中职数学——8.2.1任意角的三角函数[主要内容]

1、角角 度度 弧弧 度度 060 120 135 270 4 2 6 5 2 30 6 45 3 90 3 2 4 3 150 180 2 3 360 0 180rad ， 1rad 180 0.01745 rad . 180 1rad() 57.3057 18 . 复习回顾：复习回顾： 1青苗辅导1 =; 1 : 2 lR SlR 扇扇形形弧弧长长公公式式： 面面积积公公式式， 21 | 2 SR 2青苗辅导1 8.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 3青苗辅导1 角的范围已经推广，那么对任一角角的范围已经推广，那么对任一角是否也能是否也能 像锐角一样定义三角函数呢？像锐角一样定义三角函

2、数呢？ 初中我们已经学习过锐角三角函数，知道它们初中我们已经学习过锐角三角函数，知道它们 都是以锐角都是以锐角为自变量，以比值为函数值，定义为自变量，以比值为函数值，定义 了角了角的的正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切的三角函数的三角函数. . 本节课我们研究当角本节课我们研究当角是一个任意角时，其三是一个任意角时，其三 角函数的定义及其几何表示角函数的定义及其几何表示 4青苗辅导1 1.任意角的三角函数的定义 设设锐角锐角的顶点与原点的顶点与原点O重合，始边与重合，始边与x轴的非负半轴轴的非负半轴 重合重合,那么那么的终边在第一象限，在的终边在第一象限，在的终边上任意一点的终边上任意一点 P(

3、a,b)(除开顶点除开顶点O),它与原点它与原点(即顶点即顶点)的距离是的距离是r(r0),那么那么 根据初中所学过的三角函数的定义，有根据初中所学过的三角函数的定义，有 O O x y r (1)(1)正弦正弦:sin= ;:sin= ; b r (2)(2)余弦余弦:cos= ;:cos= ; a r (3)(3)正切正切:tan= .:tan= . b a P P( (a, ,b) ) b a 由相似三角形的知识知道，这些比值不会随点由相似三角形的知识知道，这些比值不会随点P的位的位 置改变而改变，所以通常取置改变而改变，所以通常取r=1的位置。的位置。 5青苗辅导1 P(P(a, ,b

4、) ) 0 0 x y M M A(1,0)A(1,0) 1 1 设设锐角锐角的顶点与原点的顶点与原点O重合，始边与重合，始边与x轴的非负半轴轴的非负半轴 重合重合,那么那么的终边在第一象限，在的终边在第一象限，在的终边上的点的终边上的点P(a,b)与与 原点原点(即顶点即顶点)的距离是的距离是1,那么根据初中所学过的三角函数那么根据初中所学过的三角函数 的定义，有的定义，有 (1)(1)正弦正弦:sin= =:sin= =b ; ; MP OP (2)(2)余弦余弦:cos= =:cos= =a ; ; OM OP (3)(3)正切正切:tan= .:tan= . MPb OMa 我们称以原

5、点为圆心，以单位长度为半径的圆为我们称以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆单位圆. 1.任意角的三角函数的定义 同样我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数同样我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数. 6青苗辅导1 1、任意角的三角函数的定义一 设设是任意一个角是任意一个角,的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P(P(x, ,y), ), 那么那么 (1)(1)正弦正弦:sin=:sin=y ; ; (2)(2)余弦余弦:cos=:cos=x ; ; (3)(3)正切正切:tan= (:tan= (x0).0). y x P(P(x, ,y) ) 0 0 x y A(1,0)A(1,0

6、) 正弦、余弦、正切都是以角正弦、余弦、正切都是以角( (弧度弧度) )为自变量，以单位为自变量，以单位 圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它 们统称为们统称为三角函数三角函数。 三角函数三角函数sinsincoscostantan 定义域定义域 7青苗辅导1 角的概念推广后，实际上是把角的集合角的概念推广后，实际上是把角的集合 与实数集与实数集R之间建立了一一对应的关系：之间建立了一一对应的关系： 实数集实数集R角的集合角的集合 正角正角 零角零角 负角负角 正实数正实数 零零 负实数负实数 8青苗辅导1 53 (1);(2);

7、(3). 32 例例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：求下列角的正弦、余弦和正切值： 解：解： （1）在直角坐标系中，作）在直角坐标系中，作 5 3 AOP （如图），（如图）， 得的终边与单位圆的交点坐标为得的终边与单位圆的交点坐标为 5 sin 3 5 cos 3 5 tan 3 3 , 2 1 , 2 3. 13 (,). 22 P 9青苗辅导1 53 (1);(2);(3). 32 例例1.求下列角的正弦、余弦和正切值：求下列角的正弦、余弦和正切值： 解：解： （2） 当当 时，时， 在直角坐标系中，在直角坐标系中， 角角 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 ( 1,

8、0).P sin 1, cos 0,tan 0. （3） 当当 时，时， 3 2 在直角坐标系中，在直角坐标系中， 角角 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 (0, 1).P 3 sin 2 1, 3 cos 2 0, 3 tan 2 不存在不存在. x y O 10青苗辅导1 特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值 sin cos tan 030456090180270360 0 6 4 3 2 2 3 2 0 00 0 00 0 0 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 2 2 2 3 3 3不存在不存在 弧度 11青苗辅导1 例例2.已知角已知角终边

9、上经过点终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值求角的正弦、余弦和正切值. P P0 0(-3,-4)(-3,-4) 0 0 x y M M0 0 P(P(x, ,y) ) M M 如图，设角如图，设角的终边与单位圆交于点的终边与单位圆交于点P(x, y)， 解：解： 分别过点分别过点P、P0作作x轴的垂线轴的垂线MP，M0P0， 则则 000 | 5,| 4,|,OPM PMPy 0 | 3,|,OMOMx 00 ,OMPOM P 且且 siny | | MP OP 00 0 | | M P OP 4 ; 5 1 y cosx 1 x | | OM OP 0 0 | | O

10、M OP 3 ; 5 tan y x sin cos 4 . 3 12青苗辅导1 一般地一般地，设角，设角终边上任意一点终边上任意一点( (异于原点异于原点) )P P( (x, ,y),),它它 到原点到原点( (顶点顶点) )的距离为的距离为r00，则，则 sinsin= ;cos= ;cos= ;tan= ;tan= .= . y x x r y r 三角函数的坐标定义三角函数的坐标定义 ： (见教材见教材86页页) 13青苗辅导1 例例2.已知角已知角终边上经过点终边上经过点P0(-3,-4), 求角的正弦、余弦和正切值求角的正弦、余弦和正切值. 解法解法2：点点P0(-3,-4),到

11、原点的距离为到原点的距离为 22 ( 3)( 4)r 5. 故由三角函数的坐标定义知：故由三角函数的坐标定义知： sin y r 4 , 5 cos x r . 3 , 5 tan y x 4 . 3 P P0 0(-3,-4)(-3,-4) 0 0 x y M M0 0 14青苗辅导1 变式变式1 1：已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(2a,-3a)(a0)，求，求 角角的正弦、余弦、正切值的正弦、余弦、正切值 15青苗辅导1 变式变式2 2：已知角已知角的终边经过点的终边经过点P(2a,-3a)，求角，求角的的 正弦、余弦、正切值正弦、余弦、正切值 16青苗辅导1 变式3 _, 13

12、 13 sin 3( m mp 则且 终边上的一点，）是角，已知点 2 3rm解析： 13 13 3 2 m m 2 1 划归的思想划归的思想 313 22 mm 4 1 2 m 17青苗辅导1 例例3. 若角的终边落在直线若角的终边落在直线 y=2x上，求上，求的三角函数值的三角函数值. 解：解： 若角的终边在第一象限，若角的终边在第一象限， x y O 可在其终边上取一点可在其终边上取一点 P(1 , 2)， . P 则则| POr 22 125 , 由三角函数坐标定义得：由三角函数坐标定义得： sin y r 2 5 2 5 , 5 cos x r 1 5 5 , 5 tan y x 2

13、 . 18青苗辅导1 例例3. 若角的终边落在直线若角的终边落在直线 y=2x上，求上，求的三角函数值的三角函数值. 解：解： 若角的终边在第三象限，若角的终边在第三象限， x y O 可在其终边上取一点可在其终边上取一点 P(-1 , -2)， .P 则则| POr 22 125 , 由三角函数坐标定义得：由三角函数坐标定义得： sin y r 2 5 2 5 , 5 cos x r 1 5 5 , 5 tan y x 2 . 19青苗辅导1 2、三角函数值的符号 均为正均为正sinsin tantan x0 0 y coscos 口诀：口诀：“一全、二正、三切、四余一全、二正、三切、四余”

14、 (1)(1)正弦正弦:sin=:sin=y ; ; (2)(2)余弦余弦:cos=:cos=x ; ; (3)(3)正切正切:tan= (:tan= (x0).0). y x 规律：规律： “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正” “一全二正弦，三切四余弦一全二正弦，三切四余弦” 20青苗辅导1 例4 判断下列各三角函数值得符号 ）（）；（）；（）（672-tan3 4 -sin2250cos1 21青苗辅导1 思考：思考：若若 成立时，角成立时，角为第几象限角？为第几象限角？ sin0 tan0 解：解： sin0 tan0 由由 知知 的终边在第三或第四象限或与的终边在第三或第四象限或与x轴的非正半轴重合轴的非正半轴重合 的终边在第一或第三象限的终边在第一或第三象限 故角故角为第三象限角为第三象限角. . 22青苗辅导1 23青苗辅导1 1. 角角的终边经过点的终边经过点P(0, b)则则( ) A.sin =0 B.sin =1 C.sin =-