第三章_几种常见的概率分布律b

1、第三章 几种常见的概率分布律 回顾一下，在上一章里讲了变量及其概率分布的一 般概念。 离散变量用概率函数来研究，概率函数定义了这个变量 取每个值的概率； 连续变量用密度函数（一条曲线）来研究，通过这条曲线我们 可以求得变量在某个特定区间取值的概率。 在这一章里，我们将介绍一些在实际研究中应用最实际研究中应用最 广的变量类型及其概率分布广的变量类型及其概率分布。 离散变量离散变量 连续变量连续变量 二项分布二项分布 泊松分布泊松分布 超几何分布 负二项分布 指数分布 正态分布正态分布 标准正态分布标准正态分布 第一节第一节 二项分布二项分布 （Binomial Distribution） 1.贝

2、努利试验和在什么情形下应用二项分布 贝努利试验贝努利试验（Bernoulli trial）：试验只有两种可能的结果， 并且发生每种结果的概率是一定的。 例如：抛一枚硬币，看得到正面还是 反面；掷一次骰子，看得到6还是没有 得到6；随机抽查一名婴儿的性别，看 是男是女 在贝努利试验里，两种结果可分别称为“成功成功”和和“失败失败”， 或者“事件A发生”和“事件A没有发生”。 什么情形时应用二项分布什么情形时应用二项分布：实验中进行了n次独立的贝努利 试验，统计在这n次试验中总共获得了多少次“成功”。“成 功”的次数，记为变量X；X称为二项分布变量，X的概率分布 称为二项分布。 （1）连续抛硬币1

3、00次，统计总共出现正面的次数。次数X服从二项分布。 X的可能取值为0，1，2，n。所以X是个离散型变量。 二项分布变量的一些例子：二项分布变量的一些例子： （2）调查250名新生婴儿的性别，记男婴的总数为X，则X服从二项分布。 （3）调查n枚种蛋的出雏数，出雏数X服从二项分布。 （4）n头病畜治疗后的治愈数X，X服从二项分布。 （5）n尾鱼苗的成活数X，X服从二项分布。 2. 二项分布的常用记号 ; :贝努利试验的次数n 成功”的次数；的取值，即总共获得“二项分布变量X :x “成功”的概率；一次贝努利试验中获得 : “失败”的概率；显然是一次试验中获得 :1 次“成功”的概率。总共获得xx

4、P : )( 3. 二项分布的概率函数P(x) 怎样得到P(x)? 种：次成功的方式有次贝努利试验里，获得在 2 4 24C 以以n n4 4，x x2 2为例，欲求为例，欲求P P（x x2 2）？）？。 ffss fsfs fssf sffs sfsf ssff 6 1212 1234 ! 2 ! 2 ! 4 , )!( ! ! 2 4 2 4 依据计算公式 位置的组合方式。是从四个位置选取两个：注意 C xnx n C C x n 每种方式发生的概率为： 22 )1 ()(1)(1f)P(f)P(s)P(s)P(P(ssff) 乘法法则 其它5种方式发生的概率也是如此。 2422 4 )

5、1 ()2( 24 CP xn次成功的概率为次试验中取得因此，在 xnxx n CxP x n )1 ()( * 次成功的概率是共获得 此贝努利试验中，在由此类推到一般情形， 的讨论：关于 xnxx n CxP )1 ()( ”这个名称。项，所以有“二项分布的第 展开是二项式）从形式上来说，（ 1 )1 ()1 (1 x C nxnxx n 011100 )1 ()1 ()1 ()1 ()1 ( nn n xnxx n n n n n n CCCC n x n x nnxnxx n CxP 00 11)1 ()1 ()( 2）（ 例一，纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗传 理论，子二代中白猪

6、与黑猪的比率为3：1。求产仔 10头，有7头白猪的概率。 。，视白猪为成功，有 个二项分布的问题，解：根据题意，这是一 775. 0 4 3 ,10 xn 71077 10 )75. 01 (75. 0)7()7( CPxP 2503. 0 25. 075. 0 ! 3 ! 7 !10 37 所以，窝产仔10头，有7头白猪的概率是0.2503。 例二，有一批玉米种子，出苗率为0.67。现任取6粒 种子种1穴中，问这穴至少有1粒种子出苗的概率是 多少？ 服从二项分布。则设出苗的种子数为 。视出苗为成功，有个二项分布的问题。解：根据题意，这是一 xx n , 67. 0 , 6 )6()2() 1

7、() 1()1(xPxPxPxPP粒出苗至少有 9987. 0 0905. 00799. 00157. 0 33. 067. 033. 067. 033. 067. 0 066 6 422 6 511 6 CCC 这说明每穴种6粒种子，几乎肯定出苗。 9987. 00013. 0133. 067. 01 )0(1)(1)1( 600 6 C xPPP没有出苗粒出苗至少有 另外一种方法： 4 二项分布的概率分布表和概率分布图 除以P(x)表示，二项分布也可通过表或图来直观显示。 xP(x) 00.0625 10.250 20.375 30.250 40.0625 例如，抛硬币4次，获得的正面数记

8、为X，则X服从二项 分布。X的概率分布表为 062. 05 . 05 . 0)0( , 5 . 0, 4 400 4 CP n 时，分布偏斜： 时，分布对称； 5 . 0 5 . 0 X的概率分布图为 注意： 时，负偏 时，正偏 5 . 0 5 . 0 5 二项分布变量的平均数和标准差 平均数 n x xxPXE 0 )()( 定义 证明： n x xnx x xnx n 0 )1 ( )!( ! ! n x xnx x xnx n 1 )1 ( )!( ! ! nXE)( 1 0 11 1 )1 ( )!1( ! ! n t tnt xt tnt n 1 0 1 )1 ( )!1( ! )!

9、1( n t tnt tnt n n 1 )1 ( n n n x xnx xnx n 1 )1 ( )!()!1( ! n 方差和标准差 222 )()()(XEXEXVar证明： n x xnx x xnx n 0 2 )1 ( )!( ! ! )1 ()( 2 nXVar )1 (n n x xxPXE 0 22 )()( 定义 n x xnx xxx xnx n 0 2 )()1 ( )!( ! ! n x xnx n x xnx x xnx n xx xnx n 00 2 )1 ( )!( ! ! )()1 ( )!( ! ! nnn nnn xnx n n xnx n nn x x

10、nx n xx xnx n n x xnxxnx n x n x xnx n x xnx 222 2 1 12 2 2 12 2 ) 1( )1 ( )!()!1( )!1( )1 ( )!()!2( )!2( ) 1( )1 ( )!( ! ! )()1 ( )!( ! ! )1 ( )()( 2 22222 nnn nnnnXVar 例三，某树种幼苗成材率为70，现种植 2000株，问成材幼苗数的平均值和标准差是 多少？ 服从二项分布。则株幼苗的成材数为解：设XX,2000 。根据题意，70. 0 ,2000n 140070. 02000n平均数 49.203 . 07 . 02000)1

11、 (n标准差 第二节第二节 泊松分布泊松分布 （Poisson Distribution） 1. 在什么情形下应用泊松分布 泊松分布是一种用来描述一定的空间或时间里稀有事件发生次一定的空间或时间里稀有事件发生次 数数的概率分布。 服从泊松分布的变量的一些例子： 一定畜群中某中患病率很低的非传染性疾病患病数或死亡数。 畜群中遗传的畸形怪胎数 单位空间内某些野生动物或昆虫数 每升饮水中的大肠杆菌数 2. 泊松分布的概率函数与特征数 泊松分布变量X只取零和正整数：0,1,2，其概率 函数为 e x xP x ! )( 是自然对数底数。其中7182. 2 , 0e 页。证明见情形下的情形来近似。在这种

12、 布可以用二项分布在怎么得到的呢？泊松分注意： 40, ! )1 ( , 0,)( e x Cn nxP x xnxx n 泊松分布的平均数 )(XE x x e xxPXE xx x 00 ! )()( 证明： 1 1 1 )!1()!1( x x x x x e x e 0 1 ! t t xt t e ee 泰勒级数 泊松分布的方差和标准差 )( 2 XVar 222 )()()(XEXEXVar证明： 22 )()()1()() 1(XEXEXXEXEXXXE x xxxP 2 ) 1()( 0 2 ) 1( ! x x xx x e 2 2 2 2 )!2( x x x e 22 e

13、e 例一，显微镜下观察一种悬浮液中的某种颗粒，据前人报告， 平均每张样片可以观察到3个微粒，问在一次观察中看到3个 微粒的概率是多大？少于3个微粒的概率是多少？若观察100 张片子，大约有多少张片子看到的微粒数少于3个？ 。松分布，且有事件数，所以它服从泊 里的稀有，可以看成是一定空间微粒数解：一张片子里看到的 3 X 2240. 0 ! 3 3 ! ) 3( 33 e x e XP x 4232. 0 ! 2 3 ! 1 3 ! 0 3 )2() 1()0()3( 323130 eee XPXPXPXP )(32.424232. 0100)3(100张大约有XP 第三节第三节 正态分布正态分

14、布 （Normal Distribution） 正态分布是一种最重要的连续型变量的概率分布。 在生物科学研究里，有许多变量是服从或近似 服从正态分布的，如水稻产量、小麦株高、玉 米百粒重等； 许多统计分析方法是以正态分布为基础的。 不少随机变量的概率分布在样本容量增大时趋于 正态分布。 因此，在统计学里，正态分布无论在理论研究上还是在实际 应用中均占有重要的地位。 1 正态分布的定义与主要特征 定义：变量X的概率分布的密度函数为 2 2 2 )( 2 1 )( x exf 。服从正态分布，记为为方差，则称变量为平均数，其中，),( 22 NXX f(x）的曲线为 X的积累分布函数 dxedxx

15、fxXPxF x x x 2 2 2 )( 2 1 )()()( 没有更简化 的形式 正态分布的主要特征： （1）曲线是单峰、对称的“悬钟”形曲线，对称轴是 x= （2）曲线是非负函数，以x轴为渐近线，分布从到 （3）曲线在x=处各有一个拐点，即在-, + 范围内是上凸，其余是下凸。 （4）曲线有两个参数：和。 代表平均数， 代表标准差， 和一起决定曲线的位置和形状。 越大，则曲线沿x轴越向右移动；反之向左。 是变异度参数， 愈大则曲线愈“胖”；反之则愈 瘦。 （5）曲线下和x轴所夹的总面积为1 =0.5 =1 =2 2 标准正态分布 定义：=0，=1时的正态分布称为标准正态分布。标准正 态分

16、布变量记为U，写作 UN(0,1)。 2 2 2 1 )( u eu 密度函数： dxeuUPu x u 2/ 2 2 1 )()( 分布函数： 的曲线：密度函数)(u 普通正态分布与标准正态分布普通正态分布与标准正态分布 X Z (Z) (Z) Z Z 2 2 1 ( ), 2 z zez xexf x , 2 1 )( 2 2 2 )( 标准正态分布曲线标准正态分布曲线 标准正态分布的累积分布曲线标准正态分布的累积分布曲线 累积分布函数累积分布函数 标准正态分布有以下特性：标准正态分布有以下特性： 1、在、在u0时时(u)达到最大值。达到最大值。 2、当、当u不论向哪个方向远离不论向哪个方

17、向远离0时，时，(u)的值都的值都 减小。减小。 3、曲线两侧对称。、曲线两侧对称。 4、曲线在、曲线在u1和和u1处有两个拐点。处有两个拐点。 5、曲线与横轴所夹面积等于、曲线与横轴所夹面积等于1。 6、累积分布曲线围绕点（、累积分布曲线围绕点（0，0.5）对称。）对称。 标准正态分布概率密度曲线在标准正态分布概率密度曲线在-1-1+1+1的区间内占的区间内占 总面积的总面积的68.27%68.27%，在，在-1.96-1.96+1.96+1.96的区间内占总的区间内占总 面积的面积的95%95%；在；在-2.58 -2.58 +2.58+2.58的区间内占总面的区间内占总面 积的积的99%

18、99%。 dzebZaP zb a 2 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 ()() 2 zz ZPZzedz 曲线下面积分布规律曲线下面积分布规律 0-1 1 -1.96 1.96-2.582.58 68.27% 95.00% 99.00% -+-1.96+1.96-2.58 +2.58 68.27% 95.00% 99.00% 标准正态分布标准正态分布 正态分布正态分布 面积或概率面积或概率 -11 68.27% -1.961.96 1.96 95.00% -2.582.58 2.58 99.00% 标准正态分布的三个常用概率标准正态分布的三个常用概率 99.74% 65.26% 95.

19、46% 3 标准正态分布的概率计算 查表法：表2（253页）列出了标准正态变量的累积分布函数 值，即U小于某个值u的概率：P(Uu) 左边的面积即为表中列出的数值uu)( 关系式： )()()()()(abaUPbUPbUaP )()(ccUP )(1)(1)(ddUPdUP )53. 134. 0()4( ),56. 2|(|)3( ),58. 2()2( ),64. 1() 1 (),1 , 0( UPUP UPUPNU试求：例一，已知 05050. 0)64. 1(1 查表 ）解：（UP 00494. 099506. 01)58. 2(1)58. 2()2( 查表 UPUP 01046.

20、 000523. 02)56. 2(2)56. 2|(|) 3(UPUP 30392. 063307. 093699. 0)34. 0()53. 1()53. 134. 0 () 4 (UPUPUP 4 一般正态分布的概率计算 通过如下定理，将一般正态分布变量转化成标准正态分布变 量来求。 对于服从对于服从N（，2）的随机变量）的随机变量X，首先要进，首先要进 行标准化变换，使之变为标准正态分布，再按行标准化变换，使之变为标准正态分布，再按 上述方法查表。变换的方法是：上述方法查表。变换的方法是： x u 定理： ) 1 , 0(),( 2 N X NX ，则假设变量 bXa PbXaP)(因

21、此， ba PU 定理 ab cX PcXP)(同理， cc UP dX PdXP)( d UP d d UP 1 1 。 。求下列概率：例二，如果变量 )4026( ) 3( );40( )2( );26( ) 1 ( )5 ,30( 2 XP XPXPNX 21186. 0)8 . 0( 5 3026 5 30 )26() 1 ( 查表 解： UP X PXP 02275. 097725. 01)2(1 5 3040 5 30 1)40(1)40()2( 查表 UP X PXPXP 76539. 021186. 097725. 0)8 . 0()2( )28 . 0( 5 3040 5 3

22、0 5 3026 )4026( )3( 查表 UPUP UP X PXP 关于一般的正态分布，以下的一些概率经常 用到：变量X落在的不同倍数区间的概率。 6826. 0)(XP 9545. 0)22(XP 9973. 0)33(XP 95 . 0 )96 . 1 96. 1(XP 99. 0)58. 258. 2(XP 这些结论可以用一个实例来印证： 以第一章里的120头母羊的体重资料为例： 41. 5 , 9 .51sx 由表可见，实际频率与理论概率相当接近，说明120头基 础母羊体重资料的频率分布接近正态分布，从而可推断 基础母羊体重这一随机变量很可能是服从正态分布的。 5 正态分布的单侧

23、、双侧临界值（分位数） 附表2列出了概率的数值，即对于给定的u，列出了曲线下u左 边的面积。 ，已知面积为 在以后的统计推断中，我们经常需要做与上面相反的工作：即 已知曲线下右侧尾区的一定面积 ，求对应的临界值u ? u 的值。页）给出了（附表 。上侧临界值的称为 u u 256 3 ，已知面积为 u u。下侧临界值的称为。 ；同时，我们有因此， u uUPuUP )()( 。双侧，也可以记为双侧临界值的称为那么 平均分配到两侧，即如果将面积 下侧。全部放在曲线的上侧或的单侧临界值是将面积 )( ,)|(| 2/ 2/ uu uUP 的上侧临界值的双侧临界值注意： 2 2/ 2/ 2/ u 界

24、值和双侧临界值。的上侧临界值、下侧临和例三，求01. 005. 0 ;645. 105. 0) 1 ( 3 05. 0 查表 时，上侧临界值 解： u ;645. 1 05. 0 u所以，下侧临界值 96. 1)( 3 025. 005. 0 查表 双侧双侧临界值uu ;326. 201. 0)2( 3 01. 0 查表 时，上侧临界值u ;326. 2 01. 0 u所以，下侧临界值 576. 2)( 3 005. 001. 0 查表 双侧双侧临界值uu 注意：这些临界值在第五章假设检验时经常用到 双侧概率或单侧概率双侧概率或单侧概率 【例例】已知猪血红蛋白含量已知猪血红蛋白含量x服从正态分布服从正态分布 N (12.86，1.332 )，若，若P(xl1) =0.03,P(xl2)=0.03, 求求l1,l2 。 依题意依题意 2=0.03,=0.06又因为又因为 故故 P(xl1)+ P(xl2) = P(u-u) + P(uu) 03. 0)() 33.