史丰收速算法（word版）

1、史丰收速算法简介史丰收速算法史丰收速算法是以史丰收教授的名字命名的,是国际著名发明家史丰收教授首创，由国家正式命名的一套少儿智能开发体系。联合国教科文组织誉之为教育科学史上的奇迹，并向全球少年儿童推荐这一开发智能的金钥匙。在全国亿万青少年儿童推广普及史丰收速算法被全国少工委当作一项当代智能工程。国家领导人田纪云、何鲁丽、王丙乾亲任史丰收速算法顾问。许多知名科学家和教授任推广顾问团成员。“史丰收速算法”已编入九年制义务教育现代小学数学四、六、七册课本，他的事迹已编入小学语文、思想道德课本及中学政治课本等。史丰收速算法亦被编入马来西亚正规国家教材。脑口手并用，从高位算起的快速算法，这种速算法是史丰

2、收教授从11岁（1967）开始，经过十年的刻苦钻研、大量计算、反复验证总结出来的。1972年经西北大学刘致和教授推荐，北京师范大学赵慈庚教授邀请，史丰收到北京师大、北京大学、中国数学所表演他的速算法，使所有目睹者为之震惊。1978年1月，史丰收速算法通过了中科院、计算所、数学所、应用数学推广办公室的考核鉴定。1978年出版了史丰收的快速算法，从此，史丰收速算法公布于世。之后，史丰收速算法受到国内外专家的重视，日本、美国、欧洲国家都作过报道。1984年，年仅28岁的史丰收被聘任为中国速算研究所所长。1987年10月，史丰收应联合国教科文组织总干事姆博的邀请，去法国巴黎向出席24届大会的158个国

3、家和地区的代表表演了他的速算法，受到与会科学家的高度赞扬。1988年，史丰收又在第九届亚大地区联合国教科文组织大会上，向40多个国家和地区的代表表演了他的速算法。联合国教科文组织总干事马约尔，赞扬他的速算法是教育科学史上的奇迹、对开发人脑有重要意义，应向全世界推广。史丰收教授创造的快速算法被国家正式命名为史丰收速算法，1991年5月，经深圳市人民政府批准，在深圳市成立了史丰收速算法国际研究与培训中心。1994年在深圳成立了史丰收速算法研究所。从此，史丰收速算法的研究进入了新的阶段。 史丰收教授创造的速算法是计算方法上的一次革命，它在国内外的影响很大，国家的有关领导十分重视这种速算法，我国的教育

4、工作者应该好好学习和研究。史丰收速算法通过左手的快速指算和心算的配合，加快计算速度，能瞬间运算出正确结果，协助人类开发智力，提高思维、分析、判断和解决问题的能力，是当代应用数学的一大创举。能有效地开发孩子的右脑潜能，提高孩子对数字计算的敏感性和准确性，增强孩子的注意力和记忆力，培养孩子探索、创新的兴趣。史丰收速算法计算的主要特点如下：左手手指计算，不用计算工具，不列计算程序，看见算式直接报出正确答案，可以运用在多位数据的加减乘除以及乘方、开方、三角函数、对数等数学运算上。史丰收速算法推广顾问及顾问团： 顾问：田纪云 副委员长王丙乾 副委员长何鲁丽 全国政协副主席顾问团：（以姓氏笔划为序）白春礼

5、 中国科学院副院长冯长根 中国科协副主席庄逢甘 中国科协副主席， 中科院院士刘 鹏 团中央常务书记， 全国青联主席李 灏 全国人大财经委副主任陈章良 北京大学副校长杨海波 全国人大教科文委副主任武捷思 深圳市副市长林祖基 深圳市政协主席周长瑚 深圳市政协副主席程民德 中科院院士，北大数学系教授彭清源 民革中央常务副主席 为了便于大家了解史丰收速算法，推广史丰收速算法，下面从五个方面谈谈我的学习体会，抛砖引玉，互相学习。 一、史丰收速算法的特点史丰收速算法有如下特点1、具有创造性。史丰收速算法打破了几千年来四则运算从低位算起的计算顺序，创造性地建立了一整套从高位算起的速算体系，使读、写、算数的顺

6、序一致。计算时从高位算起（从左到右），基本计算可以不列竖式，一口报出或一下写出计算结果。传统的算法是读写数从高位起，计算却从低位起，使读、写数与计算的顺序不一致，使计算速度缓慢。计算速度慢的主要原因是没有解决好进位与相加问题。史丰收教授针对这两个问题进行了深入研究，取得了突破，获得了成功，从而提高了计算速度，使他的速算法成为独具特色的史丰收速算法。 2、具有规律性。史丰收速算法有一套别具一格的计算法则，计算口诀，也就是计算规律。在加法方面，发明了一位数加法的指算加法：直加、反手加。减内凑反手加、加外凑反手加，进1减补加；提出了多位数加法的新法则：数位对齐，高位加起，写十记个，升个为十，串加下位

7、，逐位右移，在乘法方面，总结出乘数是一位数乘法的8条进位规律共36句口诀和8条个位规律共13句口诀，以及一条求乘积的每位数的公式：本位积（本个十后进）取和的个位数。有了这三个规律，再加上指算的配合，就可以丢掉乘法九九表进行乘法的快速计算。在减法里，提出了复合数概念，用复合数作铺垫，把减法转化为用加法来计算，又提出用乘法的一口清来定商，加快了求商速度。同时，两位数乃至多位数的乘除法都有心算方法。这样，就大大提高了加、减、乘、除运算的计算速度。3、具有系统性。史丰收速算法有自己的计算体系，系统性强，在加法里，先是一位数的直加、反手加、减内凑反手加，加外凑反手加，进1减补加和多个一位数连加，然后是两

8、位数和多位数加法，在乘法里，先是乘数是2、3、4、5、6、7、8、9的一位数乘法，再是乘数是两位数的笔算乘法和心算乘法，然后是乘数是三位数的笔算乘法和心算乘法。在减法里，只有基本概念没有计算方法，通过以复合数为计算桥梁，把减法转化为用加法来计算。在除法里，先是除数是一位数的除法，再是除数是两位数的笔算除法和心算除法，然后是除数是三位数的笔算除法和心算除法，为了保证整数四则运算的顺利进行，还建立了一套基本概念，例如1至9的指型、内凑、外凑、补数、复合数、偶同数、自倍数、循环数、假小数、本位、本个、后进、本位积等。由此看出，史丰收速算法的内涵体系是由浅入深，由易到难的，符合学生的认知规律。 4、具

9、有实用性。少年儿童对新鲜事物很感兴趣，史丰收速算法是个崭新的快速算法，所以容易激发少年儿童的兴趣，史丰收速算法道理不深，方法不繁，规律不多，动感性强，所以，少年儿童都爱学。这种速算法，小学生连续学上两三个月就可以基本掌握。成年人来学，时间还可以缩短。所以，儿童、少年、成年人都可以学会。 二、史丰收速算法的作用研究史丰收速算法，就得了解这种速算法的产生和发展过程，了解史丰收教授的创新精神，我思考过，学习和研究史丰收速算法的作用是多方面的。例如，有下面几个主要方面的作用。1、激励后人。史丰收在小学阶段学数学时，就觉得老师从低位算起算得慢，自己更算得慢，他质疑老师，计算能不能从高位算起，使计算快些？

10、老师说，从古至今未曾有过从高位算起，从高位算起我也不会，看你能不能够创造出一个高位算起的方法？史丰收想，是啊！我能不能够创造出一个从高位算起的计算方法？于是，他带着这个新课题进行了艰苦的探索，他日思夜想、反复读书、虚心请教他人。他在学校里算、在家里算，白天算、晚上算，就是节假日也算。纸上是数式，地上是数式，屋里四周墙壁也是数式，甚至手上脚上都是数式。有时，连吃的馒头也写上数式。经过3600多天的无数次计算，终于创出高位算起的速算法，一个十来岁的农村少年能够用这么大的毅力去创造出前人未有的新成果，这不是一个奇迹？这不是中国人的骄傲？史丰收的创新精神和坚强意志是所有人的学习榜样，它将激励更多的青少

11、年为中国的繁荣富强而积极探索，努力奋斗。 2、开发人脑。有资料表明，一个人一生中，在一般情况下，大脑只开发10左右，还有90左右未开发。这说明人的大脑的潜力很大。如果多开发大脑，让更多的脑细胞活跃起来，就可以大大提高人的聪明才智。运用史丰收速算法计算，不用计算工具，脑子快速计算，手指辅助计算，就可一口报出计算结果。这个速算过程，就能同时开发左脑和右脑，使更多的脑细胞活跃起来。少年儿童经常进行这样的速算，就能变得更聪明。英国神经学家科斯塞利说：人的大脑，受训练越少，衰老得越快；人脑紧张工作开始得越早，持续的时间越长，脑细胞的老化过程就越缓慢。这说明，人不论老少，积极从事适当的脑力劳动，进行积极的

12、思考是非常有益的。由此推想，青壮年人甚至老年人学一学，练一练史丰收速算法，将会激活更多的脑细胞、减慢脑细胞衰老过程，提高思考效益。 3、训练思维。用史丰收速算法计算，是在脑子里进行快速计算，这样，可以加大思维训练强度，提高思维的灵活性，加快计算速度，提高计算能力。例如，计算06834276=4100562，是用乘法速算公式：本位积（本个十后进）取和的个位数来计算的。求积的头位数4时，经过3次计算：0（本个）4（后进）4（本位积）；求积的第二位数1时，也经过3次计算：6（本个）5（后进）1（本位积）；求积的0、0、5、6时，也各自经过3次计算；求积的最后一位数之时，经过2次计算：2（本个）=2（

13、本位积）；共进行了362=20（次）基本计算，按正常熟练要求，学生计算一位数乘六位数的每道算式，平均所用的时间是45秒。这样，学生要在45秒时间里完成20 次计算。经常进行这样的快算训练，就可以提高学生思维的敏捷性，灵活性，提高学生的推理思维能力和计算效率。4、熟习己知。学习史丰收速算法，学了一种乘法或加法后，就要多次练，多题练，经常练，反复练，这样，才能算得快，算得准。否则就会快而不准或准而不快。把这样熟习已学过知识的做法迁移到课本学习中，就能扎实地巩固所学知识。华富小学的蒋凌燕、蒋云燕两姐妹，不但做完史丰收速算法课本里的题，还请老师出题练，请同学出题练，请家长出题练，而且姐妹互相出题练。所

14、以她们的速算算得快而准。同时，她们对于低位算起的数学学习，难度减少，计算速度加快，思维灵活性加大，学习成绩提高较大。5、锻炼意志。学习史丰收速算法，一要有坚强的意志，二要有坚韧的精神。意志是人们为了实现某个目的、在行动上自觉克服困难时表现出来的心理状态。毅力是人们为了实现一定的目的而去克服困难的品质，是获得事业成功的动力，如果没有这两种精神，学习就会松懈下来，甚至会半途而废。参加史丰收速算法学习以后，就要排空时间，排除干扰，依时到指定地点学习，要坚持学、经常学。这样，就得有坚强的意志和坚韧的毅力。所以，学习史丰收速算法，能够锻炼学生的学习意志，提高学生克服学习困难的信心。6、培养习惯。习惯是由

15、多项重复或多次练习而内化为人所需要的行为方式，学习史丰收速算法，需要学生养成良好的自觉学习的习惯。目前，史丰收速算法大多安排在课余里学习，有的安排在休息时间的星期六或星期天里学习。每次学习，半天要练几百道题，课外还要练几百道题，并且要按要求完成做题。所以，参加史丰收速算法学习，能够逐渐培养学生的刻苦学习精神和自觉学习的良好习惯。 7、促进教改。史丰收速算法已被国家肯定是一项发明，是一项科研成果，所以，学校开展史丰收速算法的教学研究，是学校开展科学实验的一种体现，是学校开展教学改革的一项内容。全校性普及史丰收速算法的华富小学、罗湖小学、福南小学、向南小学等，都把学生学习史丰收速算法的成效看作是学

16、校教改成果的一项内容。每次对本地教师开放日，对家长开放日或对外地教师的接待日的教改成果汇报会上，都有学生的史丰收速算法表演。进行史丰收速算法教学，对教师来说是一种创新学习。算法改变必会引起教学观念的更新，教学方法的改变。在课堂教学里，相同的教学容量，用高位算起来教花时要少，这样在相同的教学时间里可增加教学容量，增多训练形式，提高课堂教学效率。所以，抓了史丰收速算法学习，能促进教学改革，提高教学质量。 三、史丰收速算法的教学 进行史丰收速算法教学，需要研究明确下面五个问题。 1、教学内容。用于加、减、乘、除四则运算方面，包括下面内容： （1）指算加法，包括两个一位数相加；多个一位数连加；两个两位

17、数（包括一个是一位数）相加；多个两位数连加；两个多位数相加；多个多位数连加。（由于减法通过复合数转化为用加法计算，所以没有指算减法计算。） （2）口算乘法，就是乘数是一位数乘法的一笔清或一口清，包括乘数是2、3、4、5、6、7、8、9的一位数乘一位数、一位数乘两位数、一位数乘多位数的乘法。 （3）笔算乘法，包括乘数是两位数的乘法，乘数是多位数的乘法。 （4）心算乘法，跟笔算乘法的内容相同。 （5）笔算除法，包括除数是一位数的除法，除数是两位数的除法，除数是多位数的除法。 （6）心算除法，内容跟笔算除法的内容相同。2、教学形式。史丰收速算法可以安排在基础课里学习，也可以安排在活动课、练习课里学习

18、，可以在兴趣小组里学，也可以在家里学习。3、教学时间。史丰收速算法未进入课堂常规教学以前，一般安排在活动课里学习，或者用课余规定的时间来学习。深圳市的福南小学、华富小学、罗湖小学、翠北小学、莲花小学等是每周安排学习一次，新沙小学是每周学习两次，每次40分钟，时间排定在学校的课程表里，竞赛前再适当增加培训时间。研究所组织的强化班培训，安排在周六或周日里进行，每生每次学半天，学生按排定的时间去学习。4、教学结构。 教学史丰收速算法，无论是在活动课（第二课堂）里教学，还是在基础课（第一课堂）里教学，都要做好传授知识、开发智力、培养能力、激发非智力因素等方面的工作。所以，教学史丰收速算法应该运用启发式

19、，积极引导学生主动探求知识，研究课堂教学优化，提高教学效率。因此，采用合适的课堂教学结构，以保证史丰收速算法教学的顺利进行是很有必要的。5、教学用书。史丰收速算法国际研究与培训中心已编有供师生使用的史丰收速算法普及本和相应的练习册，还有速算教学vcd碟。教材是教学的中介。教学的依据，有了合适的教材，就有利于教与学。7目 录序 史丰收速算法简介第一章概述11.1问题的提出11.2一位数乘多位数4第二章一位数乘多位数62.1传统方法为什么那么笨62.2高位乘法的快速算法大意72.3提出几个概念92.4一位乘法运算程序和法则92.52的乘法规律102.63的乘法规律132.74的乘法规律182.85

20、的乘法规律232.96的乘法规律262.107的乘法规律312.118的乘法规律372.129的乘法规律412.13个位规律综合分析442.14小结46第三章指算加法483.1手指与数码483.2一位加法503.3进位法则553.4一位数累加573.5小结59第四章多位数加、减法604.1多位的加法604.2纯心算加法614.3传统加减法的迂回曲折624.4复合数624.5负数与复数的转换644.6多位数减法及加减法混算65第五章多位乘法665.1竖式算法665.2乘法纯心算的大局探讨675.3乘法纯心算的分位探讨695.4乘法纯心算的方法与例题695.5小结74第六章多位数除法756.1竖式

21、除法756.2除法纯心算77第七章速算与珠算结合857.1多位数加法857.2多位数减法及加减混合运算917.3多位数乘法与珠算结合937.4积的定位937.5空盘前乘法967.6空盘省乘法1017.7多位数除法与珠算结合107第一章 概 述1.1问题的提出大家都知道，算术四则运算是一切数学的基础。而在速算中，乘法是快速运算的基础，可是，两个多位数的乘法，古今中外一直都是从个位算起，再到十位，百位。乘数有几位，就得列几排，然后从个位加起，最后得出乘积数，中间过程繁多，进位也容易出错。长期以来，多少人曾考虑能否找出新的规律，以提高运算效率。我带着这个问题，经过多年的钻研和摸索，终于发明了一种速算

22、法。我认为老方法之所以“慢”，关键是两个问题没有解决，一是“进位”，二是“相加”。我的快速算法，就是针对“进位”和“相加”的问题取得了新突破，从而提高运算迅速。为了便于了解“快速算法”的具体内容，首先谈谈快速算法有关的几个问题：（一）乘法与加法的关系我们知道，十进制普通加法的运算法则是数位对齐，逐位相加，满十进位。乘法的运算法则是逐位相乘，同位数相加，满十进位。从表面上看，两者都是只有满十进位是相同的。其实，在乘法里的逐位相乘，就表示加法里的数位对齐相加，而乘法的同位数相加，就表示加法里的逐位相加。两个法则里讲的形式虽然不同，但运算实质是一致的，都满足“同位数相加，满十进位”的规律，这是加法与

23、乘法的共性。但是，乘法与加法相比有着不同特点，即其个性。从普通加法来看，每个数位上的相加数变化无常，是异数相加，而乘法表示的是同数相加，每个数位上的数都是相同的，或者说是“同数”连加，这是乘法的特性，也是乘法不同于一般加法的地方。它说明了加、乘之间的关系。更反应出乘法规律性强之所在，是乘法简便于加法的根据。“快速算法“就是抓住乘法这一特点，研究并建立新的简捷算法。（二）建立速算乘法改变运算程序的初想普通加法与乘法的运算，有交换律、结合律和分配律。它们的作用与加或乘数的运算技术无关，也就是说，可以从低位算起，也可以从高位算起，还可以从中间任一位算起。例如：74622 =7000240026022

24、2(高位算起) =22602400270002（低位算起） =40026022270002（中间某一位算起）从这个特点，我们注意到一点很协调的事，即数的读、写、看都是由左到右（由高位到低位）进行，但一般加、减、乘、除运算却是由低位到高位进行（除法表面上是从高位算起，其实它的每一步运算都是从低位算起，商不准还要改商），这样，读、写、看与算四者不统一。而日常应用中却又是先算大数后算小数。考虑到这种脱节，我们的脑海中便产生了乘法能否也从高位算起的想法，如果能把四者统一起来，在实际应用中就方便多了。乘法运算的实质，都是“同位数相加，满十进位”，而本位的个位数与它后位的进位数在同位上，要进行相加，就提出

25、这样的问题：本位的个位数有无规律？后位的进位数有无规律？能否在运算中把后位的进位数提前找到，提前加入本位？能“提前进位”才能做到从高位算起，边算边清位，边算边定得数，计算速度必然就大大加快了。但是，实现“提前进位”，取决于相乘数的个位规律（简称个律）和进位规律（简称进律）的掌握，这是从高位算要解决的主要问题。在普通加法中，加法的进位数用进位点“、”表示，运算时把它写在横线下，同位数对齐。深入研究这种形式上的不同，能否从中找出具有共同规律性的东西呢？从低算起的加法，用进位点暂记进位数比较方便；乘法中的进位数用数字比较方便，形式虽然不同，用意则是一样的。现在我们从一点出发，将加、乘法形式统一用数字

26、来表示。这样做，并不影响运算的正确性，相反，更符合实际，更有利于寻找其中的规律性。我们把连加运算的这种书写方式，称为“分裂进、个”。因为，原来的运算是把进位数与前位的个位数混在了一起，完全当做一件事，并按前位的个位数来对待的，这样便造成一种错觉，也掩盖了加法运算的实质。因此，现在把惯用的书写方式改变过来是很有必要的。我们把后位的进位数简称“后进”，本位上诸数相加后其和的个位数简称“本个”。例如：普通加法分裂进、个加法 8 3 4 4 8 3 4 4 2 9 6 2 9 6 5 4 3 5 4 37 8 9 7 8 9 2 0 0 4 2 0 0 4 1 1 9 7 6 1 1 2 2（后进）

27、0 7 5 6 （本个） 1 1 9 7 6 （和的每位数=后进本个）从右边“分裂进、个”算式中，我们竖看和11976的每位数是这样构成的：首位数只有“后进”上来的数1，末位数仅为“本个”，即6，中间各位数1、9、7都是“本个加后进”，即（01）、（72）、（52）。我们可以把相加数中最高位的本个看成是0，最低进位的后进也视为0。所以和的每位数都可以统一为“本个加后进”。加法的特例：同数连加 乘 法 8 3 4 2 8 3 4 28 3 4 2 4 8 3 4 2 3 1 1 0 （后进） 8 3 4 2 2 2 6 8（本个）3 1 1 0 （后进） 3 3 3 6 8（积） 2 2 6 8

28、（本个）3 3 3 6 8（积）乘法同加法一样，竖看，积的每位数也是：首位数为“后进”，末位数为“本个”。其余各位数都是“本个加后进”。从上面乘式中同样可以看出：相乘数“本个”的最高位前位没有数，可视为0；“后进”的最低位的后位也没有数，也视为0。因此，也可以说，积的每位数都可以统一成为“本个加后进“。从此看来，乘法问题，实质上还是相乘中“本个加后进”的重复运算，只要预先把本个与后进分开，积的每位数便能由高位到低位，按“本个加后进”逐位推移的方法运算得到。而除法则是乘法的逆运算，在乘除的过程中还要用到加减法，这个又促成了加减法的速算法，所以说，乘法是快速计算法的突破点。为配合快速乘法的需要，加

29、法也应从高位算起。为此，又制定了一种辅助算法指算，仅用左手五个手指的屈伸翻转，能连加任意个一位数，其间只须脑记进位数。又用一种复合数代替负数，可以把减法变加法，这样就把加减速混合计算统一在一个法则之下。这就是史丰收速算法的大概描述。1.2一位数乘多位数我们按照由易到难的原则，先介绍“一位数乘多位数”的速算法。即乘数是一位数，而被乘数是多位数的乘法规律。任何一个n 位数乘以一位数，其结果将是一个n 位数或者n1位数。例如：23453=7035，这里是四位数（n =4）。2345乘以一位数3，得数是四位数7035。又如：99999=89991，这也是四位数（n =4）乘以一位数，结果是五位数（n1

30、 =5）。为了讲解方便起见，我们约定把n位数乘法一位数的得数仍为n位数的情形也说成是n1 位，而将其每一位数视为0。比如前一例中得数7035是四位数，我们可以把它说成是五位数07035。作这样的约定后，我们就可以统一地说：一个n 位数乘以一位数，其得数是一个n1位数。作了上述约定后，我们根据一般乘法规律，还可以得出一个原则：多位数乘以一位数时，得数中的第m位数，是由被乘数第m位数以及跟随这位数的若干位数和乘数而确定的。例如：17572 =3514，按上述约定其积为应是五位，所以积可以视为03514，积的第三位数是5，它等于被乘数的第三位数7与乘数2相乘所的个位数4，与7后的57乘以2所得的进位

31、数1相加而成的。又如53752 =10750，因积的位数已经够五位，所以积的首位数不应补0。积的第三位数7，是由被乘数的第三位数3乘以2所得的6，与3后的数75乘以2所得的进位数1相加而得。由此可见，要确定乘积中的第m位数，关键是要确定进位数，也就是说，要找出进位规律来。我们可以把被乘数除数的第m位当做个位数，该位以后的数看作小数（小数点后的数），设这个小数为k，并设乘数为b，被乘数的第m位为am，积的第m位数为cm，则cm=amb的个位数kb进到个位的数。显然，当1kb2进，就进1。用b除不等式得k 这就是说，当小数部分k大于、等于而小于时，就进1。所以我们把叫做乘数为b的进位率。当2()

32、k3()时，就进2；3() k4()时，就进3；依次类推。不同的乘数b，进位率也是不同的，现在排列于下：乘数（b）进位率（）2 = 0.53 = 4 = 0.255 = 0.26 = 7 = 8 = 0.1259 = 如果我们把小数部分k的小数点去掉，同样把上述进位率的小数点也去掉，于是，我们可以得出乘数分别为2到9的进位规律：乘数进位规律22满5进133超进13超进244满25进14满5进24 满75进355满2进15满4进25满6进35满8进466超进16超进26满5进36超进46超进57 7超进1 7超进27超进3 7超进47超7进5 7超进688满125进1 8满25进28满375进3

33、 8满5进4 8满625进5 8满75进68满875进799超进19超进29超进3 9超进49超进5 9超进69超进7 9超进8所谓“满”，是指的意思，“满5进一”指0.5时，以2乘之进1。“超”，是指的意思，“超进1”指0.333时，以3乘之进1。由以上进位规律性可以明显看出，当乘数为n 时，最大的进位数是n1 ，并且有n1 句进位口决。5第二章一位数乘以多位数用一位数乘多位数的乘法是乘法的基础，也是快速算法的基本功；因此把它作为学习乘法的开端。本章着重讨论这种乘法从高位算起的方法和理论。2.1传统方法为什么那么笨关于这个问题可以借助于实例具体说明。如15834被6乘时，若想知道其乘积的千位

34、上是什么数，除去需要知道本位上56 =30个位数0（即本个为0）以外，还需要知道后面8346进到千位上的数。这必须用6把个位上的4。十位上的3，百位上的8乘遍了以后，才知道这个应进的数（是5）。这要消耗很多时间。利用快速计算法的进位规律能够使我们一看834就知道83465000，从而断定进到千位上的数是5，按“本个加后进”的原则可知，积的千位数应该是本个0加上后进5，等于5。由于快速算法能预断进位数，所以能从高位乘起。2.2高位乘起的快速乘法大意仍以158346为例来说明。 1 5 8 3 4 6 （1） 9 5 0 0 4要问乘积的万位数是什么数，首先想到的是被乘数万位上的1乘以6所得数的本

35、个数为6，另一部分是58346要进到万位上的后进数，从理论上估计它，应该是 5000 5834 6000 30000=50006 58346 60006 =36000等号两边万位数都是3，这充分说明58346，进到万位上的一定是3，那么乘积的万位上一定是本个6后进3=9。再看千位上的数，这里有56 =30本个数0，还有8346进到千位上的数。这回若同样按照前边那样估计：800 834 9004800=8006 8346 9006 =5400就不爽了。因为最左端的千位是4，而最右端的千位数是5，进位数究竟是4？还是5？，一眼难得看出来。不过，只要看到8346 =5004就能知道进数是5，所以千位

36、上是05=5。以上就是从高位乘起的大致程序。这里的难点是如何测定后边进上来的数。快速计算法要解决的正是这两个问题：其一是被乘数某位乘了以后的个位数如何求？第二是该位右边的数被乘以后，要进上来什么数。本章以后各节主要讲这两个问题。我们必须能够一下子把要进位的数看出来，才能够由高位自左而右书写出乘积的各位数字。这种一次性进位要比传统乘法由个位起一位位地乘遍后才知进数快得多。这种乘法“快”就快在这里，而且关键正是既快又准确地估计这种后进的数为多少，没有这种本领也就谈不上“快”了。2.3 提出几个概念 为了便于叙述，我们在这里提出几个名词：（一）本位、假小数快速乘法和传统乘法一样，都要一位位处理被乘数

37、的每位数字。传统乘法将口诀（九九表）施加于被乘数某位数时，是把这位数当做个位看待的，快速乘法也这样，我们把被乘数中正在处理的那个数位叫做“本位”。从本位右侧第一位到最末位所表示的数，叫做“假小数”。例如在2.2的竖式（1）中，当用6乘5时，5是本位，它右边的834是假小数。（二）本个、后进、本位积本位被乘以后，我们只取本位数与乘数相乘后的积的个位数，它是最后乘积中相应数位的一部分，叫做“本个”。本位的假小数与乘数相乘后要进位的数，叫做“后进”，“本个后进”之积的个位数才是最后乘积中相应数位上的数，称做“本位积”，例如（1）式中以5为本位时，乘各在这位上的本个是0，后进是5，本位积是5。当8为本

38、位时，本个是86 =48的8，后进是346的进位数2，本位积是82 =10中的个位0。（三）补数一个数的补数是由10减它而得的差。例如3的补数是7。显然甲数是乙数的补数时，乙数必然也是甲数的补数，这时我们常说甲、乙两数互补。对于两数之和为100、1000、的数，我们称为大补数。在10的范围内互补的数有五对，它们是1,9；2,8；3,7；4,6；5,5。（四）偶同小于10的两个非负整数同乘以一个偶数时，如果所得乘积的个位数字相同，就说这两个数是偶同，或者说它们互为偶同。偶同数共有五对，它们是0 , 5；1 , 6；2 , 7；3 , 8；4 , 9。构成偶同的基本条件是两数相差为5。或者说，两数

39、偶同的必要充分条件是它们的差等于5，也可以说一个小于10的非负整数的偶同数就是该数加5的个位数。此五对偶同数必须牢牢熟记，随意说出一数，要不假思索地报出它的偶同数出来。例如： 0的偶同数5 ，1的偶同数6 ，2的偶同数7（五）自倍自倍是给10以下的非负整数规定的一种运算。其中0,1,2,3,4的自倍是0,2,4,6,8。5,6,7,8,9的自倍是它们的偶同的自倍。即是说，对于5, 6, 7, 8, 9取偶同 0, 1, 2, 3, 4 再自倍0, 2, 4, 6, 8这里特别要注意：5的自倍是0，（注：而不是10）6的自倍是2，（注：而不是12）7的自倍是4，（注：而不是14）8的自倍是6，（

40、注：而不是16）9的自倍是8，（注：而不是18）这五个自倍数也不难记忆，只要记住偶同的五对数，再知道偶同的两数自倍相同就行了，应该把下边这个表背得烂熟。偶同数0，51，62，73，84，9自倍数024682.4 一位数乘法运算程序和法则一位数乘多位数的乘法运算可分三个层次。第一、被乘数首位前补0。这项措施无碍于乘积的数值，却能使乘积的位数永远与被乘数的位数相同。如果乘积的位数发生错误，一眼就能看出来。经过这样处理后才可以说：乘积的任何一位都等于这位上的本个加后进，且只取其各的个位数。第二、从高位算起。即，从最左边补的那个0开始，按本位积=（本个后进）只取和的个位数的公式，逐位求出本位积。为什么

41、本个与后进之积大于9，出现十位数时便弃去十位上的数呢？因为本位左边那位的后进数已经把这个十位上的数包括进去了，所以不能再加一次。本位积的计算一般是作20以内的加法（本个后进），并取其和的个位数。因此，20以内的加法越熟练，计算速度就越快。1252.5 2的乘法规律从现在起，我们分别讨论不同的乘数与0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字相乘时的本个如何求？各种后进如何算？求本个的方法叫个位规律，求后进的方法叫做进位规律。这两种规律合起来是以代替九九表。在一位数乘多位数时比九九表敏捷，是快速乘法的骨架。乘数为1时，这个大家都懂了吧？！1乘任何数都不变，不进位，后进数为0。下面正式讲乘数为2

42、的规律。（一）个位规律乘数为2的个位规律是本位乘以2时只求其个位数的法则，在2.4里讲的自倍数，正好就是用乘了0,1,2,3,4,5,6,7,8,9之后的个位数。所双自倍的算法就是关于乘数为2，求本个的方法。于是乘数为2时的本个规律是自倍因些，我们可以将2.4里的自倍表挪过来当作乘数为2时的本个表。本位0，51，62，73，84，9本个02468【再提醒大家】本位为5，6，7，8，9时的推算本要先取其偶同（减5即是），然后自倍之。不要暗中用九九表计算，那是自毁长城。其实，这五个本个不难刻，通过一定的练习，熟练后必能生巧。（二）进位规律乘数为2时只看本位后第一位数字就能决定进位数，2乘0，1，2

43、，3，4都不进位，2乘5，6，7，8，9都进1。数5是进不进位的分界点，满5就进1。不满5就不进位，或者说进位数是0。满5就进1，不满5就不进位，或者说进位数是0。满5的意思是“大于等于5”。小于5时就不进位，等于或者大于5就进1。如果用“满5”代替“等于或者大于5”，便可以把进位法则概括为一句简单的进位规律：2满5进1这句话自然暗含着“不够5不进”的意思，这是不言而喻的。只凭个位后边第一位来判断后进数的方法固然简便，然而后进数是从假小数整体产生的，不是从它的首位产生的。满5的数不仅有5，6，7，8，9。以59为首位假小数都满5。既然审断后进数要从假小数着眼，不该只看这假小数的第一位数字；那么

44、我们应该在“满5”的正确理解之下看看这进位规律是否可靠。 0 满5的纯小数 0.5 0 满5的纯小数2 1所以假小数首位小于5时，后进数为0，而且只能是0。0.5 满5的纯小数 1 1 满5的纯小数2 2所以假小数首位大于或者等于5时，后进数为1，而且只能是1。例如本位后的数为4871，07353，246，1293，38都是不满5的，以它们为假小数时进位数是0。而本位后的数为73591，843，5945，9999，66734都是满5的，以它们为假小数时，进位数是1。理解了以上这些理论才算真正懂得进位规律的口诀。（三）计算程序剖析乘积的每位数是由“本个加后进”的和产生的，即：本位积=（本个后进）

45、之和的个位数那么演算时要由左而右地逐位求本个与后进然后相加再取其个位数。现在用具体实例说明演算时的思维活动。【例1】：3728692=745738根据2.4讲的法则，被乘数首位前补0，列出算式： 0 3 7 2 8 6 9 2 0 7 4 5 7 3 8 02 本个0，后进0（后位3不满5）00得0 32本个6，后进1（后位7满5进1）61得7 72本个4，后进0（后位2不满5）40得422本个4，后进1（后位8满5进1）41得582本个6，后进1（后位6满5进1）61得762本个2，后进1（后位9满5进1）21得392本个8，无后位，得8【例2】：53979632被乘数首位前补0，直接用横式算出，注意将位对齐。053979632 = 10795926【例3】： 8475362 =16950720 8 4 7 5 3 6 2 1 6 8 5 0 7 2 02 本个0，后位8，后进1，得1 82本个6，后位4，后进0，得6 42本个8，后位7，后进1，得972本个4，后位5，后进1，得552本个0，后位3，后进1，得032本个6，后位6，后进1，得762本个2，无后位，得2【习题2.1】计算下列各题的乘积0764292=0876542=0943182=0865322=0348