洁具流水时间设计

1、关于洁具流水时间的优化设计摘要本文针对洁具流水时间设计的问题，采用随机最优化方法建立数学模型，求解得到在不同方案下的最优冲水时间和最大限度的节约用水量。 对于问题(1)，首先用矩估计的方法得到了男性使用洁具的时间分布服从正态分布，接着在合理的假设条件下将上述问题转化为随机优化求极值问题，用微分求导方法求得：方案一最优冲水时间；方案二最优冲水时间。对两个方案采用随机模拟验证，验证的结果与理论值符合的很好。得出结论：从节约能源的角度，方案一比方案二更好一些。对于问题(2)，充分考虑男性使用洁具的时间分布情况对方案一进行改进。建立了一个随机规划模型，以寻找最优的为目标函数，用水量和清洁度为约束条件，

2、通过模拟退火算法解得。改进后的方案用水量为。而且采用随机模拟的方法进行验证并与方案一对比，发现改进后的方案在理论与实际方面都优于方案一。 最后，就文中模型的优缺点进行了分析，并指出模型的改进方向使得在实际运用中，得到令人满意的效果。 关键词:洁具流水时间 随机优化 微分求导 随机模拟 模拟退火算法一、 问题重述1.1、 问题背景现在,水资源变得越来越匮乏,所以我们更应该节约用水，保护水资源。据有关资料报道，我国目前生产的各类洁具消耗的能源（主要是指用水量）比其它发达国家的同类产品要高出60%以上。现有一家洁具生产厂家打算开发一种男性用的全自动洁具，它的单位时间内流水量为常数，为达到节能的目的，

3、现有以下两个控制放水时间的设计方案供采用。方案一：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为，然后自动停止放水。若使用时间不超过秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，在使用者离开后再放水一次，持续时间为10秒。方案二：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为，然后自动停止放水。若使用时间不超过秒，则只放水一次，否则，为保持清洁，到2时刻再开始第二次放水，持续时间也为。但若使用时间超过秒，则到时刻再开始第三次放水，持续时间也是在设计时，为了使洁具的寿命尽可能延长，一般希望对每位使用者放水次数不超过2次。该厂家随机调查了100人次男性从开始使用到离开洁具为止

4、的时间(单位：秒)见下表：时间（秒）12131415161718人2、 需解决的问题（1） 请根据以上数据，比较这两种设计方案从节约能源的角度来看，哪一种更好？并为该厂家提供设计参数（秒）的最优值，使这种洁具在相应设计方案下能达到最大限度节约水、电的目的；（2） 从既能保持清洁又能节约能源出发，是否能提出更好的设计方案，请通过建立数学模型与前面的方案进行比较。二、 模型假设1.假设该厂家随机调查的100人次男性使用洁具时间可反映现实情况；2.假设该洁具单位时间内流水量为常数；3.使用者每次使用的时间服从正态分布；4.假设耗电量与用水量成正比；5.假设每个人使用该洁具是

5、相互独立的，不受其他使用者的影响；6.假设该洁具的清洁度与冲水次数有关；三、 符号说明符号名称符号含义冲水过程中单位时间流出的水量使用者每次使用洁具的时间方案中洁具设计的冲水时间参数每位使用者每次消耗的水量方案中平均每位使用者每次消耗的水量使用时间的期望使用时间的标准差使用时间的方差方案中的时间分界点（）使用完后的第二次冲水持续时间（问题二）四、 问题分析由假设耗油量与用水量成正比，我们将节约能源(水、电)的问题转化为考虑总冲水量少的问题,因为单位时间的水流量为常数,进一步转化为冲水时间的问题。问题一要求比较出两种方案中节约用水的方案及在两种方案下各自的最优时间参数。我们首先验证题目所给使用时

6、间服从正态分布，在此基础上，写出每位使用者消耗水量的概率分布，得出平均每位使用者的消耗水量表达式，对其求导，得出时间参数的最优值，最少消耗水量，进一步比较两种方案。使用时间服从正态分布，产生其随机数，并对这些随机数统计，得出两种方案在不同下各自的总冲水时间，据此分析比较两种方案，并讨论对该问题的影响。以上两种方法进行对比，可得出较为准确、全面的解答。问题二中要求从既保持清洁又节约能源的角度出发设计出更好的方案。因为问题一中得出结论：方案一优于方案二，因此我们在方案一的基础上改进得出更合理的洁具流水时间设计方案。对于方案一中有的使用者使用完后冲水时间过长和有些使用者冲水次数为一次的问题，我们建立

7、模型设计新的（冲水时间设计参数、使用时间分界点、使用完后的第二次冲水时间），考虑节约用水和清洁因素（冲水两次比冲水一次更清洁），以用水量小于方案一中的最少用水量，90%以上的人都可冲水两次为约束条件，求解最优的参数值，与方案一进行比较。五、 模型的建立与求解5.1 问题一5.1.1 模型的准备解决这个问题的关键之一是恰当的估计出每个人使用洁具时间的概率分布。有题目给定的数据作为原始样本，然后用矩估计法估计出正态分布的参数为，在0.05的水平上通过了检验（具体检验结果见下表）。 表一 检验（服从正态分布）(-,12.5)10.66.070.0008(12.5,13.5)55.47(13.5,14

8、.2)12 13.430.1523(14.2,15.9)60 58.230.0538(15.9,16.5)1312.950.0002(16.5,17.5)6 7.2 8.160.0865(17.5,)30.96合计1000.2935由上可知，每个人使用洁具时间的期望值，标准差，方差，所给数据服从正态分布。同时，我们对题目所给数据进行绘图，从图中也可以看出使用者每次使用时间属于正态分布。图一 使用时间分布图5.1.2 模型的建立与求解题目要求从节约能源的角度考虑，评价哪一种方案更合理。我们通过建立两个模型来解答这一问题。模型一主要通过微元法方程列目标函数，求解得出两种方案下各自的冲水时间参数的最

9、优值，在此基础上，比较两种方案的合理性；模型二通过产生服从正态分布的使用时间的随机数，统计在不同的设计参数下总的冲水时间，依此来分析哪种方案更优。（1） 模型一方案一：设上一个使用者与下一个使用者的使用时间间隔很大，不会影响下一使用者的正常使用过程。该洁具单位时间内的流水量为常数，则每一使用者的使用冲水量计算如下:当使用时间不超过时，放水一次，冲水量为；当使用时间超过时，放水两次，冲水量为。数学表达式如下： （1）因此，它的概率分布如下：其中，所以，有平均每位使用者每次消耗的水量为， （2）平均每位使用者每次所用冲水量越少，越节约能源，因而，以平均每位使用者每次消耗的水量为优化目标，令，可解得

10、实现冲水量最小的目标下的最优时间设计参数和最少冲水量，表达式如下：用matlab编程可计算出时间设计参数与平均每个人每次使用所消耗的水量的具体值为，。方案二：同方案一，先得出每位使用者每次消耗的水量，表达式如下： （3）因此，其概率分布如下：其中，因为要延长洁具使用寿命，设计要求一般放水次数不超过2次，所以主要计算前两项，及后面的小到可忽略不计。以平均每位使用者每次消耗的水量为优化目标，令，可解得实现冲水量最小的目标下的最优时间设计参数和最少冲水量，具体结果为，。由以上分析计算可知，方案一的设计参数的最优值为21.7秒；方案二的设计参数的最优值为18.4秒，此时可使这种洁具在两种方案下达到最大

11、限度的节约能源的目的。因为，即方案一中的平均每位使用者每次消耗的水量少于方案二中的相应值，所以我们认为从节约能源的角度来看，方案一更好一些。（2） 模型二由模型的准备可知，该题所给的数据服从正态分布，我们根据matlab编程随机产生1000个随机数，对这些随机数进行统计，得出不同设计参数下的两个方案的总的冲水时间的关系，如下图。图二 总冲水时间与的关系图由上图我们可以看出，当时间设计参数，方案一的总冲水时间小于方案二的，即方案一的冲水量较小，所以方案一更优；当时，方案一与方案二的总冲水时间相同，故此时两种方案的效果一样。为两种方案确定最优时间参数，如果从节约能源的角度考虑，是两种方案的最优值，

12、此时消耗的水量最少；如果从节约能源和清洁度的方面考虑，为两种方案的最优时间设计参数值。从模型二的结果来看，方案一中的最优值22秒与模型一理论计算出的最优值21秒相差不大，也从另一个方面验证了模型一的正确性。5.2 问题二 由问题一可知，方案一更优于方案二，所以我们在改进方案一的基础上建立新的模型，使得达到既保持清洁又节约能源的目的。由模型的准备可知，使用者使用时间服从正态分布，可算出使用时间小于18秒的概率为，即大部分人的使用时间在18秒以下。而方案一中还要继续冲水13秒。这虽保证了清洁度但是不节约水。因此考虑重新设计冲水时间，建立如下模型： （4）其中表示该方案下的冲水时间参数，与相关的代表

13、使用时间设定的情况分界点（即当使用时间小于或大于时是两种冲水情况），表示超过时人离开后设定的冲水时间。（1）为用水量约束，（2）为清洁度约束，其他条件为非负数约束。由于本题中所求对象的特殊性，一般常规的方法是不能解决的。因此考虑采用模拟退火算法。 模拟退火算法中普遍采用的准则为 （5）用模拟退火算法可以求解得到该模型的最优值为：，此时用水量为。显然改进后的方案要优于方案一的用水量。 上面是从理论上对改进后的方案进行了说明，现在采用随机模拟的方法对改进后的方案验证并与方案一进行对比。采用随机模拟的方法模拟100000次。得到的数据结果见下表：表二 模拟结果表 改进方案方案一100000次累计时间

14、18999862295820100000次中冲两次人数9999319285100000次中用时大于18s282295 从模拟结果来看：（1）在改进的方案中，几乎所有使用洁具的人冲水都冲了两次而方案一中只有很少一部分冲水两次。由前面的假设可知，相比较之下改进方案的清洁度要优于方案一的清洁度。（2）使用时间大于18s的人数是很少的一部分，前面理论也已经说明从模拟结果上也能看出来。即使考虑这很少的一部分人使用洁具后的清洁度，此时改进后的方案与方案一的清洁度是一样的但是比方案一节约用水。所以改进后的方案仍然优于方案一。（3）两种方案中平均每个人的使用时间与理论值是很符合的。表明模型是正确的且有一定实际

15、意义。 从上面可以得到改进的新方案为：使用者开始使用洁具时，受感应洁具以均匀水流开始放水，持续时间为17s，然后自动停止放水。若使用时间不超过11s,则只放水一次，否则，为保持清洁，在使用者离开后在放水一次，持续时间为2秒。 六、 结果分析6.1、问题一由求解过程中模型一的结果可知，方案一与方案二在各自的最优值情况下，方案一的平均每人每次消耗的水量较小（），可看出，方案一较好；从模型二得出的结果可看出，当时，方案一优于方案二，与模型一的结果并不矛盾。对于设计最优时间参数的问题，综合两个模型，是最优值在只考虑节约能源的情况下，是在考虑节约能源和清洁度双方面因素的情况下的最优值。为厂家提供的最优参

16、数值，因为在参数为5s的时候，中间有一段使用过程（）是不冲水的，清洁度很低，因此，我们提供的最有参数值为后者。6.2、问题二将问题二中设计出的方案三与题目给定的方案一进行对比。首先画出在不同使用时间下两个方案的冲水时间与冲水次数情况表：表三 关于问题二的方案比较表使用时间（秒）12131415161718方案一21/121/121/121/121/1(21+10)/2(21+10)/2方案三19/219/219/219/219/219/219/2从上表可看出，冲水时间与冲水次数的具体情况，如19/2表示总冲水时间为19s,2代表冲水次数为2次。分析数据可得：当使用时间在时，方案三比方案一冲水次

17、数多一次，且总冲水时间接近；当使用时间在时，两个方案的冲水次数一样，但方案一比方案三的总冲水时间多很多，浪费水资源，而方案三的总冲水时间较小，节约能源，冲水次数为两次，基本能解决清洁度的问题，且使用时间在的概率较小，所以，综合考虑，得出的新方案更优。七、 模型的评价与改进7.1、优点（1）本文采用检验得出题目所给数据服从正态分布，具有可信度；（2）在解决问题一的过程中，运用微分求导的方法得出最佳参数值，较好的解决了该问题，并得出较为准确的结果；（3）我们在解答问题一时建立了两个模型，其中模型二既回答了该问题，又是对模型一的检验，使得解答结果更加全面、准确；（4）在解答问题二时，考虑在模型一的基

18、础之上，用模拟退火算法得出了满足要求的新方案，较好的解决了该问题。7.2、缺点（1）在考虑问题二时，假设清洁度与冲水次数有关（2次比一次更清洁），但没有将清洁度量化为一个具体值，考虑不是很全面；（2）每次产生的随机数不一样，导致结果有一定的误差。7.3、模型的改进（1）从节约用水的方面考虑，还可以采用从人使用开始后延迟几秒再冲水的方案。（2）为了更精确的分析问题，我们可以定义清洁度，得出清洁度关于时间的函数，考虑污染物与冲水时间、冲水次数的关系，使得分析结果更符合实际。八、 参考文献1 盛骤、谢式千、潘承毅，概率论与数理统计教程m（第四版），高等教育出版社，2009.6。2 刘来福、曾文艺，数

19、学模型与数学建模m，北京：北京师范大学出版社，2002。3 张志涌，精通matlab6.5版m， 北京：北京航空航天大学出版社，2003.3。 4 伍斌、孙清华，现代卫生洁具的人性化设计j, 中国陶瓷工业，2003,2(10):56-59。5 沈恒范，概率论与数理统计教程m，高等教育出版社，2003.4 。6 钱颂迪、运筹学，北京：清华大学出版社，1995。7 卢厚清、袁永生，下料问题数学模型研究j，运筹与管理，1996,5(4):61-66。九、 附录附录一 问题一（2）的求总冲水时间程序t=5:30;time=0; for i=1:length(t) h=t(i); for j=1:1000 a=normrnd(15.09,1.02592); if ah-5&a2*h-5 w=3*h; time=w+time; end en