高中数学导数专题复习

1、专题一第5讲导数及其应用一、选择题(每小题4分，共24分)1 .已知函数f(x)的导函数为f (x),且满足f(x) = 2xf (1) + ln x,则f (1)a. eb. 1c. 1d. e解析 f (x) = 2f(1) + 1,令 x=1,得 f (1) = 2f(1)+1, x. f(1) = 1.故选 b.答案 b一，,x212. (2012泉州模拟)已知曲线y= z 31n x的一条切线的斜率为彳，则切点的横坐标为a. 3b. 21c. 1d.2解析设切点为(xo, yo).v =1x- 3-h2,解彳3xo = 3(x0= 2舍去).答案 a3. (2012聊城模拟)求曲线y

2、=x2与y=x所围成图形的面积，其中正确的是a.s=1(x2x)dxb.s=1(x x2)dx00c.s=1(y2 y)dyd.s=1(y- vy)dy00解析两函数图象的交点坐标是(0,1), (1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在0,1上，xx2,故求曲线y= x2与y=x所围成图形的面s= 1(xox2)dx.答案 b3 22x33x21,x 0,4 .函数f(x)= ax在 2,2上的最大值为2,则a的取值e ,x 0范围是1 1a. 21n 2, +oob. 0, 21n 21c. ( 8, 0d. 8, 21n 2解析 当x0 0时，f (x)=6x2+6x,函数的极大值点是

3、x= 1,极小值点是 x=0,当 x= 1 时，f(x) = 2,故只要在(0,2上 eaxw 2 即可，即 ax& ln 2 在(0,2上恒成立，即a0上2在(0,2上恒成立，故a 11n 2. x2答案 d5 .设函数 f(x) = ax2+bx+c(a, b, cc r),若 x= 1 为函数 f(x)ex的一个极 值点，则下列图象不可能为y=f(x)图象的是解析 设 h(x) = f(x)ex,贝u h (x)=(2ax+ b)ex+ (ax2+bx+ c)ex = (ax2 + 2ax+bx+ b+c)ex.由x= - 1为函数f(x)ex的一个极值点，得当 x= 1时，ax2+2a

4、x+bx+ b+ c= c a= 0,.c=a. .f(x) = ax2+ bx+a.若方程 ax2+ bx+ a= 0 有两根 xi、ax2,则xix2=a=1, d中图象一止不酒足该条件.答案 db. (3, +8)d. ( 3,4)6 .设ac r,若函数f(x) = eax+3x(xc r)有大于零的极值点，则a的取值范 围是a. ( 3,2)c. (一 00, - 3)解析 由已知得f (x) = 3+aeax,若函数f(x)在xc r上有大于零的极值点，1则f (x)=3+ae =0有正根.当3+ae =0成立时，显然有 a0得到参数a的取值范围为aaobc+s 扇形 aob0 .

5、=1x 1 xm + 1xx 22=*+(2 v 2 623.答案坐+39. (2012泉州模拟)若函数f(x) = x a/x+ln x(a为常数)在定义域上是增函 数，则实数a的取值范围是.解析 ,. f(x) = x-ax+ ln x在(0, +00)上是增函数，a 12af (x)=1二 0在(0, +8)上恒成立，即 a21当且仅当xx =即x= 1时等号成立，. a0,所以函数有极值点；a= - 3当时，f (x) = 3(x1)20,所以函数无极值点.b=3则b的值为一11.(2)解法一f (x) = 3x a 16.16又. max = 3, b y.综上，b的最小值为16 +

6、 2ax+ b0 对任意的 a -4, +oo), x 0,2都成则 f(a) = 2xa+3x2+b0 对任意的 ac 4, +oo), xc0,2者 b 成立.x0, f(a)在ac 4, + )单调递增或为常数函数，所以得f(a)min= f(4)=8x+ 3x2+b0对任意的xc 0,2恒成立，即b(-3x2 + 8x)max,p c 2 1c c 4 2, 16)16又 一 3x + 8x= 3 x- 3 + 3 0 3，当 x= 11.已知函数 f(x) = exln x.求函数f(x)的单调区问；(2)设 x0,求证：f(x+ 1)et;设 ncn+,求证：ln(1 x2+1)+

7、ln(2x3+ 1)+ lnn(n+1)+12n时,(-3x2+8x)max = 16，# b16, 333所以b的最小值为16. 3解法二 f (x)=3x2+2ax+b0对任意的 ac 4, +oo),xc 0,2都成立，即 b 3x2 2ax 对任意的 ac 4, +oo), x 0,2都成立，即 b(-3x2一 2ax) max,2令 f(x) = 3x22ax= 3 x+号 2 + a.33当 a0 时，f(x)max= 0, .-.b0;22当一4&at-.33解析(1)由题知，函数f(x)的定义域为(0, +00),由 f (x) = ex1n x(ln x+ 1).令 f (x

8、)0,解得 x3； e.一 1令 f (x)0,解得 0xe2x1,2x1即证(x+ 1)1n(x+ 1)2x 1? 1n(x+ 1) x+ 12x- 1 1n(x+ 1)-0.x+ 12x-1令 g(x) = 1n(x+1) 3.x+1 x+122,x+ 1令 g (x) = 0,得 x= 2,且g(x)在(0,2)上单调递减,在(2, +8)上单调递增,所以 g(x)min = g(2) = 1n 3 1 ,故当 x0 时，有 g(x)g(2) = 1n 310,即 f(x+1)e2x-1 得证.(3)证明由(2)得 1n(x+1)2x-,x+ 1一3即 1n(x+1)2 ,x+ 1所以

9、lnk(k+1)+12 kk+1 +12 -k k+1所以 ln(1 x2+1)+ln(2x3+1)+ +lnn(n+ 1)+1c 3c 32_33 1x2 + 2x3 + + n n+1 =2n-3+72n-3-12.设函数 f(x) = ax2 + 1 + x+a, xc(0,1, ac r*若f(x)在(0,1上是增函数，求a的取值范围；求f(x)在(0,1上的最大值.解析(1)当 xc (0,1时，f (x)= - a-x + 1.x2+ 1要使f(x)在xc (0,1上是增函数，ax需使f (x)= j=+10在(0,1上恒成立. ;1x2+1/+1/1即a& x = y 1 + ,在(0,1