高数第三章中值定理

1、高数第三章中值定理 中值定理中值定理 第二章我们讨论了微分法，解决了曲线的切线、第二章我们讨论了微分法，解决了曲线的切线、 法线及有关变化率问题。这一章我们来讨论导数的法线及有关变化率问题。这一章我们来讨论导数的 应用问题。应用问题。 我们知道，函数我们知道，函数 )()( 00 xfxxfy )(xfy 在区间在区间 xxx 00, 可用它的微分可用它的微分 xxfdy )( 0 来近似计算来近似计算 其误差是比其误差是比 x 高阶的无穷小高阶的无穷小 )( 0 xf x y 即即是近似关系是近似关系)|(|充分小充分小x 高数第三章中值定理 )(lim 0 0 xf x y x 而而是极限

2、关系是极限关系,都不便应用都不便应用 我们的任务是寻求差商与导数的直接关系，既我们的任务是寻求差商与导数的直接关系，既 不是极限关系，也不是近似关系。对此，不是极限关系，也不是近似关系。对此，Lagrange 中值定理给出了圆满的解答：中值定理给出了圆满的解答： xxxfy )( 0 导数应用的理论基础导数应用的理论基础 本章我们先给出本章我们先给出Rolle定理（它是定理（它是Lagrange定定 理的特殊情况），由特殊过渡到一般来证明理的特殊情况），由特殊过渡到一般来证明 Lagrange定理和定理和Cauchy定理，有了定理，有了Cauchy定理定理 就可以给出就可以给出Taylor中值

3、定理及中值定理及L， ， Hospital法则， 法则， 这就是本章理论部分的主要内容。这就是本章理论部分的主要内容。 高数第三章中值定理 理论部分结构图理论部分结构图 Lagrange定理定理 特例特例 Rolle定理定理 推广推广 Cauchy定理定理 推广推广 Taylor定理定理 高数第三章中值定理 本章的导数应用部分就是以此为基础展开讨论本章的导数应用部分就是以此为基础展开讨论 的，利用的，利用Lagrange定理给出了可导函数的单调性和定理给出了可导函数的单调性和 凹凸性的判定法则，可以讨论可导函数取得极值的凹凸性的判定法则，可以讨论可导函数取得极值的 条件；有了条件；有了L， ，

4、 Hospital法则，可以进一步讨论 法则，可以进一步讨论 1 ,0 ,0 , 0 0 00 等各种类型的未定式的极限；此外利用中值定理和等各种类型的未定式的极限；此外利用中值定理和 单调性还可证明一些不等式。单调性还可证明一些不等式。 重点重点 微分中值定理微分中值定理L， ， Hospital法则 法则 Taylor公式公式 求函数的极值和最值求函数的极值和最值 高数第三章中值定理 难点难点 中值定理中值定理 L， ， Hospital法则的运用 法则的运用 利用中值定理证明不等式利用中值定理证明不等式 基本要求基本要求 正确理解和掌握正确理解和掌握R、L、C、T定理及它们之定理及它们之

5、 间的关系间的关系 熟练运用熟练运用L法则求未定式的极限法则求未定式的极限 掌握函数展开成掌握函数展开成Taylor公式的方法，熟记公式的方法，熟记 )1(),1ln(,cos,sin,xxxxe x 的的Taylor公式公式 高数第三章中值定理 熟练掌握单调性的判定方法，会利用单调性熟练掌握单调性的判定方法，会利用单调性 来证明不等式来证明不等式 正确理解函数取得极值的条件，掌握极值判定正确理解函数取得极值的条件，掌握极值判定 条件及求法条件及求法 掌握函数凹凸性的判定方法，会求曲线的拐点掌握函数凹凸性的判定方法，会求曲线的拐点 会用中值定理证明不等式会用中值定理证明不等式 先讲中值定理，以

6、提供必要的理论基础先讲中值定理，以提供必要的理论基础 高数第三章中值定理 一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理 定理定理(Rolle) 若函数若函数f ( x ) 满足满足 （1）在闭区间）在闭区间a,b上连续上连续 （2）在开区间）在开区间(a,b)内可导内可导 （3）在区间端点处的函数值相等）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b) 0)()( ),(,),( fxf baba 在在该该点点的的导导数数为为零零，即即 使使得得函函数数内内至至少少存存在在一一点点则则在在 例如例如, 32)( 2 xxxf).1)(3( xx ,3 , 1上连续上连续在在 ,)3 , 1(上可导上可导在

7、在 , 0)3()1( ff且且 ),1(2)( xxf)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f 高数第三章中值定理 几何解释几何解释: : x y o )(xfy a b C 1 2 若连续曲线弧的两个若连续曲线弧的两个 端点的纵坐标相等，端点的纵坐标相等， 且除去两个端点外处且除去两个端点外处 处有不垂直于横轴的处有不垂直于横轴的 切线，切线， . , 切切线线是是水水平平的的 在在该该点点处处的的上上至至少少有有一一点点在在曲曲线线弧弧CAB 物理解释物理解释: : 变速直线运动在折返点处变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零瞬时速度等于零. 高数第三章中值定理 证证,)(连连续续

8、在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值 .)1(mM 若若.)(Mxf 则则 . 0)( x f由此得由此得 ),(ba . 0)( f都有都有 .)2(mM 若若 ),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点 ),(afM 设设 .)(),(Mfba 使使内至少存在一点内至少存在一点则在则在 ),()( fxf, 0)()( fxf 高数第三章中值定理 , 0 x若若 ; 0 )()( x fxf 则则有有 , 0 x若若; 0 )()( x fxf 则则有有 ; 0 )()( lim)( 0 x fxf f x ; 0 )()( lim)( 0

9、x fxf f x ,)(存在存在 f ).()( ff. 0)( f只只有有 高数第三章中值定理 注注 Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导 区间端点处的函数值相等；区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件这三个条件只是充分条件，而非必要条件 如：如：y=x2在在-1,2上满足上满足(1),(2)，不满足，不满足(3) 却在却在(-1,2)内有一点内有一点 x=0 使使 02 00 xx xy 但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立 三个条件缺一不可。三个条件缺一不可。

10、例如例如,;2 , 2, xxy 高数第三章中值定理 , ,)0(2 ,2 一一切切条条件件 满满足足罗罗尔尔定定理理的的不不存存在在外外上上除除在在 f . 0)( x f但但在在内内找找不不到到一一点点能能使使 又例如又例如,; 0)0(,1 , 0(,1)( fxxxf 在在0,1上除去上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的不连续外，满足罗尔定理的 一切条件一切条件 . 0)( x f但但在在内内找找不不到到一一点点能能使使 再例如再例如 .1 , 0,)( xxxf 在在0,1上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔 定理的一切条件定理的一切条件 .0)(

11、的的点点但但也也找找不不到到使使 x f 罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；的点。有的函数这样的点可能不止一个； 高数第三章中值定理 另外还要注意点另外还要注意点并未具体指出，即使对于给定并未具体指出，即使对于给定 的具体函数，点的具体函数，点也不一定能指出是哪一点，也不一定能指出是哪一点， 如如)2ln()( xxxf 在在-1，0上满足罗尔定理的全部条件，而上满足罗尔定理的全部条件，而 )2ln( 2 )( x x x xf 但却不易找到使但却不易找到使 的的点点0)( x f 但根据定理，这样的点是

12、存在的。即便如此，我们但根据定理，这样的点是存在的。即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用 高数第三章中值定理 例例1 1 .1 015 5 的的正正实实根根 有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx 证证, 15)( 5 xxxf设设 ,1 , 0)(连连续续在在则则xf . 3)1(, 1)0( ff且且 由介值定理由介值定理 . 0)(),1 , 0( 00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1的正实根的正实根. ,),1 , 0( 011 xxx 设另有设另有. 0)( 1 xf使使 ,)( 10 件件之之间间

13、满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条在在xxxf 使使得得之之间间在在至至少少存存在在一一个个),( 10 xx )1(5)( 4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.为为唯唯一一实实根根 高数第三章中值定理 例例2 证明证明 0)( 2 cbxaxe x 至多有三个实根至多有三个实根 证证 )()( 2 cbxaxexf x 记记 直接证明有困难，采用反证法直接证明有困难，采用反证法 设设0)( xf有四个实根有四个实根 4321 xxxx )()( 2 cbxaxexf x 记记 连续、可导连续、可导 对对)(xf, 433221 xxxxxx在在用罗尔定理得用罗尔定理得 4332

14、211 xxxx 0)()()( 321 fff使使 baxexf x 2)(连续、可导连续、可导 对对)(x f , 3221 在在用罗尔定理得用罗尔定理得 高数第三章中值定理 32211 0)()( 21 ff使使 aexf x 2)( 连续、可导连续、可导 对对)(x f , 21 在在 用罗尔定理得用罗尔定理得 , 4121 xx 0)( x f使使 0)( x exf但但矛盾矛盾 得证结论成立得证结论成立 高数第三章中值定理 二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理 拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数 f(x)

15、在在 闭区间闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,那末在那末在 ),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()( abfafbf 成立成立. . )1( )2( ).()(:bfaf 去去掉掉了了与与罗罗尔尔定定理理相相比比条条件件中中注注意意 ).( )()( f ab afbf 结结论论亦亦可可写写成成 高数第三章中值定理 几何解释几何解释: xo y )(xfy A B a b C 1 D 2 . , AB C AB 线平行于弦线平行于弦 在该点处的切在该点处的切一点一点 上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证分析分析:).(

16、)(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差 弦弦AB方程为方程为 ).( )()( )(ax ab afbf afy x N M ,)(ABxf减减去去弦弦曲曲线线 ., 两两端端点点的的函函数数值值相相等等所所得得曲曲线线ba 高数第三章中值定理 作辅助函数作辅助函数 ).( )()( )()()(ax ab afbf afxfxF ,)(满足罗尔定理的条件满足罗尔定理的条件xF . 0)(,),( Fba使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在 0 )()( )( ab afbf f即即 ).)()()(abfafbf 或或 拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式 注意注意: :

17、拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的 增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 高数第三章中值定理 ,),()(内内可可导导在在在在设设baxf 则有则有),(, 00 baxxx ).10()()()( 000 xxxfxfxxf ).10()( 0 xxxfy也也可可写写成成 .的的精精确确表表达达式式增增量量 y 拉格朗日中值公式又称有限增量公式拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 微分中值定理微分中值定理 推论推论1 .)( ,)( 上

18、上是是一一个个常常数数在在区区间间那那末末 上上的的导导数数恒恒为为零零在在区区间间如如果果函函数数 Ixf Ixf 推论推论2 2 CxgxfI xgxfI )()( ),()( 上上在在区区间间那那末末 上上在在区区间间如如果果 高数第三章中值定理 例例2 2).11( 2 arccosarcsin xxx证证明明 证证 1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设 ) 1 1 ( 1 1 )( 22 xx xf 1 , 1,)( xCxf 0arccos0arcsin)0( f又又 2 0 , 2 . 2 C即即 . 2 arccosarcsin xx 0 高数第三章中值定理

19、 例例3 3.)1ln( 1 ,0 xx x x x 时时证明当证明当 证证),1ln()(xxf 设设 , 0)(上上满满足足拉拉氏氏定定理理的的条条件件在在xxf )0(),0)()0()(xxffxf , 1 1 )(, 0)0( x xff 由上式得由上式得 , 1 )1ln( x x x 0又又 x 111, 1 1 1 1 1 x , 11 x x x x .)1ln( 1 xx x x 即即 高数第三章中值定理 例例4 Maaff axfMxfa | )(| )0(| ), 0()(,| )(| , 0 最最大大值值，试试证证 内内取取得得在在且且上上设设在在 证证 内内可可导导

20、在在上上连连续续在在由由于于), 0(, 0)(aaxf 内内取取得得最最大大值值在在且且),0()(axf 0)(), 0(, cfacFermat使使定定理理知知由由 上上分分别别使使用用在在对对, 0)(accx f Lagrange定理定理 cffcf )()0()( 1 )0( 1 c )()()()( 2 cafcfaf )( 2 ac )( | )(| )(| )(| )0(| 21 cafcfaff )(cacM Ma 高数第三章中值定理 例例5设抛物线设抛物线 CBxxy 2 与与 x 轴有两个交点轴有两个交点 )(,babxax 函数函数f(x)在在a,b上二阶可导上二阶可

21、导 0)()( bfaf曲线曲线y = f ( x )与抛物线与抛物线 CBxxy 2 在（在（a,b）内有一个交点）内有一个交点 证明证明 2)(),( fba使使 证证如图所示如图所示 ox y CBxxy 2 y=f(x) a b c M N 高数第三章中值定理 )()()( 2 cBxxxfxF 令令 内内可可导导在在上上连连续续在在则则),(),(,)(bccabccaxF 0)()()( bFcFaF且且 由罗尔定理，得由罗尔定理，得bca 21 0)()( 21 FF使使 内内可可导导在在上上连连续续在在又又),(,)( 2121 x F 0)()( 21 FF且且 再由罗尔定理

22、，得再由罗尔定理，得),(),( 21 ba 0)( F使使 BxxfxF 2)()(而而2)()( xfxF 2)( f 高数第三章中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 柯西柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函数如果函数)(xf及及)(xF 在闭区间在闭区间,ba上连续上连续, ,在开区间在开区间),(ba内可导内可导, ,且且)( xF 在在),(ba内每一点处均不为零，那末在内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少内至少 有一点有一点)(ba , ,使等式使等式 )( )( )()( )()( F f bFaF bfaf 成立成立. . 高数

23、第三章中值定理 几何解释几何解释: )( 1 F)( 2 F xo y )( )( xfY xFX )(aF A )(bF B C D )(xF N M . ),(),( AB fFC AB 弦弦 该点处的切线平行于该点处的切线平行于 在在一点一点 上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧 证证作辅助函数作辅助函数 ).()( )()( )()( )()()(aFxF aFbF afbf afxfx ,)(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件x . 0)(,),( 使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba 高数第三章中值定理 , 0)( )()( )()( )( F aFbF afbf f即即

24、 . )( )( )()( )()( F f aFbF afbf . 0)(,),( 使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在ba ,)(xxF 当当, 1)(,)()( xFabaFbF )( )( )()( )()( F f aFbF afbf ).( )()( f ab afbf Cauchy定理又称为广义微分中值定理定理又称为广义微分中值定理 高数第三章中值定理 ).0()1(2)(),1 , 0( :,)1 , 0(,1 , 0)( fff xf 使使至少存在一点至少存在一点 证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数例例6 6 证证分析分析: 结论可变形为结论可变形为

25、 2 )( 01 )0()1(fff . )( )( 2 x x xf ,)( 2 xxg 设设 , 1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf 有有内至少存在一点内至少存在一点在在,)1 , 0( 2 )( 01 )0()1(fff ).0()1(2)(fff 即即 高数第三章中值定理 例例7设设f(x)在在x=0的某邻域内具有二阶导数，且的某邻域内具有二阶导数，且 0)0()0( ff试证试证 )10( ! 2 )()( 2 xf x xf 证证的某邻域内的任一点的某邻域内的任一点为为设设00 xx 由题设知由题设知 上上在在 xxxgxf, 0)

26、(),( 2 满足满足Cauchy定理的条件定理的条件 由由Cauchy公式得公式得 )0()( )0()()( 2 gxg fxf x xf 1 1 2 )( f x, 0 1 再对函数再对函数 上上在在 1 , 02)(),( xxgxf 应用应用Cauchy公式，有公式，有 高数第三章中值定理 )0()( )0()()( 1 1 2 gg ff x xf ! 2 )( 2 f 12 , 0 之间之间与与在在由于由于x0 2 )10( 2 x )10( ! 2 )()( 2 xf x xf 若若f(x)在在x=0的某邻域内具有的某邻域内具有 n 阶导数，且阶导数，且 0)0()0()0( )1( n fff ! )()( )( n xf x xf n n 则则 这就是这就是Taylor公式公式 高数第三章中值定理 例例8 设设f(x)在在a,b上连续，在上连续，在(a,b)内可导，内可导，0 a 证明证明),(, 321 baxxx 3 3 22 2 2 1 3 )( )( 2 )( )()( x xf aabb x xf abxf 使使 证证 f(x)在在a,b上满足上满足Lagrange定理的条件定理的条件 ),( 1 bax )()()(