ；分针转过 了（2 60 15）（ 6 ） 810 。2 小时 15 分钟后为 10 点 20 分。 此时如图所示考点第六页，分针指向 4，时针则由 10 转过了 20（

7、0.5 ） 10 ，故此时时针和分针所成的角为170 作业练习 水平基础题 1.与 457 角终边相同角的集合是 A. 360457 ,.kkZ B. 36097 ,.kkZ C. 360263 ,.kkZ D. 360263 ,.kkZ 2.已知为第三象限角，则 2 所在的象限是 A. 第一或第二象限 B 第二或第三象限 C. 第一或第三象限 D 第二或第四象限 3.若为第二象限角，则180()kkZ 的终边所在的象限是 A. 第一象限 B.第一、二象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 4. 1445 是第_象限角。 5. 已知1910 （1）把写成360 (,0360 )kkZ 的

8、形式，指出它是第几象限角； （2）求，使与的终边相同，且 7200 。 水平提升题： 6.已知集合 A18045 ,kkZ ，集合 B9045 ,kkZ ,则 A 与 B 的关系准确的是 A. AB B. BA C. AB D. AB且BA 7.集合9045 ,Mx xkkZ 与45 ,Mx xkkZ 之间的关系是 A. MP B. MP C. MP D. MP 成才之路第 4 页 8.角与角的终边关于y轴对称，则与的关系为 A. 360 ,kkZ B. 360180 ,kkZ C. 360180 ,kkZ D. 360 ,kkZ 9.若角与角的终边满足下列位置关系，试写出和的关系式： （1）

9、重合：_; (2) 关于x轴对称：_。 10.若集合A1803018090 ,kkkZ ，集合B 3604536045 ,kkkZ ，则AB_ 11已知有锐角，它的 10 倍与它本身的终边相同，求角 12若角的终边和函数yx 的图象重合，试写出角的集合 13.已知集合 A=第一象限角，B=锐角，C=90小于的角，则下面关系准确的是 A. ABC B. AC C. ABB D. BCC 14.已知角与 2的终边相同，且0 360 ，求角 答案 1.C 2.D 3.D 4.四 5.（1）2506 360 ，它是第三象限角 （2） 110 或470 6.C 7.A 8.B 9.（1） 360,kkZ

10、 （2） 360,kkZ 10. 3603036045 ,kkkZ 11. 40 或80 12. 360225=360315 ,SkkkZ 或 13.D 14. =0 1.1.2 弧度制 知识要点 1.弧度制的概念： (1)定义 我们把弧长等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表 示，读作弧度。 用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制。 用弧度制表示角的时候， “弧度”或“rad”经常省略，即只写一实数表示 角的度量，但以角度制表示角时，单位不能省略。 （2）我们知道，角有正、负、零角之分，它的弧度数也应该有正、负、零之 分由角的旋转方向决定。一般地，正角的弧度数为正数

11、，负角的 弧度数为负数，零角的弧度数为零。 2.弧度制下扇形的弧长和面积公式 在半径为r 的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad，则 l r 半径为r ，圆心角为rad 的扇形弧长lr，面积 2 11 22 srlr 3.角度与弧度的换算 180 rad 1 180 rad0.01745rad 1rad= 180 57.30 角度与弧度的换算要熟练掌握，见下表 角度0 15 30 45 60 75 90 120 135 150 弧度0 12 6 4 3 5 12 2 2 3 3 4 5 6 角度180 210 225 240 270 300 315 330 360 弧度7 6 5 4 4 3

12、 3 2 5 3 7 4 11 6 2 90 ,.x xkkZ 教材拓展 弧度制和角度制之间能够互化，但不能同时出现在同一个代数式（即由角的和、 差、积、商的式子）中，如60 6 是错误的。 典型例题 例题 1. 判断下列命题是否准确，并说明理由： A.用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，量数也不同； B.第一象限角的弧度数均为正数； C.1 弧度的角的大小与角所在圆的半径相关； D.只有在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间能够建立一种一一对就的关系 解析：解析：A.不准确若角0，则两种度量制量数相同 B 不准确第一象限角中有负角，负角的弧度数为负数 C 不准确1 弧度角的度量与角所在圆的

13、大小无关 D 不准确角度制下也能够建立一一对应关系. 例题 21 用弧度制表示下列各角： （1）10； （2）15； （3）300； （4）400；（5）210（6）36 II把下列各角从弧度化为度： （1）7； （2） 18 ； （3） 6 5 ； （4） 7 6 ； （5） 4 23 ； （6） 2 5 III把下列各角化成 0 到 2 的角加上 2k（kZ）的形式： （1） 3 17 ； （2）1485； （3） 5 12 ； （4）612 解析：解析：I（1） 18 ；（2） 12 ；（3） 3 5 ；（4） 9 20 ；（5） 6 7 ；（6） 5 II （1）1260；（2）10

14、（3）150； （4）15429； （5）1035；（6）450 III （1）2.2 3 5 3 17 （2）1485(-4)2 4 7 （3）2 5 2 5 12 （4）612 )2(2 3 2 5 3 （1） 18 ；（2） 12 ；（3） 3 5 ；（4） 9 20 ；（5） 6 7 ；（6） 5 3 （1）1260；（2）10 （3）150； （4）15429； （5）1035；（6）450 4 （1）2.2 3 5 3 17 （2）1485(-4)2 4 7 （3）2 5 2 5 12 （4）612 )2(2 3 2 5 3 . 例题 3.如图所示 成才之路第 7 页 （1） 分别

15、写出终边落在,OA OB位置上的角的集合 （2） 写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合 解析：解析：（1）在 0 到 2之间，终边落在OA位置上的角是 24 = 3 4 ，终边落 在OB位置上的角是 6 ，故终边落在OA的角的集合为 3 2,. 4 kkZ 终边落在OB的角的集合为2,. 6 kkZ （2）故终边落在阴影部分的角的集合为 3 22,. 64 kkkZ 例题 4：已知扇形的面积为S，当扇形的中心角为多少弧度是，扇形的周长最 小？并求出此最小值 解析：解析：设l为扇形的弧长，由 1 2 slr得 2s l r 故扇形的周长 2 2 s Cr r ，即 2 220rC rS ，

16、因为r存有，故方程有解， 所以有 2 160CS ,即4CS 周长4CS 周长C的最小值4 S，此时， 2 2 C rS , 中心角 2 2 2 S r rad 所以当扇形的中心角为 2rad 时，扇形的周长最小，最小值为4 S 例题 5：已知集合, 24 k Mx xkZ 与, 42 k Px xkZ ,则 A. MP B. MP C. MP D. MP 解析：解析：, 24 k Mx xkZ 21 , 4 k x xkZ , 42 k Px xkZ 2 , 4 k x xkZ M中的角为 4 的奇数倍，P中的角为 4 的整数倍，故选 C。 作业练习 水平基础题 1. 下列各角中，与角 7

17、11 终边相同的角是（ ） A 7 4 B 7 4 C 7 32 D 7 17 2. 下列每对角中，终边相同的是（ ） A 2 和 2k 2 ，kZ B 3 和 3 22 C和 4 37 405 D 6 25 和 1050 3. 所对弦长等于其所在圆半径的3倍的圆心角（正角）的弧度数是（ ） A2 B 4 3 C 6 5 D 3 2 4. 角800把它改写成 2k（kZ，02）的形式为_ 5. 扇形 OAB 的面积是 2 cm1，周长是 4cm，求它的中心角和弦 AB 的长 水平提升题： 6. 已知两个弧度的圆心角所对的弦长为 2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ） A2 Bsin2 C 1si

18、n 2 D2sin1 7. 如果角与角 x 4 具有同一条终边，角与角 x 4 具有同一条终边，那么与之间 的关系是（） A0 B0 C2k，kZ D2kZk, 2 8.集合P2(21) ,xkkkZ，Q44aa，则PQ=（ ） A. B. 40aaa 或 C. 44aa D. 0aa 9. 与 5 13 终边相同且在区间（2，0）内的角是_ 10. 在集合 2 k 4 ，kZ中，终边不相同的角共有_种，其中第三 象限角可表示为_ 11钟表的时针和分针在 3 点到 5 点 40 分这段时间里各转过多少弧度 12一个半径为 2 的圆形铁片，剪去一个中心角为 108的扇形，求剩余部分的中心角大 小

19、（用弧度制）及周长、面积 提升拓展题 13在以 O 为圆心、半径为 1cm 的圆周上，动点 P 从定点 A 出发，以每分钟 5 圈的速度 逆时针方向旋转，OAP 的面积 2 ycm与旋转时间 t 秒的函数关系为 yf（t）试求 f（t） 14如图圆上一点 A 依逆时针方向作匀速圆周运动，已知点 A 每分转过角 （0） ，经过 2 分到达第三象限，经过 14 分回到原来位置求是多少弧度 答案 1.D 2.D 3.D 4. 9 14 )3(2 5. 设半径为 R，弧长为 l，则 2R+l4，2, 2, 11 2 1 R l lRRlAB=2sin1 6. C由已知可求得半径 1sin 1 ，故弧长

20、 l 1sin 2 1sin 1 2 7. D ZZ,mxmnxn, 4 2, 4 2 则 2 )(2mn因为 m、n 是整数，nm 也是整数所以 有 2 2k故选 D 8.B 9. 5 7 10. 四，Zkk, 2 4 5 11分针在 3 点到 5 点 40 分转过的角度为 2360 3 2 360960，因为是顺时针方 向，应为960，化成弧度为 3 16 ，而时针应转过度针所转角度的 12 1 ，即应为 960 12 1 80，也是顺时针方向旋转，故应为80 9 4 12剩余部分中心角为 360 5 7 252108 所对弧长 5 14 5 7 2l，故扇形 周长为 5 14 4 5 1

21、4 22，扇形面积 5 14 2 5 14 2 1 2 1 RlS 13设AOP，则 | 6 sin| 2 1 |sin| 2 1 , 6 60 25 tOPOAytt 则 0， 022，又由 2在第三象限，故有 2 3 2，依题 意 142k，kZ 7 2 2k，当 k4、5 时， 7 8 2 、 7 10 ，它们均在 （， 2 3 ）内，故 7 4 或 7 5 1.2 任意角的三角函数任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数的定义 知识要点 1.单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点为圆心，以单位长度为半径 的圆为单位圆 2.任意角的三角函数的定义 如图，设是一个任意大小的角，它

22、的 终边与单位圆交于点,P x y ，那么： （1）y叫做的正弦，记作sin，即siny （2）x叫做的余弦，记作cos，即cosx （3） y x 叫做的正切，记作nta，即nta (0) y x x 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的 函数，我们将它们统称为三角函数。因为角的集合与实数之间能 够建立一一对应关系，三角函数能够看成自变量为实数的函数 3.正弦、余弦、正切函数的定义域 三角函数定义域 sinR cosR nta , 2 kkZ 4.三角函数在各象限的符号 三角函数第一象限第二象限第三象限第四象限 sin+- cos+-+ nta+-+- 5.诱

23、导公式（一） 根据三角函数的定义能够知道，终边相同的角的同名三角函数的值相等 sin2sink cos2cosk n2ntakta 其中kZ 教材拓展 相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数 个，它们之间相差360的整数倍。 在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多对一，即给定一个角，它的各 个三角函数值是唯一确定的（不存有的情况除外） ；反过来，给定一个三角函数 值，有无穷多个角和它对应，如：0时，sin0，但当sin0时， ,kkZ 典型例题 例题 1. 已知角的终边经过点2, 3p，求sin，cos，nta的值 分析：分析：由角的终边经过点p，可求rop，

24、然后根据定义sin y r ， cos x r ，n y ta x 写出答案 解析：解析：2,3xy ， 22 13rxy 33 13 sin 1313 y r 22 13 cos 1313 x r 3 n 2 y ta x 例题 2已知角的终边上一点p的坐标为( , 2)(0)xx，且cos 3 x ，求 sin和nta的值 解析：解析： 2 4rx，又cos 3 xx r 因为 2 0,3,49,5xrxx 当5x 时，p点的坐标是( 5, 2) 2 sin 3 y r ， 2 5 n 5 y ta x ； 当5x 时，p点的坐标是(5, 2) 2 sin 3 y r ， 2 5 n 5

25、y ta x 例题 3.求下列各角的正弦、余弦、正切 （1） （2） 3 2 解析：解析：（1）在角的终边上任取一点,P x y ，则0,0yrx sin()0,cos()1,tan()0 （2） 在 3 2 角的终边上任取一点,P x y ，则0,0 xry 333 sin()1,cos()0,tan() 222 不存有 例题 4：x取什么值时，sintanxx有意义？ 解析：解析：当sin0 x 且tan x有意义时，式子才有意义 2(21) () 2 kxk kZ xk ， x的取值范围为2,22,(21)() 22 kkkkkZ 例题 5：已知：cos0,tan0 （1） 求角的集合；

26、 （2） 求角 2 的终边所在的象限 （3） 试判断sin 2 ，cos 2 ，n 2 ta 的符号 解析：解析：（1）角的终边只能位于第二象限 故角的集合为22, 2 kkkZ (2) 22, 2 kkkZ , 422 kkkZ 当=2 ()kn nZ时，22,() 422 nnnZ ， 2 是第一象限角 当=21()knnZ时， 53 22,() 422 nnnZ ， 2 是第三象限角 （4） 由（2）可知，当 2 是第一象限角时，sin0 2 ，cos0 2 ，n0 2 ta 当 2 是第三象限角时，sin0 2 ，cos0 2 ，n0 2 ta 作业练习 水平基础题 1. 如果 的终边

27、过点 P(2sin30，2cos30)，则 sin 的值等于( ) A. B C D 1 2 1 2 3 2 3 3 2.若 sincos，且 sincos0，则 在( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3. 是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且 cosx，则 sin 的值为( ) 5 2 4 A. B. C. D 10 4 6 4 2 4 10 4 4. 使得lg(costan )有意义的角 是第_象限角 5. 已知 P(2，y)是角 终边上一点，且 sin，求 cos 的值 5 5 水平提升题： 6. 函数 y的值域是 |sinx| sinx cosx |cosx|

28、 |tanx| tanx A1,1,3 B1,3 C1,3 DR 7. 已知|cos|cos，|tan|tan，则 的终边在( ) 2 A第二、四象限 B第一、三象限 C第一、三象限或 x 轴上 D第二、四象限或 x 轴上 8. y的定义域为( ) sinxlgcosx tanx A2kx2k B2kx2k 2 2 C2kx(2k1) D2k x0，求角 的取值范围 12设 是第三象限角，且满足sin ，试判断 所在象限 |sin 2| 2 2 提升拓展题 13设 00 且 cos20，求 的取值范围 14判断符号，填“”或“0sin，则 为第四象限角，故选 D. 3. 解析 |OP|，cos

29、x，又因为 是第二象限角，x0，即需 cos、tan 同号， 是第一或 第二象限角 5. 解析 r， 4y2 sin ，y0，y1，r，cos . y r y y24 5 55 x r 2 5 5 6. 解析 该函数的定义域是x|xR 且 x，kZ，当 x 是第一象限角时， k 2 y3； 当 x 是第二象限角时，y1111； 当 x 是第三象限角时， y1111； 当 x 是第四象限角时，y1111. 综上，函数的值域是1,3答案 C 7. 解析 |cos|cos，cos0，又 |tan|tan，tan0，2k2k2， 3 2 k k，kZ.应选 D. 3 4 2 8解析 Error!，2k

30、x0 时，rx， x2y22 sincos ，当 x0，角 的终边在第二象限或 y 轴非负半轴上， 终边过(3a9，a2)， Error!，2a3. 12解析 是第三象限角，2k2k ，kZ. k k ，kZ. 3 2 2 2 3 4 在第二、四象限内又sin ，sin 0. 为第四象限角 2 |sin 2| 2 2 2 1300，00 得，2k 22k ， 2 2 即 k k (kZ)0， 的取值范围是 0 或 4 4 4 3 4 14解析 3，4，50，cos40，tan50. 2 3 2 3 2 答案 1.2.2 单位圆中的三角函数线 知识要点 1.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段

31、2.单位圆中的三角函数线 设单位圆与x轴的正半轴交于点 A,与角的终边交于点,P x y ，1op 当角的终边不在坐标轴上时，过 P 做PMx轴，M 为垂足，过 A 做 ATx轴，与角的终边（或其反向延长线）交于点 T. 根据三角函数的定义可得：siny，cosx 如果我们规定有向线段MP与y轴的方向一致时取正值，相反时取负值，则能 够用MP来表示sin，即sinMP，同样，规定OM与x轴方 向相同时取正，相反时取负，则cosOM，规定AT与y轴方 向相同时取正，相反时取负，则ntaAT，把有向线段 MPOMAT、分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，如图 当角的终边与x轴重合时，正弦线、正切线

32、分别变成一个点，此时角的正 弦值和正切值都为 0，余弦值为 1 或-1；当角的终边与y轴重合时，余弦线 变成一个点，正切线不存有，此时角的正切值不存有，余弦值为 0，正弦值 为 1 或-1 教材拓展 应特别注意正弦线、余弦线、正切线的位置、方向、符号。 典型例题 例题 1. 利用单位圆中的三角函数线，求满足下列条件的角 x 的集合 （1） 3 sin 2 x （2） 3 n 3 tax 解析：解析：（1） 在02之间满足条件的角x的终边必 须在图中阴影部分内（包括边界） ，即 2 33 x ， 故满足条件的角x的集合为 2 22, 33 xkxkkZ （2）在02之间满足条件的角x的终边必须在

33、图中 阴影部分内（不包括边界） ，即 5 26 x 或 311 26 x ， 故满足条件的角x的集合为 5 , 26 x kxkkZ 例题 2比较大小： (1) sin1 和 sin1.5; (2) cos1 和 cos1.5; (3) tan2 和 tan3. 解析：解析：由三角函数线得 sin1cos1.5 tan2tan3 例题 3. 利用三角函数线证明|sin|+|cos|1 证明：在OMP 中，OP=1， OM=|cos|, MP=ON=|sin|， 因为三角形两边之和大于第 三边，所以 |sin|+|cos|1 例题 4：已知0, 2 ，试证明 sintan 证明：sin=|ON|

34、=|MP|, AP,tanAT OATOAP SS 扇形 又 11 22 OAOA AT 即 sinsin1.2sin1.5 Bsin1sin1.5sin1.2 Csin1.5sin1.2sin1 Dsin1.2sin1sin1.5 4. 若 0,2)，且 cos，则 的取值范围是_ 3 2 5. 利用三角函数线比较下列各组数的大小 ： (1)sin与 sin； 2 3 4 5 (2)tan与 tan. 2 3 4 5 水平提升题： 6. 已知 sinsin，那么下列命题成立的是( ) A若 、 是第一象限角，则 coscos B若 、 是第二象限角，则 tantan C若 、 是第三象限角，

35、则 coscos D若 、 是第四象限角，则 tantan 7. asin，bcos，ctan，则( ) 2 7 2 7 2 7 Aabc Bacb Cbca Dbac 8. 设角 是第二象限角，且cos ，则角 是( ) |cos 2| 2 2 A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 9. 若 是三角形的内角，且 sincos ，则这个三角形是_三角形 （锐角、 2 3 直角、钝角） 10利用单位圆写出满足 sin0； 3 (2)Error!. 14已知角 的终边落在直线 y2x 上，求 sin，cos，tan 的值 . 答案 1. 答案 B 解析 三角形的内角有可能是 ，属

36、非象限角； 2 终边在第二象限的角不一定是钝角；终边相同的角不一定相等，故 A、C、D 都不准确 2. 答案 B 解析 sin1 或 sin1，角 的终边在 y 轴上 3. 答案 C 解析 数形结合可知，C 准确 4. 答案 0， ，2) 6 11 6 5. 解析 如图所示，角的终边与单位圆的交点为 P，其反向延长线与单位圆的过 2 3 点 A 的切线的交点为 T，作 PMx 轴，垂足为 M，sinMP，tanAT； 2 3 2 3 的终边与单位圆的交点为 P，其反向延长线与单位圆的过点 A 的切线交点为 4 5 T，作 PMx 轴，垂足为 M，则 sinMP，tanAT， 4 5 4 5 由

37、图可见，MPMP0，ATATsin. 2 3 4 5 (2)tanNQsin，此时 OMON，cosNQ，ACAB，即 tanNQ 即 sinsin，ONOM，即 coscos，故 C 错，选 D. 7. 答案 D. 8答案 C 解析 是第二象限角， 是第一、三象限角 2 由cos 知，cos 0， |cos 2| 2 2 是第三象限角 2 9. 解析 钝角. 10答案 (0， 4) ( 3 4 ，) 11答案 点 P 在第一象限， Error! 由(1)知 0 或 cos， 作出三角函数线知，在0,2内满足 sincos 的 ，(4) ( 4， 5 4) 由(3)、(4)得 . ( 4， 2

38、) (， 5 4) . 12解析 如图(1) 2cosx10，cosx . 1 2 函数定义域为(kZ) 32k， 32k (2)如图(2) 34sin2x0，sin2x ，sinx0，即 tan. 3 3 3 由正切线知 k ， 2 2 区域()为 cosx . 1 2 区域()与()公共部分为不等式组的解，即不等式组解集为，kZ. 2k 3，2k 3 4) 14解析 (1)当角 的终边在第一象限时，在角 的终边上取点 A(1,2)， 由 r|OA|得， 12225 sin，cos，tan2. 2 5 2 5 5 1 5 5 5 (2)当角 的终边在第三象限时，在角 的终边上取点 B(1，2

39、)， 由 r|OB|得， (1)2(2)25 sin，cos，tan2 2 5 2 5 5 1 5 5 5 1.2.3 同角三角函数的基本关系 知识要点 1. 同角三角函数的基本关系 22 sincos1 ， sin tan cos 2.同角三角函数的基本关系式的应用 （1）同角三角函数的基本关系式主要用于 已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值; 化简三角函数式 证明三角恒等式 （2）已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时要注意角所在的 象限。这主要时因为在使用 2 cos1 sin 或 2 sin1 cos ，要跟据 角所在的象限，恰当选定根号前面的正负号。而在使用

40、sin tan cos 时，没 有选定正负号的问题。 教材拓展 （1）公式中的角能够以其他形式出现，但必须是以相同的形式以保证同角。 如：1 2 cos 2 sin 22 12cos2sin 22 要提醒学生1cossin 22 是错误 的。 （2）掌握公式的变形。公式 22 sincos1可变形为 22 cos1sin； 22 sin1cos； 2 cos1sin； 2 sin1cos。公式 sin tan cos 可变形为costansin （3）商数关系中注意限制条件。即0cos， 2 k，Zk 典型例题 例题 1. 已知 4 sin 5 ，且是第二象限的角, 求cos和tan 分析分析

41、 知道正弦函数值，能够利用平方关系，求出余弦函数值；然后利用商数关 系，求出正切函数值 解析解析： 由 22 sincos1，可得 2 cos1sin 又因为是第二象限的角，故cos0所以 22 43 cos1sin1( ) 55 4 sin 5 tan 3 cos 5 = 4 3 例题 2已知tan3 （1） 求nsi和cos的值 （2） 求 3ncos 2cossin si 的值 （3） 求 2 n3sincos1si 的值 解析：（解析：（1）tan30 是第一或第三象限角 当是第一象限角时，结合 22 sincos1 ，有 3 10 sin 10 10 cos 10 当是第三象限角时，

42、结合 22 sincos1 ，有 3 10 sin 10 10 cos 10 （2）解法一：当是第一象限角时， 3 1010 3 3ncos8 1010 = 2cossin5103 10 2+ 1010 si 当是第三象限角时，同理可得 3ncos8 = 2cossin5 si 解法二：tan3 3ncos3tan18 = 2cossin2tan5 si （3）解法一：将（1）的结果代入得： 2 n3sincos1si = 2 3 103 1010 311 101010 解法二：tan3， 22 sincos1 2 n3sincos1si = 2 n3sincos1 1 si = 2 22 n

43、3sincos1 ncos si si = 22 22 2n3sincoscos ncos si si 2 2 2tan3tan1 1 tan1 例题 3：(1)若角 是第二象限角，化简 tan； 1 sin21 (2)化简：. 12sin130cos130 sin130 1sin2130 解：(1)原式tantan 1sin2 sin2 cos2 sin2 ， sin cos| cos sin| 是第二角限角，sin0，cos0，故这组解舍去 当 5 3 cosx时， 5 4 sinx， 3 4 tanx （2） 5 1 cossinxx （sinx+cosx）2 = sin2x+cos2x

44、+2sinxcosx = 25 1 25 12 cossinxx 又 x0，sinx0，cosx0sinx cosx = 5 7 sin3x cos3x = (sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)= 125 91 ) 25 12 1 ( 5 7 13解：解： 当当 的终边在的终边在 x 轴上时，即当轴上时，即当 m=0 时，时，0 cos sin tan ; 当当 的终边在的终边在 y 轴上时，即当轴上时，即当 m=1 时，时，tan 无意义；无意义； 当当 在一、四象限时，在一、四象限时， cos0 22 1sin1cosm 2 2 2 1 1 1 cos sin

45、 tan m mm m m 当当 在二、三象限时，在二、三象限时， cos0 22 1sin1cosm 1 1 1 cos sin tan 2 2 2 m mm m m 14解析 1 sincos 5 ，0, 平方得： 12 sincos0 25 sin0,cos0且sin,cos是方程 2 112 0 525 xx的两根 解方程得 12 43 , 55 xx 43 sin,cos 55 (1) 4 tan 3 (2) 33 37 sincos 125 1.3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式 1.3.1 与的三角函数 知识要点 1. （1）公式二 sinsin coscos tantan

46、 （2）公式三 sinsin coscos tantan （3）公式三 sinsin coscos tantan 2.公式一四能够概括为 2()kkZ,的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个 把看成锐角时原函数值的符号 教材拓展 1. 诱导公式的记忆方法 诱导公式一四可用口诀“函数名不变，符号看象限”记忆，其中“函数名不 变”是指等式两边的三角函数同名， “符号”是指等号右边是正号还是负号， “看象限”是指把看成锐角时原三角函数中角所在的象限 特别注意“把看成锐角” ， 并不一定是锐角，它能够是任意大小的角，故 应用公式时只看形式如 15 sin 4 应用sin的公式 15 4 并非锐角

47、，只 要是“”就看作第二象限， 1515 sinsin 44 (2) 利用公式一四把任意角的三角函数转化为锐角函数,一般可按下面步骤 实行： 典型例题 例题 1利用公式求下列三角函数值：利用公式求下列三角函数值： (1) cos( 420 ) (2) 7 sin() 6 （3） 79 cos() 6 解析解析： （1）cos( 420 ) = 1 cos( 60 )cos(60 ) 2 （2） 7 sin() 6 = 51 sin()sin() 662 （3） 79 cos() 6 53 cos()cos 662 例题 2化简：（1）sincos()tan(2) （2） 2 3 sin ()c

48、os() tan()cos ()tan(2 ) 解析：（1）sincos()tan(2)=sin( cos) tan = 2 sin （2） 2 3 sin ()cos() tan()cos ()tan(2 ) = 2 3 ( sin) ( cos) ( tan)( cos) ( tan) 2 23 sincos 1 tancos 例题 3：已知 1tan 32 2 1tan ， 求 22 cos ()sin()cos()2sin ()的值 解析：关于tan的方程 1tan 32 2 1tan 得， 2 tan 2 22 cos ()sin()cos()2sin () 22 cossincos

49、2sin 22 22 cossincos2sin sincos 2 2 1tan2tan tan1 = 42 3 例题 4：已知 f(x)asin(x)bcos(x)，其中 a、b、 都是非零常数， 若(2009)1,f 则求(2010)f 解析：法一：f(2 009)asin(2 009)bcos(2 009) asin()bcos() (asinbcos)1， f(2 010)asin(2 010)bcos(2 010) asinbcos1. 法二：f(2 010)asin(2 010)bcos(2 010) asin(2 009)bcos(2 009) asin(2 009)bcos(2

50、 009) f(2 009)1. 作业练习 水平基础题 1已知 sin() ，那么 cos 的值为 1 2 ( ) A B. 1 2 1 2 C. D 3 2 3 2 2. 已知 cos()，且 是第四象限角，则 sin(2) 5 13 A B. C D. 12 13 12 13 12 13 5 12 3已知 ( ，)，tan(7) ，则 sincos 的值为 2 3 2 3 4 A B C. D 1 5 1 5 1 5 7 5 4cos1cos2cos3cos180 =_ 5. 已知 1 cos(75) 3 ，其中为第三象限角，求 cos(105)sin(105 ) 水平提升题： 6.已知

51、w.ksw.ks 5 sin 7 m ，则 2 cos 7 的值等于 A. m B. m C 2 1 m D 2 1 m 7. 化简：)2cos()2sin(21得（） A.sin2+cos2 B.cos2-sin2 C.sin2-cos2 D. (cos2-sin2) 8. 已知 和 的终边关于 x 轴对称，则下列各式中准确的是（） A.sin=sin B. sin(-2) =sin C.cos=cos D. cos(2-) =-cos 9. tan=m，则 )cos(-sin( )cos(3sin( ） ） _ 10|sin|=sin（-+） ，则 的取值范围是_. 11 )cos(3si

52、n( )cos()n(s2sin( ） ） i . 12已知：sin（x+ 6 ）= 4 1 ，求 sin（) 6 7 x +cos2（ 6 5 -x）的值 提升拓展题 13求下列三角函数值： （1）sin 3 4 cos 6 25 tan 4 5 ； （2）sin（2n+1） 3 2 . 14sin( )sin(2 )sin(3 )sin(2010 )的值等于的值等于_ 6 6 6 6 . 答案 1. 解析：sin() ，则 sin . 1 2 1 2 cos.故选 D. 1sin2 3 2 答案：D 2. 解析：由 cos()得，cos，而 为第四象限角， 5 13 5 13 sin(2)

53、sin. 1cos2 12 13 答案：A 3. 解析：tan(7)tan ，( ，)，sin ，cos ，sincos . 3 4 2 3 5 4 5 1 5 答案：答案：B 4. -1 5. 解析： 1 cos(105)cos 180(75)cos(75) 3 sin(105 )sin 180(75)sin(75) 1 cos(75)0 3 又为第三象限角 22 12 2 sin(75)=- 1 cos (75)1 ( ) 33 12 2 cos(105)sin(105 ) 33 6. 7. 答案 . 8答案 9. 1 1 m m . 10(2k-1) ,2k 11原式= )cos( si

54、n( )cos()ns(sin ） i = 2 sin( cos) sin( cos) = sin 12 16 11 13解：（1）sin 3 4 cos 6 25 tan 4 5 =sin（+ 3 ）cos（4+ 6 ）tan（+ 4 ） =（sin 3 ）cos 6 tan 4 =（ 2 3 ） 2 3 1= 4 3 . （2）sin（2n+1） 3 2 =sin（ 3 2 ）=sin 3 = 2 3 . 14解析：解析：原式原式( ) ( ) . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22010 1.3. 2 的三角函数 知识要点 1. 公式五 sincos 2 cossin 2 2 公式

55、六 sincos 2 cossin 2 3.公式一四能够概括为 2 的正弦（余弦）值，等于的余弦（正弦）值，前面加上一个把看成 锐角时原函数值的符号 4. 3 sincos 2 3 cossin 2 3 sincos 2 3 cossin 2 教材拓展 诱导公式（除公式一外）能够统一成() 2 k kZ 的形式.记忆口诀：奇变偶不变， 符号看象限。即当k为奇数时，正弦变余弦、余弦变正弦。符号确定方法时把 看成锐角时， 2 k 在第几象限，则其符号就取该象限中，角 2 k 的前面 函数名的符号。 如 5 sin,5 2 k 为奇数，则变为cos， 5 2 为第一象限角，其正弦值为 正，所以 5

56、sincos 2 典型例题 例题 1已知已知 cos( ) ，则，则 sin( ) 4 1 2 4 A B. C D. 1 2 1 2 2 2 2 2 解析：解析：sin( )cos ( )cos( ) 4 2 4 4 . 1 2 答案：答案：A 例题 2已知已知 f() sin()cos(2)cos(f(3,2) cos(f(,2)sin() (1)化简化简 f()； (2)若若 为第三象限角，且为第三象限角，且 cos( ) ，求，求 f()的值；的值； 3 2 1 5 (3)若若 ，求，求 f()的值的值 31 3 解：解：(1)f()cos. sincos(sin) sinsin (2)cos( )sin ，sin ， 3 2 1 5 1 5 又又 为第三象限角，为第三象限角，