空间向量求距离[青苗教育]

1、平面法向量平面法向量 在立体几何中的应用在立体几何中的应用 利用法向量求距离 空间向量空间向量-第五课时第五课时 1技能教育 一、回顾知识一、回顾知识 1.1.距离定义距离定义 （1 1）点到直线距离）点到直线距离 从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间 的距离叫这点到这条直线的距离。的距离叫这点到这条直线的距离。 （2 2）点到平面的距离）点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间 的距离叫这点到这个平面的距离。的距离叫这点到这个平面的距离。 （3 3）两平行直线间的距离）两平行直

2、线间的距离 两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间两条平行线间的公垂线段的长，叫做两条平行线间 的距离。的距离。 2技能教育 （4）两条异面直线间的距离）两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异面直线和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫两条异面直线 的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度，叫两的公垂线；公垂线上夹在两异面直线间的线段的长度，叫两 异面直线的距离。异面直线的距离。 （5）直线与平面的距离）直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这个如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这个 平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平

3、面的距离叫做平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做 这条直线和平面的距离。这条直线和平面的距离。 （6）两平行平面间的距离）两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行平面的和两个平行平面同时垂直的直线，叫这两个平行平面的 公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个 平行平面间的距离。平行平面间的距离。 3技能教育 如何利用空间向量求点到平面的距离如何利用空间向量求点到平面的距离： n A P O 一、求点到平面的距离一、求点到平面的距离 4技能教育 n P A O M N PA n d n 方法指导

4、方法指导：若点：若点P为平面为平面外一点，点外一点，点A为平面为平面内任内任 一点，平面的法向量为一点，平面的法向量为n，则点，则点P到平面到平面的距离公式的距离公式 为为 一、求点到平面的距离一、求点到平面的距离 5技能教育 例例1、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4， CG平面平面ABCDABCD，CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB、 ADAD的中点，求点的中点，求点B B到平面到平面GEFGEF的距离。的距离。 D AB C G F E x y z 6技能教育 D A B C G F E x y z (2, 2,0),( 2, 4,2),EFEG nEF

5、nEG ， |BE|2 11 . 11 n d n 220 2420 xy xy 1 1 (,1), 3 3 n B(2,0,0)E 例例1 7技能教育 练习练习1: 的距离。的距离。到平面到平面求求 ， ，平面平面 SCDA aADaBCABSA ABCDABABCDSA ,2 90 S B C DA x y z 8技能教育 A P D C B M N 练习练习2: 9技能教育 D M P N A x C B z y 10技能教育 例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 GEF的距离。 D AB C G F E x y

6、 z 二、求直线与平面间距离 |BE|2 11 . 11 n d n 11技能教育 正方体正方体AC1棱长为棱长为1，求，求BD与平面与平面GB1D1的的 距离距离 A1 B1 C1D1 A B C D X Y Z n nDD d 1 练习练习3: G 12技能教育 例例3、正方体、正方体AC1棱长为棱长为1，求平面，求平面AB1C 与平面与平面A1DC1的距离的距离 A1 B1 C1D1 A B C D X Y Z 三、求平面与平面间距离三、求平面与平面间距离 n nAD d 13技能教育 练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B

7、1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。 AB C D A1 B1 C1 D1 M N E F x y z n nAB d 14技能教育 B A M N n AB n d n a b 四、求异面直线的距离四、求异面直线的距离 15技能教育 n a b A B n nAB d 方法指导:作直线a、b的方向向量a、b，求a、 b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方 向向量；在直线a、b上各取一点A、B，作向 量AB；求向量AB在n上的射影d，则异面直线 a、b间的距离为 16技能教育 z x y A B C C1 E A1 B1 例例4 17技能教育 z x y A B

8、C C1 ).4 , 2 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 0(, 1 BAECxyzC则解：如图建立坐标系 ),4 , 2 , 2(),0 , 1 , 1 ( 1 BAEC 则的公垂线的方向向量为设).,(, 1 zyxnBAEC 1 0 0 n CE n AB 即 0 2240 xy xyz 取x=1,z则y=-1,z=1,所以 ) 1 , 1, 1 ( n ).0,0, 1 (,ACAC 在两直线上各取点 1 |2 3 . |3 n CA CEABd n 与与的的距距离离 E A1 B1 例例4 18技能教育 已知正方体已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为1，求异面，求异面 直线直线DA1与与AC的距离。的距离。 AB D C A1 B1 C1D1 x y z 练习练习5 19技能教育 练习