几何概型第一课时课件[教学内容]

1、1优学课堂 n古典概型的两个基本特点古典概型的两个基本特点: : （1 1）所有的基本事件只有有限个）所有的基本事件只有有限个; ; （2 2）每个基本事件发生都是等可能的）每个基本事件发生都是等可能的. . 那么对于有无限多个试验结果的情况那么对于有无限多个试验结果的情况 相应的概率应如果求呢相应的概率应如果求呢? ? 复习引入复习引入 2优学课堂 1 1. .取一根长度为取一根长度为3m3m的绳子，拉直后在任意位置的绳子，拉直后在任意位置 剪断，那么剪得两段的长度都不小于剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m1m的概率的概率 有多大？有多大？ 从从3m3m的绳子上的任意一点剪断的绳子上的任意

2、一点剪断. . 基本事件基本事件: : 问题情境问题情境1 3优学课堂 2.2.射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环. .从外向内为白色、从外向内为白色、 黑色、蓝色、红色，靶心是金色黑色、蓝色、红色，靶心是金色, ,金色靶心叫金色靶心叫“黄心黄心”. .奥运会奥运会 的比赛靶面直径为的比赛靶面直径为122cm,122cm,靶心直径为靶心直径为12.2cm.12.2cm.运动员在运动员在70m70m 外射箭外射箭, ,假设每箭都能中靶假设每箭都能中靶, ,且射中靶面内任一点都是等可能的且射中靶面内任一点都是等可能的, , 那么射中黄心的概率是多少那么射中黄心的概

3、率是多少? ? 射中靶面射中靶面( (直径为直径为122cm122cm的的 大圆大圆) )内的任意一点内的任意一点. . 这两个问题能否用古典概型的方法来求解呢这两个问题能否用古典概型的方法来求解呢? ? 怎么办呢怎么办呢? ? 基本事件基本事件: : 问题情境问题情境2 4优学课堂 3 3 1 1 A A) )事事件件A A发发生生的的概概率率P P( ( 0 0. .0 01 1 1 12 22 2 4 4 1 1 1 12 2. .2 2 4 4 1 1 B B) )事事件件B B发发生生的的概概率率P P( ( 2 2 2 2 对于问题对于问题1 1. .记记“剪得两段绳长都不小于剪得

4、两段绳长都不小于1m”1m”为事件为事件A. A. 把绳子三等分把绳子三等分, ,于是当剪断位置处在中间一段上时于是当剪断位置处在中间一段上时, ,事事 件件A A发生发生. .由于中间一段的长度等于绳长的由于中间一段的长度等于绳长的1/3.1/3. 对于问题对于问题2.记记“射中黄心射中黄心”为事件为事件B，由于中靶点随机，由于中靶点随机 落在面积为落在面积为 cm2的大圆内，而当中靶点的大圆内，而当中靶点 落在面积为落在面积为 cm2黄心内时，事件黄心内时，事件B发生。发生。 2 122 4 1 2 2.12 4 1 5优学课堂 对于一个随机试验对于一个随机试验, ,我们将每个基本事件理解

5、为从某个我们将每个基本事件理解为从某个 特定的几何区域内随机地特定的几何区域内随机地取一点取一点, ,该区域中的每一个点被该区域中的每一个点被 取到的机会都一样取到的机会都一样, ,而一个随机事件的发生则理解为恰好而一个随机事件的发生则理解为恰好 取到上述区域内的取到上述区域内的某个指定区域中的点某个指定区域中的点. .这里的区域可以这里的区域可以 是是线段、平面图形、立体图形线段、平面图形、立体图形等等. .用这种方法处理随机试用这种方法处理随机试 验验, ,称为称为几何概型几何概型. . 几何概型的特点几何概型的特点: : (1)(1)基本事件有无限多个基本事件有无限多个; (2)(2)基

6、本事件发生是等可能的基本事件发生是等可能的. . 构建数学构建数学 6优学课堂 . . D的测度D的测度 d的测度d的测度 P(A)P(A) 一般地,在几何区域D中随机地取一点,记“该点落 在其内部一个区域d内”为事件A,则事件A发生的概率: 注注: : (2)(2)DD的测度不为的测度不为0,0,当当DD分别是分别是线段、平面图形、立体图形线段、平面图形、立体图形 时时, ,相应的相应的“测度测度”分别是分别是长度、面积和体积长度、面积和体积. . （1 1）古典概型与几何概型的区别在于：古典概型与几何概型的区别在于： 几何概型是无限多个等可能事件的情况，几何概型是无限多个等可能事件的情况，

7、 而古典概型中的等可能事件只有有限多个；而古典概型中的等可能事件只有有限多个； （3 3）在区域在区域 内随机取点是指：该点落在内随机取点是指：该点落在 内任何一内任何一 处都是等可能的，落在任何部分的可能性只与该部分的处都是等可能的，落在任何部分的可能性只与该部分的 测度成正比而测度成正比而与其形状位置无关与其形状位置无关 DD 7优学课堂 用几何概型解简单试验问题的方法用几何概型解简单试验问题的方法 1 1、适当选择观察角度，把问题转化为几何概、适当选择观察角度，把问题转化为几何概 型求解；型求解； 2 2、把基本事件转化为与之对应的、把基本事件转化为与之对应的区域区域DD； 3 3、把随

8、机事件把随机事件A A转化为与之对应的转化为与之对应的区域区域d d； 4 4、利用几何概型概率公式计算并作答。、利用几何概型概率公式计算并作答。 注意：要注意基本事件是等可能的。注意：要注意基本事件是等可能的。 8优学课堂 例例1.1.取一个边长为取一个边长为2a2a的正方形及其内切圆，随机的正方形及其内切圆，随机 向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率. . 2a 事事件件A A, ,记记“豆豆子子落落在在圆圆内内”为为: :解解 . 4 4 豆豆子子落落入入圆圆内内的的概概率率为为答答 4 4 4 4a a a a 正正方方形形面面积积 圆圆

9、的的面面积积 P P( (A A) ) 2 2 2 2 数学应用数学应用 9优学课堂 数学拓展：数学拓展：模拟撒豆子试验估计圆周率模拟撒豆子试验估计圆周率 ( ). m P A n 由此可得由此可得 n m4 如果向正方形内撒如果向正方形内撒 颗豆子，其中落在圆内的颗豆子，其中落在圆内的 豆子数为豆子数为 ，那么当，那么当 很大时，比值很大时，比值 ， 即频率应接近于即频率应接近于 ，于是有，于是有 n m n ( )P A mn a 由由 例例1 知知 4 )( AP 10优学课堂 例例2.2.在在1L1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病 的种子的种子, ,从

10、中随机取出从中随机取出10mL,10mL,含有麦锈病种子的含有麦锈病种子的 概率是多少概率是多少? ? 有一杯有一杯1 1升的水升的水, ,其中含有其中含有1 1个大肠杆菌个大肠杆菌, , 用一个小杯从这杯水中取出用一个小杯从这杯水中取出0.10.1升升, ,求小求小 杯水中含有这个细菌的概率杯水中含有这个细菌的概率. . 1 10 00 0 1 1 1 10 00 00 0 1 10 0 所所有有种种子子的的体体积积 取取出出种种子子的的体体积积 P P( (A A) ) 解：解：记记“取出取出10ml麦种，其中含有病种子麦种，其中含有病种子”为事件为事件A， 则则 答：答：含有麦锈病种子的

11、概率是含有麦锈病种子的概率是 。 100 1 练练 一一 练练 11优学课堂 例例4.4.在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中，在斜边中，在斜边ABAB上任取一上任取一 点点M M，求，求AMAM小于小于ACAC的概率。的概率。 C A B C 解：解：在在AB上截取上截取AC=AC 于是于是 P（AMAC）=P（AM AC） ACAC2 = ABAB2 答答：AM小于小于AC的概率为的概率为 2 2 12优学课堂 1.1.某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想 听电台整点报时，求他等待的时间短于听电台整点报时，求他等待的时间短于1010分钟

12、分钟 的概率的概率. . 打开收音机的时刻位于打开收音机的时刻位于5050，6060时间段内时间段内 则事件则事件A A发生发生. . 由几何概型的求概率公式得由几何概型的求概率公式得 P P（A A）= =（60-5060-50）/60=1/6/60=1/6 即即“等待报时的时间不超过等待报时的时间不超过1010分钟分钟”的概率为的概率为1/6.1/6. 解：解：记记“等待的时间小于等待的时间小于1010分钟分钟”为事件为事件A A， 学生活动学生活动 13优学课堂 2. 已知米粒等可能的落入如图所示的四边形已知米粒等可能的落入如图所示的四边形ABCD 内，如果通过大量的实验发现米粒落在内，

13、如果通过大量的实验发现米粒落在BCD内的内的 频率稳定在频率稳定在4/9附近，那么点附近，那么点A和点和点C到直线到直线BD的的 距离之比约为距离之比约为-。 A B C D 14优学课堂 3.3.在在1 1万平方公里的海域中有万平方公里的海域中有4040平方公里的海平方公里的海 域贮藏着石油域贮藏着石油. .假如在海域中任意一点钻探假如在海域中任意一点钻探, ,钻到钻到 油层面的概率是多少油层面的概率是多少? ? 15优学课堂 4.4.如图所示。一水平放置的如图所示。一水平放置的“靶子靶子”共有共有1010 个同心圆构成，其半径分别为个同心圆构成，其半径分别为1cm1cm、2cm2cm、 3

14、cm3cm、10cm,10cm,最内的小圆称为最内的小圆称为1010环区，环区， 然后从内向外的圆环依次为然后从内向外的圆环依次为9 9环区、环区、8 8环环 区、区、1 1环区，现随机地向环区，现随机地向“靶子靶子”上撒上撒 一粒豆子，则豆子落在一粒豆子，则豆子落在8 8环区的概率是多少？环区的概率是多少？ 16优学课堂 . .( (会面问题会面问题) )甲、乙二人约定在甲、乙二人约定在1212点到点之间在某地点到点之间在某地 会面，先到者等一个小时后即离去会面，先到者等一个小时后即离去, ,设二人在这段时间内设二人在这段时间内 的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会的各时刻到达

15、是等可能的，且二人互不影响。求二人能会 面的概率。面的概率。 解：以解：以x, ,y分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是 00 x5,05,0y5.5. 即即 点点 M M 落在图中的阴影部落在图中的阴影部 分分. .所有的点构成一个正方所有的点构成一个正方 形，即有形，即有无穷多个结果无穷多个结果. . 由于每人在任一时刻到达由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正都是等可能的，所以落在正 方形内各点是方形内各点是等可能的等可能的. . .M(x,y) 拓展提高拓展提高 x 0 1 2 3 4 5 y 5 4 3 2 1 17优学课堂 两人会面的条件是

16、：两人会面的条件是： | 1,xy 2 25 5. . 9 9 2 25 5 4 4 2 2 1 1 2 22 25 5 正正方方形形的的面面积积 阴阴影影部部分分的的面面积积 P P( (A A) ) 2 2 0 1 2 3 4 5 y x 5 4 3 2 1 y=x+1 y=x -1 记记“两人会面两人会面”为事件为事件A 18优学课堂 假设你家订了一份报纸假设你家订了一份报纸, ,送报人可能在早上送报人可能在早上6:307:306:307:30 之间把报纸送到你家之间把报纸送到你家, ,你父亲离开家去工作的时间在早你父亲离开家去工作的时间在早 上上7:008:007:008:00之间之间

17、, ,问你父亲在离开家前能得到报纸问你父亲在离开家前能得到报纸 ( (称为事件称为事件A)A)的概率是多少的概率是多少? ? 解解: :以横坐标以横坐标X表示报纸送到时间表示报纸送到时间, 以纵坐标以纵坐标Y表示父亲离家时间建立表示父亲离家时间建立 平面直角坐标系平面直角坐标系,由于随机试验落由于随机试验落 在方形区域内任何一点是等可能的在方形区域内任何一点是等可能的, 所以符合几何概型的条件所以符合几何概型的条件.根据题根据题 意意,只要点落到阴影部分只要点落到阴影部分,就表示父就表示父 亲在离开家前能得到报纸亲在离开家前能得到报纸,即时间即时间A 发生发生,所以所以 2 2 2 30 60 2 ( )87.5%. 60 P A 拓展提高拓展提高 19优学课堂 n1.1.古典概型与几何概型的区别古典