晶体的结构的周期性2

1、 3 晶面与面指数晶面与面指数 一、晶面与面指数：一、晶面与面指数： 1、晶体的晶面：、晶体的晶面： 这些相互平行的平面称为晶体的晶面这些相互平行的平面称为晶体的晶面 在布喇菲格子中作一簇平行的平面这些相互平行、等在布喇菲格子中作一簇平行的平面这些相互平行、等 间距的平面可以将所有的格点包括无遗间距的平面可以将所有的格点包括无遗 同一种格子的两组不同的晶面族 显然：同一个晶格可有无穷多个晶面族。显然：同一个晶格可有无穷多个晶面族。 2、密勒指数：、密勒指数： （1）面指数：）面指数： 取原胞基矢取原胞基矢a1、a2、a3为坐标轴。为坐标轴。 用用 分别表示某晶面族中任意一个不分别表示某晶面族中

2、任意一个不 通过原点的晶面在这三个坐标轴上的截距。通过原点的晶面在这三个坐标轴上的截距。 332211 ,ahahah 设：设： 分别表示由三个截距系数的倒数约化分别表示由三个截距系数的倒数约化 成的具有相同比率的三个互质整数。即有：成的具有相同比率的三个互质整数。即有： 321 ,hhh 321 321 1 : 1 : 1 : hhh hhh 显然：可以使用这三个数来显然：可以使用这三个数来 唯一的确定该晶面族。（唯一的确定该晶面族。（h1 h2 h3） 面指数面指数 例例1：如图所示的晶面，其截：如图所示的晶面，其截 距为：（距为：（2a1，a2，a3），由上），由上 式可得：式可得： 2

3、:2:11:1: 2 1 : 321 hhh 结论：该族晶面的结论：该族晶面的 面指数为：（面指数为：（122） a1 a2 a3 化为互质整数的面指化为互质整数的面指 数（数（h1h2h3）就表示该晶）就表示该晶 面族将基矢面族将基矢 分割成分割成h1,h2,h3等分。等分。 如图所示：例如图所示：例1中中 所给出的晶面族，所给出的晶面族， 过过A、B、C三个三个 格点的晶面，格点的晶面， 把三个基矢把三个基矢 分别分割成分别分割成 1、2、2等分。等分。 a1、a2、a3 显然：选择不同的基矢，对同一晶面族，应得到不同的显然：选择不同的基矢，对同一晶面族，应得到不同的 面指数。面指数。 （

4、2）密勒指数：）密勒指数： 在晶体结构中，通常取在晶体结构中，通常取晶胞基矢：晶胞基矢：a,b,c 为坐标轴，并按为坐标轴，并按 与前面相同的办法所确定的面指数称为密勒指数。并记为与前面相同的办法所确定的面指数称为密勒指数。并记为 （hkl）。）。但（但（hkl）面不一定是离原点最近的晶面）面不一定是离原点最近的晶面。 a1 a2 a3 A B C 例例2、立方晶格的几种主要晶面的密勒指数：、立方晶格的几种主要晶面的密勒指数： 由于晶格的对称性，通常用由于晶格的对称性，通常用hkl表示一组等价的晶面族。表示一组等价的晶面族。 例如：用例如：用100表示（表示（100）、（）、（010）、（）、

5、（001）三种等价的晶面）三种等价的晶面 族。族。 在布喇菲格子中作一簇平行的在布喇菲格子中作一簇平行的 直线，这些平行直线可以将所有的直线，这些平行直线可以将所有的 格点包括无遗。这一平行直线族被格点包括无遗。这一平行直线族被 称为晶列。称为晶列。 二、晶列与晶向指数：二、晶列与晶向指数： 1、晶列与晶向：、晶列与晶向： （3）在一个平面里，相邻晶列之间的距离相等。）在一个平面里，相邻晶列之间的距离相等。 （2）每一簇晶列定义了一个方向）每一簇晶列定义了一个方向 晶向。晶向。 a1 a2 a3 2、晶向的标志、晶向的标志晶向指数：晶向指数： 取某一原子为原点取某一原子为原点O，原胞，原胞 的

6、三个基矢为：的三个基矢为： 321 ,aaa 从原点从原点O沿晶向到最近的一个格沿晶向到最近的一个格 点的位置矢量：点的位置矢量： 332211 alalal 321 ,lll是是 一组整数，记为：一组整数，记为： 称为晶向指数。称为晶向指数。 321 lll 123 3 A Raaa 晶向指数晶向指数311 a1 a2 a3 A 几种具体的晶向指数举例 例：例：简单立方晶格的晶向标志简单立方晶格的晶向标志 立方边立方边OA的晶向的晶向 100 100,001,010 010,001,100 立方边共有立方边共有6个不同的晶向个不同的晶向 面对角线面对角线OB的晶向的晶向 面对角线晶向共有面对

7、角线晶向共有12个个 110 体对角线体对角线OC的晶向的晶向111 体对角线晶向共有体对角线晶向共有8个个 由于立方晶格的对称性，由于立方晶格的对称性， 以上以上3组晶向是等效的组晶向是等效的 100 110 111 表示为表示为 4 晶体的宏观对称性晶体的宏观对称性 一、点对称操作：一、点对称操作： 晶体的宏观对称性是指：晶体的宏观对称性是指：晶体经过某种对称操作后能晶体经过某种对称操作后能 够恢复原状的性质够恢复原状的性质 1、旋转对称操作：、旋转对称操作： （1）对称轴：）对称轴： 旋转对称操作是指晶体绕某一轴线旋转某一角度后恢旋转对称操作是指晶体绕某一轴线旋转某一角度后恢 复原状的操

8、作。这种对称操作中的对称元素被称为复原状的操作。这种对称操作中的对称元素被称为对称轴对称轴。 （2）n重对称轴：重对称轴： 若晶体绕对称轴线旋转若晶体绕对称轴线旋转(2/n) )角度而角度而恢复原状，则称该恢复原状，则称该 晶体具有晶体具有n重对称轴重对称轴，用符号，用符号 n （或（或Cn）表示。）表示。 （3）晶体对称性定律：）晶体对称性定律： 由于晶格的周期性，由于晶格的周期性，n 的取值只能等于的取值只能等于1、2、3、4、6。 n = 5和和 n 6 的对称轴是不允许的。的对称轴是不允许的。 晶体对称性定律晶体对称性定律 证明：证明： 在垂直于某对称轴的晶面上任在垂直于某对称轴的晶面

9、上任 选两个最近邻的格点选两个最近邻的格点A和和B。绕通过。绕通过 A的转轴转过角度的转轴转过角度 使使B点转到点转到B点。点。 如果如果经过这种操作后晶格保持不经过这种操作后晶格保持不 变，变，则则B点应是晶面上的一个格点点应是晶面上的一个格点 注意到注意到A和和B两点等价，所以两点等价，所以 若再绕通过若再绕通过B点的轴逆向转过点的轴逆向转过 角，角， 使使A点转到点转到A点，则点，则A点也应是晶点也应是晶 面上的一个格点。由于必有：面上的一个格点。由于必有：AB 平行于平行于AB ，且有，且有B至至A的的 距离应为距离应为A至至B的距离的整数倍，所以有：的距离的整数倍，所以有： 但又有：

10、但又有： m为整数为整数 ABmAB )cos21 ( ABAB mcos21 6 2 , 4 2 , 3 2 , 2 2 ,2 即有：即有： n = 1，2，3，4，6 所以：所以： AB BA 在直观上，如果存在在直观上，如果存在5重对称重对称 性，则在垂直于轴的晶面上的格点性，则在垂直于轴的晶面上的格点 分布至少应是正五边形。但正五边分布至少应是正五边形。但正五边 形不可能无缝隙无交叠地充满整个形不可能无缝隙无交叠地充满整个 平面从而不能保证晶格的周期性所平面从而不能保证晶格的周期性所 以不存在以不存在 n = 5 的对称轴。对的对称轴。对 n 6 的情况也可作类似的说明。的情况也可作类

11、似的说明。 2、中心反演对称操作：、中心反演对称操作： 中心反演对称操作是以一点（取为原点）为中心，将中心反演对称操作是以一点（取为原点）为中心，将 所有所有 r 变换到变换到 r 的对称操作。这种对称操作中的对称元素的对称操作。这种对称操作中的对称元素 被称为被称为对称中心对称中心。用符号。用符号 i （或（或Ci）表示。）表示。 3、镜面反映对称操作：、镜面反映对称操作： 镜面反映对称操作是以某一平面作镜像反映的对称操镜面反映对称操作是以某一平面作镜像反映的对称操 作。这种对称操作中的对称元素被称为作。这种对称操作中的对称元素被称为对称面对称面。用符号。用符号 m （或（或）表示。）表示。

12、 4、象转对称操作：、象转对称操作： 象转对称操作是绕某一轴旋转（象转对称操作是绕某一轴旋转（2/n /n ）角度，接着）角度，接着 以某一点为中心进行反演的一种以某一点为中心进行反演的一种对称操作。这种对称操作中对称操作。这种对称操作中 的对称元素被称为的对称元素被称为象转轴象转轴。用符号。用符号 n 表示。表示。 （1）象转对称操作是一种复合对称操作，可以表示为：）象转对称操作是一种复合对称操作，可以表示为： nin 必须指出：具有象转操作对称性的晶体不一定同时具有必须指出：具有象转操作对称性的晶体不一定同时具有n 重对称轴和对称中心重对称轴和对称中心 i 。 （2）5种象转对称操作：由于

13、种象转对称操作：由于 n 只有只有5种取值，所以种取值，所以 n 也也 只有只有 这这5种取值。且有：种取值。且有： 6,4,3,2,1n i1 m2 i 33m 364 i i ii （3）镜转对称操作也是一种复合对称操作，可以表示为：）镜转对称操作也是一种复合对称操作，可以表示为： nmSn 即镜转对称操作是绕某一轴旋转（即镜转对称操作是绕某一轴旋转（2/n /n ）角度，接）角度，接 着以某一平面作镜像反映的一种着以某一平面作镜像反映的一种对称操作。可以验证有：对称操作。可以验证有： 3,4,6,1,2 64321 SSSSS 所以所以Sn不能得出新的对称操作不能得出新的对称操作 。 结

14、论：独立的对称操作只有结论：独立的对称操作只有8种，它们分别是：种，它们分别是： 4,6,4,3,2,1mi 在这些对称操作中，在这些对称操作中，操作时至少有一点保持不动操作时至少有一点保持不动，所以，所以 又称为又称为点对称操作点对称操作 。 例如：在转动时，轴线上的各点是保持不动的。例如：在转动时，轴线上的各点是保持不动的。 在中心反演对称操作中，原点是保持不动的。在中心反演对称操作中，原点是保持不动的。 二、点群：二、点群： 1、关于群的概念：、关于群的概念： 若对集合若对集合GE、A、B、C，在规定了元素的，在规定了元素的“乘积乘积” 法则后满足下列四个条件，则称为群：法则后满足下列四

15、个条件，则称为群： （1）封闭性：若有）封闭性：若有AG，B G和和AB=C，则一定有，则一定有C G。 （2）存在单位元素）存在单位元素E。对。对G中的任意元素中的任意元素A有：有：AE=EA=A 。 （3）对）对G中的任意元素的逆存在于集合之中。即有：中的任意元素的逆存在于集合之中。即有： AA-1=A-1A=E 且有且有 A-1 G 2、关于点群：、关于点群： （4）满足结合律：）满足结合律：A（BC）=（AB）C。 由于宏观晶体的尺度在空间是有限的，它的所有对称元素由于宏观晶体的尺度在空间是有限的，它的所有对称元素 必须至少交于一点，在对称操作中至少有一点是不动的。因此必须至少交于一点

16、，在对称操作中至少有一点是不动的。因此 宏观晶体对称元素集合而成的结晶学群称为点群。宏观晶体对称元素集合而成的结晶学群称为点群。 根据宏观晶体中可能出现的对称元素种类以及组合原理，数根据宏观晶体中可能出现的对称元素种类以及组合原理，数 学上可以推导出宏观晶体中对称元素组合的类型只有学上可以推导出宏观晶体中对称元素组合的类型只有32种。种。 32种晶体学点群的记号种晶体学点群的记号 3、关于空间群：、关于空间群： 晶体外部形态的对称性，称为宏观对称性。晶体外部形态的对称性，称为宏观对称性。 由于晶体外形具有有限的大小，所有的对称元素都必须相由于晶体外形具有有限的大小，所有的对称元素都必须相 交于

17、晶体内部的某一点。因此，宏观对称性又叫做点对称性。交于晶体内部的某一点。因此，宏观对称性又叫做点对称性。 晶体内原子排列的对称性称为微观对称性。晶体内原子排列的对称性称为微观对称性。 它是晶体内部原子无限排列所具有的对称性。它是晶体内部原子无限排列所具有的对称性。 为描述晶体结构的对称性应允许有平移对称操作。为描述晶体结构的对称性应允许有平移对称操作。 一个晶体中所有微观对称元素的集合称为空间群。晶体一个晶体中所有微观对称元素的集合称为空间群。晶体 共有共有 230 种空间群，即种空间群，即 230 种微观质点排列的对称集合类型。种微观质点排列的对称集合类型。 晶系名称晶系名称构成原胞的边角关

18、系构成原胞的边角关系 三斜晶系三斜晶系a b c ; 90 单斜晶系单斜晶系a b c ; = = 90 正交晶系正交晶系a b c ; = = = 90 三角三角(菱方菱方)晶系晶系 a = b = c ; = = 90 120 四四(正正)方晶系方晶系 a = b c ; = = = 90 六角六角(六方六方)晶系晶系 a = b c ; = = 90 =120 立方晶系立方晶系a = b = c ; = = = 90 X Z Y c b a 晶轴及晶胞的六个参数 七七 大大 晶晶 系系 划划 分分 情情 况况 表表 三、七大晶系：三、七大晶系： a c b 三斜晶系 简单 简单 a c

19、b a c b 单斜晶系 底心 a c b a c b a c ba c b 正交晶系 简单 底心 体心 面心 四、十四种布喇菲晶格：四、十四种布喇菲晶格： a1 a2 a3 120 c 六方晶系 c b a 三角晶系 a c b a c b 四方晶系 立方晶系 简单 简单 简单 简单 体心 体心 面心 铁 , 铬 , 钒 , 钨 , 钼 铁 , 铝 , 铜 , 镍 , 铅 五、对称性破缺（五、对称性破缺（symmetry breaking ）： 1、晶体的出现是对称性破缺的结果：、晶体的出现是对称性破缺的结果： 晶体是从液体或气体经相变而产生的。晶体是从液体或气体经相变而产生的。 物质的气相

20、与液相物质的气相与液相是一种均匀的高度对称的无序相。是一种均匀的高度对称的无序相。 它它对任意的平移或转动均保持不变对任意的平移或转动均保持不变。 而对晶体，由于其原子的排列具有周期性，也具有一定而对晶体，由于其原子的排列具有周期性，也具有一定 的平移对称性，但这种平移对称性与气体或液体的平移对称的平移对称性，但这种平移对称性与气体或液体的平移对称 性相比，性相比，使晶体保持不变的平移不再是任意的。它要求向某使晶体保持不变的平移不再是任意的。它要求向某 方向的平移不能小于该方向的格点周期方向的平移不能小于该方向的格点周期，否则晶格就不能自，否则晶格就不能自 身重合。所以，晶体的对称性要比气态与

21、液态物质的对称性身重合。所以，晶体的对称性要比气态与液态物质的对称性 低。同样的道理，低。同样的道理，晶体的转动对称性也要比气态与液态物质晶体的转动对称性也要比气态与液态物质 的转动对称性低。的转动对称性低。 原来具有较高对称性的系统出现不对称因素，使其对称原来具有较高对称性的系统出现不对称因素，使其对称 程度降低的这种现象叫做对称性破缺。程度降低的这种现象叫做对称性破缺。 所以，可认为晶体的出现是对称性破缺的结果。所以，可认为晶体的出现是对称性破缺的结果。 2、对称性破缺与相变：、对称性破缺与相变： 对称破缺的概念是对称破缺的概念是 1937 年年 Landau 在其二级相变的理论在其二级相

22、变的理论 中首先提出来的。他认为：中首先提出来的。他认为：相变总是伴随着运动状态的有序程相变总是伴随着运动状态的有序程 度和结构的对称性的变化的。度和结构的对称性的变化的。 通常：高温相的对称性较高而有序度比较低；而低温通常：高温相的对称性较高而有序度比较低；而低温 相的对称性较低而有序度比较高。相的对称性较低而有序度比较高。 而而对称性的高低是指：相对而言所含对称元素的多少对称性的高低是指：相对而言所含对称元素的多少。 即：对相对含有较多对称元素的系统，我们就说它的对称即：对相对含有较多对称元素的系统，我们就说它的对称 性比较高。性比较高。 如果在相对来讲具有较高对称性的相中某一对称元素突如

23、果在相对来讲具有较高对称性的相中某一对称元素突 然消失，这就会导致具有较低对称性的相出现，于是就发生然消失，这就会导致具有较低对称性的相出现，于是就发生 了相变。因此，一种有序相的出现总是与某种对称性破缺相了相变。因此，一种有序相的出现总是与某种对称性破缺相 联系。联系。 只有对称性破缺才能显示物质世界的多样性与各自的特只有对称性破缺才能显示物质世界的多样性与各自的特 殊性殊性。对称破缺是一个很重要的具有普遍意义的概念。对称破缺是一个很重要的具有普遍意义的概念。 观测表明，我们这个宇宙是物质为主的，这就产生了一个观测表明，我们这个宇宙是物质为主的，这就产生了一个 问题：为什么宇宙中的反物质远少

24、于物质？对于这个问题，目问题：为什么宇宙中的反物质远少于物质？对于这个问题，目 前还没有完整的答案，但对称性破缺是解决问题的关键之一。前还没有完整的答案，但对称性破缺是解决问题的关键之一。 诺贝尔奖官方网站的在线投票结果显示，有诺贝尔奖官方网站的在线投票结果显示，有58%的人不知的人不知 道宇宙存在的原因是道宇宙存在的原因是“对称性破缺对称性破缺”。 10月月7日，日，2008年诺贝尔物理学奖揭晓，美国和日本的三名年诺贝尔物理学奖揭晓，美国和日本的三名 科学家因为在科学家因为在“对称性破缺对称性破缺”研究中做出的贡献而获奖。美国研究中做出的贡献而获奖。美国 芝加哥大学恩里科芝加哥大学恩里科费米

25、研究所的南部阳一郎费米研究所的南部阳一郎 (Yoichiro Nambu) 由于由于“发现亚原子物理中的对称性自发破缺机制发现亚原子物理中的对称性自发破缺机制”而获得一半而获得一半 奖金，日本高能加速器研究组织的小林诚奖金，日本高能加速器研究组织的小林诚(Makoto Kobayashi)和和 日本京都大学汤川理论物理研究所的益川敏英日本京都大学汤川理论物理研究所的益川敏英 (Toshihide Maskawa)则由于则由于“发现破缺对称性的起源并预言自然界中至少发现破缺对称性的起源并预言自然界中至少 存在三代夸克存在三代夸克”而分享了另一半奖金。而分享了另一半奖金。 2008年诺贝尔物理学奖

26、年诺贝尔物理学奖 最早在对称性破缺领域获得诺贝尔物理奖的除了朗道以外最早在对称性破缺领域获得诺贝尔物理奖的除了朗道以外 还有华人科学家李政道和杨振宁。还有华人科学家李政道和杨振宁。 他们发现镜面对称在四种基本力之一的弱相互作用中是破他们发现镜面对称在四种基本力之一的弱相互作用中是破 缺的，由此获得缺的，由此获得1957年的诺贝尔奖。他们的发现让物理学家思年的诺贝尔奖。他们的发现让物理学家思 考是否会有更多未被发现的破缺。考是否会有更多未被发现的破缺。 有的物理学家则完全没有料到今年的物理奖会颁给对称性有的物理学家则完全没有料到今年的物理奖会颁给对称性 破缺领域。破缺领域。“我还以为以前就颁过了

27、呢。我还以为以前就颁过了呢。”有的物理学家说。有的物理学家说。 从历届的诺贝尔奖来看，除了今年，已经有四次都颁给了对称从历届的诺贝尔奖来看，除了今年，已经有四次都颁给了对称 性破缺领域，这的确容易给人造成迷惑。性破缺领域，这的确容易给人造成迷惑。 南部阳一郎的研究可以帮助解释物质为何具有质量，而小南部阳一郎的研究可以帮助解释物质为何具有质量，而小 林诚和益川敏英的工作则可解释我们为什么至今还存在。林诚和益川敏英的工作则可解释我们为什么至今还存在。 物理学理论显示，宇宙创生之时，等量的物质和反物质应被物理学理论显示，宇宙创生之时，等量的物质和反物质应被 制造出来，二者相遇便会湮灭，化为能量。但果

28、真如此的话，我制造出来，二者相遇便会湮灭，化为能量。但果真如此的话，我 们所看到的星系、恒星，包括我们自身便都不会存在了。我们的们所看到的星系、恒星，包括我们自身便都不会存在了。我们的 存在说明宇宙早期物质和反物质的对称被打破了，宇宙中的物质存在说明宇宙早期物质和反物质的对称被打破了，宇宙中的物质 多于反物质。多于反物质。 当物理学家考察微观世界的时候，他们发现很多时候，这些当物理学家考察微观世界的时候，他们发现很多时候，这些 对称性都是破缺的。这有点出乎他们的意料。对称性都是破缺的。这有点出乎他们的意料。1960年前后，南部年前后，南部 阳一郎开始研究对称性破缺，并提出了亚原子物理中的对称性

29、自阳一郎开始研究对称性破缺，并提出了亚原子物理中的对称性自 发破缺。发破缺。 他提出的这一机制可能会解答一个令人迷惑的问题：物质的他提出的这一机制可能会解答一个令人迷惑的问题：物质的 质量从何而来？在粒子物理学的质量从何而来？在粒子物理学的“标准模型标准模型”中，组成我们这个中，组成我们这个 世界的所有的基本粒子以及自然界中四种基本力中的三种都被纳世界的所有的基本粒子以及自然界中四种基本力中的三种都被纳 入了同一套理论，但标准模型无法回答物质的质量是从哪里来的。入了同一套理论，但标准模型无法回答物质的质量是从哪里来的。 而且，奇怪的是，为什么粒子与粒子之间的质量差别还会非常巨而且，奇怪的是，为

30、什么粒子与粒子之间的质量差别还会非常巨 大？有的粒子很重，而光子却没有质量。大？有的粒子很重，而光子却没有质量。 英国物理学家希格斯在南部阳一郎之后提出了一种解释，现英国物理学家希格斯在南部阳一郎之后提出了一种解释，现 在被寄予厚望。瑞典皇家科学院在一份解释名为在被寄予厚望。瑞典皇家科学院在一份解释名为“揭示自然界隐揭示自然界隐 藏的对称藏的对称”的材料中打了一个形象的比方。如果把一支铅笔笔尖的材料中打了一个形象的比方。如果把一支铅笔笔尖 朝下竖立在圆桌中心，那么，铅笔和圆桌沿铅笔的中轴在各个方朝下竖立在圆桌中心，那么，铅笔和圆桌沿铅笔的中轴在各个方 向上都是对称的。但这样状态的铅笔是不稳定的

31、，它一旦倒下，向上都是对称的。但这样状态的铅笔是不稳定的，它一旦倒下， 这种对称性就丧失了。不过，这样一来，这支铅笔的状态就稳定这种对称性就丧失了。不过，这样一来，这支铅笔的状态就稳定 了了它没有办法再向哪里倒了，它已经达到了能量最低的状态。它没有办法再向哪里倒了，它已经达到了能量最低的状态。 在宇宙诞生的时刻，希格斯提出的理论中的在宇宙诞生的时刻，希格斯提出的理论中的“希格斯场希格斯场” 是完美对称的（就像那支竖立的铅笔），所有的粒子都没有质是完美对称的（就像那支竖立的铅笔），所有的粒子都没有质 量。但希格斯场是不稳定的，它在宇宙早期的时候失去能量了，量。但希格斯场是不稳定的，它在宇宙早期的

32、时候失去能量了， 这些能量被粒子们接收，哪种粒子接受到的能量多哪种粒子就这些能量被粒子们接收，哪种粒子接受到的能量多哪种粒子就 重一些。重一些。“希格斯场希格斯场”理论预言了希格斯玻色子的存在，也就理论预言了希格斯玻色子的存在，也就 是不久前启动的大型强子对撞机（是不久前启动的大型强子对撞机（LHC）要寻找的目标之一。）要寻找的目标之一。 小林诚和益川敏英在小林诚和益川敏英在1973年发表论文提出了年发表论文提出了“小林益川小林益川 理论理论”，认为造成宇宙中粒子多于反粒子的原因是夸克的反应，认为造成宇宙中粒子多于反粒子的原因是夸克的反应 衰变速率不同。正是对称性破缺造成的细微差别让物质在宇宙

33、衰变速率不同。正是对称性破缺造成的细微差别让物质在宇宙 中占了上风。他们还预言了存在中占了上风。他们还预言了存在6种夸克，这些夸克在之后的二种夸克，这些夸克在之后的二 十多年里陆续被证实。十多年里陆续被证实。2002年，其他的物理试验也明确证实了年，其他的物理试验也明确证实了 “小林益川理论小林益川理论”。 现在物理学家相信，宇宙每产生现在物理学家相信，宇宙每产生100亿个反物质粒子的同时，亿个反物质粒子的同时， 就有一个额外物质粒子的偏离，正是这样的偏离导致的对称性就有一个额外物质粒子的偏离，正是这样的偏离导致的对称性 破缺才使得我们今天的宇宙得以存活。破缺才使得我们今天的宇宙得以存活。 日

34、本科学家益川敏英美籍日裔科学家南部阳一郎日本科学家小林诚 物理学家曾经认为，如果有一个反物质组成的外星人来到人物理学家曾经认为，如果有一个反物质组成的外星人来到人 类面前，我们是无从判断它是由物质还是反物质组成的，因为类面前，我们是无从判断它是由物质还是反物质组成的，因为 “电荷对称电荷对称”。但。但1964年美国物理学家克罗宁和菲奇发现有一种年美国物理学家克罗宁和菲奇发现有一种 粒子不遵守电荷对称（他们于粒子不遵守电荷对称（他们于1980年获得诺贝尔物理学奖），因年获得诺贝尔物理学奖），因 此反物质的外星人还是有可能被发现其组成的。不然的话，我们此反物质的外星人还是有可能被发现其组成的。不然

35、的话，我们 在与外星人握手之前，永远都不会知道这一握是否会导致双方湮在与外星人握手之前，永远都不会知道这一握是否会导致双方湮 灭。灭。 一、正格子与倒格子：一、正格子与倒格子： 这种这种具有具有晶格周期性的周期函数可以作傅里叶展开，写为：晶格周期性的周期函数可以作傅里叶展开，写为： )()(RrVrV R 为晶格平移矢量为晶格平移矢量 由于晶格具有周期性或平移对称性，晶体的各种物理性质由于晶格具有周期性或平移对称性，晶体的各种物理性质 也都应表现出这种周期性。若以也都应表现出这种周期性。若以V(r)表示晶体的某种物理性质，表示晶体的某种物理性质， 则应有：则应有： G rGi eGVrV )(

36、)( G RGirGi G RrGi eeGV eGVRrV )( )()( )( )()(RrVrV )2, 1, 0( 2 1 m mRG e RGi 5 倒格子与布里渊区倒格子与布里渊区 对晶体的空间周期性特征的另一种描述对晶体的空间周期性特征的另一种描述 manananGRG2)( 332211 或者要求：或者要求： )3 , 2 , 1)3 , 2 , 1(2ihihaG iii （整数其中 满足上式的满足上式的G可写为：可写为： 321 332211 ,j jjb hbhbhbhG 这样应有：这样应有： ijji ba2 这样在已知这样在已知ai的条件下，实际上的条件下，实际上bj

37、就已经完全确定了。就已经完全确定了。 现在就以现在就以b1的确定为例来对此作出说明：的确定为例来对此作出说明： 因为有：因为有： 00 1312 baba 和 所以所以 b1 必垂直于由必垂直于由 a2 和和 a3 所决定的平面。这样，就可所决定的平面。这样，就可 以假设：以假设： )()( 32321 aaCaab 常数 i j ijji habhaG2 这样必有：这样必有： 所以有：所以有： )( 2 321 aa v b )( 2 132 aa v b )( 2 213 aa v b 其中：其中： )( 321 aaav 为原胞的体积。为原胞的体积。 但又有：但又有： 2 11 ba )

38、( 32111 aaCaba vaaa)( 321 2 11 Cvba v C 2 )( 2 )( 32321 aa v aaCb 1、矢量、矢量R与矢量与矢量G的比较：的比较： （1）R是用来描是用来描晶格具有平移对称性晶格具有平移对称性的矢量，而的矢量，而矢量矢量G， 也是也是为了满足为了满足V（r）具有平移对称性）具有平移对称性的要求才引入的。的要求才引入的。 （2）矢量）矢量R和和G，具有完全相同的形式具有完全相同的形式：它们都是由三个：它们都是由三个 基矢的整系数的线性组合来表示。基矢的整系数的线性组合来表示。 （3）矢量）矢量R和和G，的，的基矢之间具有完全确定的对应关系基矢之间具

39、有完全确定的对应关系。 2、正格子与倒格子：、正格子与倒格子： )( 2 321 aa v b )( 2 132 aa v b )( 2 213 aa v b （1）正格子：由于）正格子：由于R是晶格平移矢量，矢量的端点为格点，是晶格平移矢量，矢量的端点为格点， 这些格点构成晶体的布喇菲晶格，这种格子被称为正格子。这些格点构成晶体的布喇菲晶格，这种格子被称为正格子。 （2）倒格子：以）倒格子：以矢量矢量G作为平移矢量，其作为平移矢量，其端点也可以构成端点也可以构成 一种格子，这种格子被称为倒格子。矢量一种格子，这种格子被称为倒格子。矢量G被称为倒格矢。而被称为倒格矢。而b1 , b2 , b3

40、 被称为倒格子基矢。被称为倒格子基矢。 （1）量纲的关系：）量纲的关系： 正格子与倒格子是互易的，在两种格子空间中，正格子与倒格子是互易的，在两种格子空间中，长度的长度的 量纲互为倒数量纲互为倒数。 （2）原胞体积的关系：）原胞体积的关系： 倒格子原胞的体积为倒格子原胞的体积为 正格子原胞的体积为正格子原胞的体积为 * v v v bbbv 3 321 * 2 )( （3）倒格矢与晶面族的关系：）倒格矢与晶面族的关系： 倒格矢倒格矢 与正格子中面指数为（与正格子中面指数为（h1,h2,h3） 的晶面族正交，且有：的晶面族正交，且有：G = 2/d/d 。这里。这里 d 表示该晶面族的面表示该晶

41、面族的面 间距离。间距离。 332211 bhbhbhG 证明：证明： a1 a2 a3 A B C O 1 1 h a 2 2 h a 3 3 h a 正格子中面指数为（正格子中面指数为（h1,h2,h3）的）的 晶面族中最靠近原点的晶面晶面族中最靠近原点的晶面ABC在三在三 个基矢上的截距分别为：个基矢上的截距分别为： a1/h1 , a2/h2 , a3/h3。 在晶面在晶面ABC上取两个矢量：上取两个矢量：AC 和和 AB。 3、倒格子与正格子的关系：、倒格子与正格子的关系： a1 a2 a3 A B C O 1 1 h a 2 2 h a 3 3 h a 但有：但有： AC 3 3

42、1 1 11 a h a h AB 3 3 2 2 11 a h a h 应有：应有： )3 , 2 , 1(2ihaG ii 所以有：所以有： 022 11 3 3 1 1 a h a h G 0 11 3 3 2 2 a h a h G 和和 所以所以G与晶面族（与晶面族（h1,h2,h3）正交。）正交。 而面间距而面间距 d 就是原点到就是原点到 ABC 面的距离，所以有：面的距离，所以有： GG G h a d 2 1 1 在正格子中，知道了在正格子中，知道了G就明确了该族晶面的方向和晶面间就明确了该族晶面的方向和晶面间 的距离。的距离。 在倒格子中，确定在倒格子中，确定G就确定了倒易

43、空间中的一个倒格点。就确定了倒易空间中的一个倒格点。 由此可见：由此可见： 倒易空间中的倒易空间中的 一个倒格点一个倒格点 正格子与倒格子点阵的对应关系正格子与倒格子点阵的对应关系 倒易空间中有无倒易空间中有无 穷多个倒格点穷多个倒格点 正格子中有无正格子中有无 穷多族晶面穷多族晶面 所以，可以用倒格子空间的点来代表正格子空间的一族晶所以，可以用倒格子空间的点来代表正格子空间的一族晶 面。面。 X射线在晶面上发生反射、衍射，在倒格子空间中就对应射线在晶面上发生反射、衍射，在倒格子空间中就对应 到对一个点的情况。到对一个点的情况。 正格子中的正格子中的 一族晶面一族晶面 正格子：正格子： fcc

44、 bcc 简单立方简单立方 六方六方 倒格子：倒格子： bcc fcc 简单立方简单立方 六方六方 4、讨论：、讨论： 在固体物理中引入倒格子的必要性：在固体物理中引入倒格子的必要性： （1）物理学中对波动问题的讨论：）物理学中对波动问题的讨论： a) 波动波动 是物理学中所讨论过的具有空间周期性特点是物理学中所讨论过的具有空间周期性特点 的典型问题。的典型问题。 b) 为了对波的空间周期性的特点进行描述，物理学中引入为了对波的空间周期性的特点进行描述，物理学中引入 了：了：波长与波线波长与波线这两个物理量，和这两个物理量，和波矢与波阵面波矢与波阵面这两个概念。这两个概念。 波长与波阵面波长与

45、波阵面 是用来在实空间中对波的空间周期性是用来在实空间中对波的空间周期性 进行具体描述的物理量。进行具体描述的物理量。 波矢波矢 是在是在 k 空间中用来对波动的周期性进行具体描空间中用来对波动的周期性进行具体描 述的物理量。述的物理量。 c) 这两种对波动的周期性进行描述的方法，在不同场合的这两种对波动的周期性进行描述的方法，在不同场合的 应用会给我们对波动问题的讨论带来方便。应用会给我们对波动问题的讨论带来方便。 波长与波阵面的描述直观形象，是对空间周期性的几何描波长与波阵面的描述直观形象，是对空间周期性的几何描 述。而波矢是直接出现在波动方程之中给与波动有关的代数描述。而波矢是直接出现在

46、波动方程之中给与波动有关的代数描 述和运算带来方便述和运算带来方便 a) 借助对波动这一具有空间周期性特点的典型问题的经借助对波动这一具有空间周期性特点的典型问题的经 验，在对晶体结构问题的讨论中，我们也可以引入了两种表述验，在对晶体结构问题的讨论中，我们也可以引入了两种表述 方式方式 。 实空间的表述方式实空间的表述方式 正格子。正格子。 k 空间的表述方式空间的表述方式 倒格子。倒格子。 b) 倒格子的引入，对与固体物理有关问题的讨论具有重倒格子的引入，对与固体物理有关问题的讨论具有重 要的意义：要的意义： 固体物理问题中的一个重要的范式固体物理问题中的一个重要的范式 周期结构中的波。周期

47、结构中的波。 在很多固体物理具体问题的讨论中，波矢在很多固体物理具体问题的讨论中，波矢 k 往往是一个往往是一个 好的量子数好的量子数 这就使得在倒格子空间讨论问题往往会更方便。这就使得在倒格子空间讨论问题往往会更方便。 即使是在对晶体结构的研究中也与对波动问题的讨论有密即使是在对晶体结构的研究中也与对波动问题的讨论有密 切的关系：如切的关系：如X射线的衍射与晶体结构问题的研究。射线的衍射与晶体结构问题的研究。 倒格子的使用也会带来很多便利。倒格子的使用也会带来很多便利。 （2）固体物理中空间的周期性是晶体结构的基本特点：）固体物理中空间的周期性是晶体结构的基本特点： 二、布里渊区：二、布里渊

48、区： 1、布里渊区：、布里渊区： 在倒格子中，取某一倒格点为原点，作所有倒格矢在倒格子中，取某一倒格点为原点，作所有倒格矢G的垂的垂 直平分面将把倒格子空间分割成许多包围原点的多面体。直平分面将把倒格子空间分割成许多包围原点的多面体。 （1）离原点最近的多面体区域称为第一布里渊区。）离原点最近的多面体区域称为第一布里渊区。 （2）离原点次近的多面体与第一布里渊区表面之间的区）离原点次近的多面体与第一布里渊区表面之间的区 域称为第二布里渊区。域称为第二布里渊区。 以此类推，可得第三、第四等各个布里渊区。这些布里以此类推，可得第三、第四等各个布里渊区。这些布里 渊区的各部分也都是以原点为中心对称的

49、。渊区的各部分也都是以原点为中心对称的。 由定义可知：第一布里渊区实际上就是倒格子中的维格由定义可知：第一布里渊区实际上就是倒格子中的维格 纳纳 赛茨原胞。它的形状是围绕原点中心对称的。赛茨原胞。它的形状是围绕原点中心对称的。 可以证明：每个布里渊区的体积都等于倒格子原胞的体可以证明：每个布里渊区的体积都等于倒格子原胞的体 积，也就是每个倒格点所占有的体积。积，也就是每个倒格点所占有的体积。 coskGGk Gk 2 1 cos 2 2 1 GGk 2 2GGk k是倒格子空间的矢量，满足该式的是倒格子空间的矢量，满足该式的k的端点均落在的端点均落在G的的 垂直平分面上。所以，只要给定垂直平分

50、面上。所以，只要给定G，就可由上式确定相应的，就可由上式确定相应的 布里渊区界面。布里渊区界面。 2 2GGk 证明：证明： （4）所有的布里渊区的体积都相等，且等于倒格子原胞）所有的布里渊区的体积都相等，且等于倒格子原胞 的体积。（该结论在的体积。（该结论在1960年曾由程开甲先生给出证明。）年曾由程开甲先生给出证明。） （3）布里渊区是由倒格矢的垂直平分面围成，若用）布里渊区是由倒格矢的垂直平分面围成，若用k来来 表示倒格子空间中的矢量。则可以证明：布里渊区界面的方表示倒格子空间中的矢量。则可以证明：布里渊区界面的方 程应表示为：程应表示为： G k 2、二维正方晶格的布里渊区：、二维正方

51、晶格的布里渊区： 1 2 2 2 2 3 3 3 3 33 3 3 （1）写出二维正方晶格的基矢：）写出二维正方晶格的基矢： j aai aa , 21 （2）求出倒格子的基矢：）求出倒格子的基矢： i a kja a ka a b 2 ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 1 )( 2 321 aa v b 由公式：由公式： 可得：可得： 同理可得：同理可得： j a b 2 2 （3）写出倒格矢）写出倒格矢G： ) ( 2 21 jhih a G 所以，由所以，由G决定的倒格子也是一个晶格常数为（决定的倒格子也是一个晶格常数为（2/a/a） 的二维正方格子。的二维正方格子。 （4）使用作图法

52、画出布里渊区（如图所示）。）使用作图法画出布里渊区（如图所示）。 二维正方晶格的布里渊区二维正方晶格的布里渊区 二维正方晶格情况下的布里渊区 具体的做法是：具体的做法是： 取某一倒格点为原点，作它到所有倒格点连线的垂直平分取某一倒格点为原点，作它到所有倒格点连线的垂直平分 线，它们将平面化分为许多区域。其中包围原点最近的封闭区线，它们将平面化分为许多区域。其中包围原点最近的封闭区 域为第一布里渊区，其他各区可以按以下方法判断：各区的面域为第一布里渊区，其他各区可以按以下方法判断：各区的面 积相同；同一区的各部分至少有一点相连，以保证区域的封闭积相同；同一区的各部分至少有一点相连，以保证区域的封

53、闭 性；从原点出发穿过（性；从原点出发穿过（ n 1 ) 条平分线后才能进入第条平分线后才能进入第 n 区。区。 1 2 2 2 2 3 3 3 3 33 3 3 二维正方晶格的布里渊区二维正方晶格的布里渊区 3、简单立方晶格的第一布里渊区：、简单立方晶格的第一布里渊区： （1）写出简单立方晶格的基矢：）写出简单立方晶格的基矢： kaaj aai aa , , 321 （2）求出倒格子的基矢：）求出倒格子的基矢： i a kja a b 2 ) ( 2 2 3 1 j a b 2 2 （3）写出倒格矢）写出倒格矢G： ) ( 2 321 khjhih a G 所以，由所以，由G决定的倒格子也是

54、一个晶格常数为（决定的倒格子也是一个晶格常数为（2/a/a） 的简单立方格子。所以，第一布里渊区的形状为立方体。的简单立方格子。所以，第一布里渊区的形状为立方体。 k a b 2 3 1 a 2 a 3 a 简单立方晶格的基矢简单立方晶格的基矢 4、面心立方与体心立方晶格的第一布里渊区：、面心立方与体心立方晶格的第一布里渊区： 面心立方晶格的第一布里渊区：面心立方晶格的第一布里渊区： （2）求出倒格子的基矢：）求出倒格子的基矢： ) ( 2 ) () ( 4 8 2 3 1 kji a jiki a a b ) ( 2 2 kji a b （3）与体心立方晶格的基矢比较：）与体心立方晶格的基矢

55、比较： ) ( 2 3 kji a b 基矢基矢 ) ( 2 2 ki a a ) ( 2 3 ji a a 原胞体积原胞体积 3 3210 4 1 )(aaaav 体心立体心立 方体晶方体晶 格基矢格基矢 ) ( 2 1 kji a a ) ( 2 2 kji a a ) ( 2 3 kji a a ) ( 2 1 kj a a 1 a 2 a 3 a i j k a 面心立方晶格的基矢面心立方晶格的基矢 体心立方晶格的基矢体心立方晶格的基矢 （1）面心方晶格的基矢：）面心方晶格的基矢： 两者的差别只是用两者的差别只是用 2/a /a 代替了代替了 a/2 a/2 。但是格点的分。但是格点的

56、分 布形式是相同的。这说明：布形式是相同的。这说明：面心立方晶格的倒格子是体心立面心立方晶格的倒格子是体心立 方格子。方格子。 （4）作图画出第一布里渊区：）作图画出第一布里渊区： 取某一倒格点为原点，它共取某一倒格点为原点，它共 有有8个最近邻倒格点，作个最近邻倒格点，作8个垂直个垂直 平分面，围成一个八面体，但它平分面，围成一个八面体，但它 的的6个顶角却被对应于个顶角却被对应于6个次近邻个次近邻 的垂直平分面截去，于是，第一的垂直平分面截去，于是，第一 布里渊区的形状为十四面体。如布里渊区的形状为十四面体。如 图所示。图中标出的一些对称点图所示。图中标出的一些对称点 和对称轴的常用符号，

57、以和对称轴的常用符号，以2/a/a 为单位。为单位。 X X K K L L W U Q i j k 布里渊区中一些对称点的常用符号布里渊区中一些对称点的常用符号 X K L W U )000()010( )0 4 3 4 3 () 2 1 2 1 2 1 ()10 2 1 () 4 1 1 4 1 ( 体心立方晶格的第一布里渊区：体心立方晶格的第一布里渊区： 可以证明可以证明：体心立方晶格体心立方晶格 的倒格子是面心立方格子。的倒格子是面心立方格子。 在面心立方倒格子中，任在面心立方倒格子中，任 一倒格点有一倒格点有12个最近邻倒格点，个最近邻倒格点， 作作12个垂直平分面，围成一个个垂直平

58、分面，围成一个 十二面体，因没有受到来自次十二面体，因没有受到来自次 近邻倒格点的垂直平分面切割，近邻倒格点的垂直平分面切割， 所以第一布里渊区的形状就是所以第一布里渊区的形状就是 十二面体。如图所示。图中标十二面体。如图所示。图中标 出的一些对称点和对称轴的常出的一些对称点和对称轴的常 用符号，以用符号，以2/a/a为单位。为单位。 N H PF G D D i j k 布里渊区中一些对称点的常用符号布里渊区中一些对称点的常用符号 H N P )000()010( )0 2 1 2 1 () 2 1 2 1 2 1 ( 面心立方结构配位数示意图 6 晶体的晶体的X射线衍射射线衍射 一、劳厄方

59、程与布喇格公式：一、劳厄方程与布喇格公式： 1、劳厄方程：、劳厄方程： 设设X射线源和晶体的距离，观测点和晶体的距离都比晶体射线源和晶体的距离，观测点和晶体的距离都比晶体 的线度大得多。这时的线度大得多。这时入射的入射的X射线和衍射的射线和衍射的X射线都可看成平射线都可看成平 行光线。行光线。 劳厄把晶体对劳厄把晶体对X射线的衍射归结为晶体内每个原子对射线的衍射归结为晶体内每个原子对X射射 线的散射。当线的散射。当所有原子的散射发生相长干涉时就产生最大的衍所有原子的散射发生相长干涉时就产生最大的衍 射。射。 0 0 k k RCB 0 k k RAD R k0 k A B C D 入射波 散射

60、波 若散射是完全弹性的，若散射是完全弹性的， 则应有：则应有： 0 kk 波程差为：波程差为： 0 0 k kk RCDAD 散射波相长干涉的条件为：散射波相长干涉的条件为： m k kk R 0 0 2 0 kk mkkR2)( 0 m 为整数为整数 注意到倒格矢注意到倒格矢G与与R的关系为：的关系为： mRG2 代入上式可得相长干涉的条件为：代入上式可得相长干涉的条件为： Gkk 0 这就是在倒格子空间表示的晶体的衍射条件。这就是在倒格子空间表示的晶体的衍射条件。 mkkR2)( 0 Gkk 0 方程：方程：和和被称为劳厄方程。被称为劳厄方程。 2、布喇格公式：、布喇格公式： Gkk 0